parent 第二十七章图形的相似 专题四相似三角形的判定与性质
第二十七章 图形的相似 专题四 相似三角形的判定与性质
G分钟分 知识点梳理 parent 教材母题(教材P4第13题) 如图,△ABC中,CD是边AB边上的高,且 AD CD DBD求∠ACB的大小 C B AD CD 解:∵CD⊥AB,∴∠CDA=∠CDB=90°,又∵ CDBD,∴△ACD∽△CBD,∴∠A =∠BCD,又∵∠A+∠ACD=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,即∠ACB=90° 【规律与方法】利用条件证出相似三角形或通过作辅助线构造相似三角形,进而利用相 似三角形对应角相等和对应边的比相等来进行边和角的计算 变式1如图, PABCD中,E为AD的三等分点,AE=AD,连接BE,交AC于点F AC=12,则AF为(B C A·4B.4.8C.5.2D.6 B
教材母题 (教材 P44 第 13 题) 如图，△ABC 中，CD 是边 AB 边上的高，且 AD CD＝ CD BD，求∠ACB 的大小． 解：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，又∵ AD CD＝ CD BD，∴△ACD∽△CBD，∴∠A ＝∠BCD，又∵∠A＋∠ACD＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，即∠ACB＝90° 【规律与方法】利用条件证出相似三角形或通过作辅助线构造相似三角形，进而利用相 似三角形对应角相等和对应边的比相等来进行边和角的计算． 变式 1.如图，▱ABCD 中，E 为 AD 的三等分点，AE＝ 2 3 AD，连接 BE，交 AC 于点 F， AC＝12，则 AF 为( ) A．4 B．4.8 C．5.2 D．6 B
变式2如图,已知∠1=∠2=∠3,则下列表达式正确的是(C) E AB DE AC AD AB AD 'Ad BC AE AB AC AE D BC AE DE AC D 变式3(2013·日照)如图,在△ABC中,以BC为直径的圆 分别交边ACAB于DE两点连接BDDE若BD平分∠ABC 则下列结论不一定成立的是(D) A·BD⊥ACB·AC2=2ABAE C·△ADE是等腰三角形D·BC=2AD 变式4(2014南京)如图,在矩形AOBC中,点A的坐标是(-2,1),点C 的纵坐标是4,则B,C两点的坐标分别是(B) y A·’3)(3,4)B.(,3),(2,4) B 点拨:如图过点A,B作AD⊥x轴,BE⊥x轴,过点C作CF∥y轴,过点A作CF∥x ADDO’4F3 轴,两直线相交于点F,易证△ADO∽△AFC,AFCE 2…C(-5, 4),易证 △BOE≌△CAF,∴B(,3)
变式 2.如图，已知∠1＝∠2＝∠3，则下列表达式正确的是( ) A. AB AD＝ DE BC B. AC AE＝ AD AB C. AB AC＝ AD AE D. BC DE＝ AE AC 变式 4.(2014·南京)如图，在矩形 AOBC 中，点 A 的坐标是(－2，1)，点 C 的纵坐标是 4，则 B，C 两点的坐标分别是( ) A．( 3 2 ，3)，(－ 2 3 ，4) B．( 3 2 ，3)，(－ 1 2 ，4) C．( 7 4 ， 7 2 )，(－ 2 3 ，4) D．( 7 4 ， 7 2 )，(－ 1 2 ，4) 点拨：如图过点 A，B 作 AD⊥x 轴，BE⊥x 轴，过点 C 作 CF∥y 轴，过点 A 作 CF∥x 轴，两直线相交于点 F，易证△ ADO∽△AFC， AF AD＝ CE DO，AF＝ 3 2 ，∴C(－ 1 2 ，4)，易证 △ BOE≌△CAF，∴B( 3 2 ，3)． 变式 3.(2013·日照)如图，在△ABC 中，以 BC 为直径的圆 分别交边 AC，AB于 D，E两点，连接 BD，DE.若BD平分∠ABC， 则下列结论不一定成立的是( ) A．BD⊥AC B．AC2 ＝2AB·AE C．△ADE 是等腰三角形 D．BC＝2AD C D B
AD 变式5(2014滨州)如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等 AB C 变式6(2014泰州)如图,A,B,C,D依次为一直线上4个点,BC=2,△BCE为等边 三角形,9O过A,D,E三点,且∠AOD=120°设AB=x,CD=y,则y与x的函数关系 式为y=x(x>0) 点拨:易证△ABE∽△ECD,FCCD AB BE (X
