第四章因式分解 回顾与思考
第四章 因式分解 回顾与思考
整式乘法 互为逆运算 提公因式法 因式分解法 平方差公式 公式法↓ 完全平方公式
因式分解 方 法 提公因式法 公式法 整式乘法 互 为 逆 运 算 平方差公式 完全平方公式 本章知识结构
回顾旧知 般地,把一个多项式表示成几个 整式的形的形式,称为把这个多项式 因式分解,有时我们也把这一过程叫做 分解因式。只有多项式才可能进行 要求:1.戒分蟹:蹇项式 2.变形过程:由和变成积的形式 3.变形的结果:是几个整式的积 4.分解结果中的每个因式不能再分
一般地，把一个多项式表示成几个 整式的乘积的形式，称为把这个多项式 因式分解，有时我们也把这一过程叫做 分解因式。 要求： 1.变形对象：是 ; 2.变形过程：由 变成 的形式 3.变形的结果：是几个 的积 4.分解结果中的每个因式不能再分 回顾旧知 多项式 和 积 整式 只有多项式才可能进行 因式分解
1、确定公因式的方法: )定系数2)定字母3)定指数 2、提公因式法分解因式 第一步,找出公因式 第二步,提公因式(把多项式化为 两个因式的乘积)
1、确定公因式的方法： 小结与反思 2、提公因式法分解因式： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式（ 把多项式化为 两个因式的乘积） 1)定系数 2)定字母 3)定指数
规律:1、两个多项式的各项都互为相反数 则这两个多项式也互为相反数。 如:(1)a-b与b-a互为相反数.a-b=-(b-a (2)a+b与-a-b互为相反数 a+b=-(-a-b (3)ab+c与(-a+b-c)互为相反数 2、互为相反数的项,它们的偶次幂相等,奇 幂互为相反数。即若n为正整数则 (a-b)2=(a+b)2;(-a-b)2n=(a+b)2n1 (a-b)=(b-a)2;(a-b)2n1=-(b-a 3、两个多项式的各项都相同时,则这两 相等。如:a-b和-b+a即a-b=-b+a
规律：1、两个多项式的各项都互为相反数， 则这两个多项式也互为相反数。 如：(1) a-b 与 b-a 互为相反数. (2) a+b 与 -a-b 互为相反数. 2、互为相反数的项，它们的偶次幂相等，奇 次幂互为相反数。即若 n为正整数,则： (−a −b) 2n = (a +b) 2n ； (a −b) 2n = (b − a) 2n ； 2 1 2 1 ( ) ( ) − − − − = − + n n a b a b 2 1 2 1 ( ) ( ) − − − = − − n n a b b a (3) a-b+c 与 ( ) -a+b-c 互为相反数. 3、两个多项式的各项都相同时，则这两个 多项式也相等。如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a a-b = -（ b-a ） a+b = -（-a-b）
如果把乘法公式反过采,那么就可以 用来把某些多项式分解因式,这种分 解因式的方法叫做运用公式法。 平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 全平方公式(a±b)2=a2±2b+b2
如果把乘法公式反过来，那么就可以 用来把某些多项式分解因式，这种分 解因式的方法叫做运用公式法。 ( )( ) 2 2 a b a b a b − = + − ( ) 2 2 2 a b a ab b = + 2 公式法的概念 平方差公式 完全平方公式
学三 见第多项式22592 成以 并与同伴交沉 1.两个多项式的共同特征 多项式都只有閃项,项的符号相反,每,项都可 以写成平方的形式 2.尝试将x2-25,9x2y2写成两个因式的乘积: 2-25=x2-52=(x+5)(x5) 9x2y2=(3×)2-y2=(3x+y)(3xy 依据是:2b2=(+b(-b 形象地表示为:mA=(+▲)(一A
观察多项式x 2 -25，9x 2 -y 2，完成以下探究 问题，并与同伴交流． 1．两个多项式的共同特征: 多项式都只有 项，项的符号 ，每一项都可 以写成 的形式． x 2 -25= 2 - 2 = ( )( )； 9x 2 -y 2= 2 - 2 =( )( ) ． 探究学习: 2 2 形象地表示为: － ＝( ＋ )