变式 5.(2014·滨州)如图，平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则 AD AB ＝_ _. 变式 6.(2014·泰州)如图，A，B，C，D 依次为一直线上 4 个点，BC＝2，△BCE 为等边 三角形，⊙O 过 A，D，E 三点，且∠AOD＝120°.设 AB＝x，CD＝y，则 y 与 x 的函数关系 式为_ _． 点拨：易证△ ABE∽△ECD， AB EC ＝ BE CD，即 x 2 ＝ 2 y ，y＝ 4 x (x＞0)． 2 2 y＝ 4 x (x＞0)
变式7△ABC中,∠B=25°,AD是BC边上的高,并且AD2=BDDC,则∠BCA的 度数为65°或115° 点拨:①如图,易知△ABD∽△CAD,∴∠CAD=∠B=25°,∠BCA 90°+25°=115°.②如图,易知△ABD∽△CAD,∴∠CAD=∠B 25°,∠BCA=90°-25°=65° 变式8(2014岳阳)如图,矩形ABCD为台球桌面,AD=260cm,AB=130cm,球目前 在E点位置,AE=60cm如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去,经过反弹后,球刚好弹 到D点位置. (1)求证:△BEF∽△CDF; (2)求CF的长 解:(1)由题意可知∠B=∠C=90°,∠EFG=∠GFD,∵GF⊥BC,∴∠BFG=∠CFG 0 ∴∠EFB=∠DFC,∴△BEF∽△CDF (2)设CF的长为xcm,则BF=260-x,由△BEF∽△CDF,知 BEBE130-60 CDF,∴ 130 260-X ,解得ⅹ=169,所以CF的长为169cm
变式 7.△ABC 中，∠B＝25° ，AD 是 BC 边上的高，并且 AD2 ＝BD·DC，则∠BCA 的 度数为_65°或 115° _. 点拨：①如图，易知△ ABD∽△CAD，∴∠CAD＝∠B＝25°，∠BCA ＝90°＋25°＝115°. ②如图，易知△ ABD∽△CAD，∴∠CAD＝∠B＝ 25°，∠BCA＝90°－25°＝65°. 变式 8.(2014·岳阳)如图，矩形 ABCD 为台球桌面，AD＝260 cm，AB＝130 cm，球目前 在 E 点位置，AE＝60 cm.如果小丁瞄准 BC 边上的点 F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹 到 D 点位置． (1)求证：△BEF∽△CDF； (2)求 CF 的长． 解：(1)由题意可知∠B＝∠C＝90°，∠EFG＝∠GFD，∵G F⊥BC，∴∠BFG＝∠CFG ＝90°，∴∠EFB＝∠DFC，∴△BEF∽△CDF. (2)设 CF 的长为 x cm，则 BF＝260－x，由△ BEF∽△CDF，知 BE CD＝ BE FC，∴ 130－60 130 ＝ 260－x x ，解得 x＝169，所以 CF 的长为 169 cm
变式9(2014资阳)如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线并在其取点C 连接OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于点E,连接AD (1)求证:△CDE∽△CAD; (2)若AB=2,AC=2V2,求AE的长 解:(1)∵AC为⊙O的切线,∠DAE+∠BAD=90°,又AB为⊙O的直径,∴∠ABD ∠BAD=90°,∴∠DAE=∠ABD,又∵OB=OD,∴∠ABD=∠BDO,又∵∠BDO= ∠CDE,∴∠CDE=∠DAE,又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CAD (2)∵AB=2,:OD=OA=1,在Rt△OAC中,OC=y12+(2V2)2=3,∴DC=OC OD=3-1=2,由(1)知△CDE∽△CAD,∴DC2=CEAC,∴CE=后=√2,∴AE=AC CE=2V2-√2=V2
变式 9.(2014·资阳)如图，AB 是⊙O 的直径，过点 A 作⊙O 的切线并在其上取一点 C， 连接 OC 交⊙O 于点 D，BD 的延长线交 AC 于点 E，连接 AD. (1)求证：△CDE∽△CAD； (2)若 AB＝2，AC＝2 2，求 AE 的长． 解：(1)∵AC 为⊙O 的切线，∠DAE＋∠BAD＝90°，又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ABD ＋∠BAD＝90°，∴∠DAE＝∠ABD，又∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠BDO，又∵∠BDO＝ ∠CDE，∴∠CDE＝∠DAE，又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD. (2)∵AB＝2，∴OD＝OA＝1，在 Rt△OAC 中，OC＝ 12＋（2 2）2＝3，∴DC＝OC －OD＝3－1＝2，由(1)知△ CDE∽△CAD，∴DC2＝CE·AC，∴CE＝ 4 2 2 ＝ 2，∴AE＝AC －CE＝2 2－ 2＝ 2
变式10.如图,在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,点P 从点A出发沿AB边向点B以2cms的速度移动,点Q从点B Q 出发沿BC边向点C以4cm的速度移动(有一点到达后即停止 移动)如果P,Q同时出发,经过几秒后△BPQ与△ABC相似? 解:设经过t秒后△BPQ与△ABC相似.∵∠B为公共角,∴要使△BPQ与△ABC相 似,只需BPBQ=BPBQ8-2t48-2t4t BC BA BA BC 16 8 8 16’解得t=08或t=2(均小于4).即经 过0.8秒或2秒后,△BPQ与△ABC相似 变式11.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=7,∠B=60°,P 为BC边上一点(不与B,C重合),过点P作∠APE=∠B,PE交CD于点E (1)求证:△APB∽△PEC;(2)若CE=3,求BP的长 解:(1)证明:在梯形ABCD中,∵AD∥BC,AB=DC,∴∠B=∠C =60°,∵∠APC=∠B+∠BAP,即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP, 又∠APE=∠B,∴∠BAP=∠EPC,∴△APB△PEC (2)解:如图,过点A作AF∥CD,交BC于点F,则四边形ADCF为平行四边形,△ABF 为等边三角形,∴CF=AD=3,AB=BF=7-3=4,∵△APB∽△PEC,∴BPAB设BP EC PC C=x,则PC=7-x,又:EC=3,AB=4,∴}4 整理,得x2-7x+12=0,解得 3,x2=4,经检验,x1=3,x2=4是所列方程的根,∴BP的长为3或4
变式 10.如图，在△ABC 中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，点 P 从点 A 出发沿 AB 边向点 B 以 2 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 4 cm/s 的速度移动(有一点到达后即停止 移动)，如果 P，Q 同时出发，经过几秒后△BPQ 与△ABC 相似？ 解：设经过 t 秒后△ BPQ 与△ ABC 相似．∵∠B 为公共角，∴要使△ BPQ 与△ ABC 相 似，只需BP BC＝ BQ BA或 BP BA＝ BQ BC.即 8－2t 16 ＝ 4t 8 或 8－2t 8 ＝ 4t 16，解得 t＝0.8 或 t＝2(均小于 4)．即经 过 0.8 秒或 2 秒后，△BPQ 与△ ABC 相似 变式 11.如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P 为 BC 边上一点(不与 B，C 重合)，过点 P 作∠APE＝∠B，PE 交 CD 于点 E. (1)求证：△APB∽△PEC； (2)若 CE＝3，求 BP 的长 解：(1)证明：在梯形 ABCD 中，∵AD∥BC，AB＝DC，∴∠B＝∠C ＝60°，∵∠APC＝∠B＋∠BAP，即∠APE＋∠EPC＝∠B＋∠BAP， 又∠APE＝∠B，∴∠BAP＝∠EPC，∴△APB∽△PEC (2)解：如图，过点 A 作 AF∥CD，交 BC 于点 F，则四边形 ADCF 为平行四边形，△ABF 为等边三角形，∴CF＝AD＝3，AB＝BF＝7－3＝4，∵△APB∽△PEC，∴BP EC＝ AB PC，设 BP ＝x，则 PC＝7－x，又∵EC＝3，AB＝4，∴x 3 ＝ 4 7－x ，整理，得 x2－7x＋12＝0，解得 x1＝ 3，x2＝4，经检验，x1＝3，x2＝4 是所列方程的根，∴BP 的长为 3 或 4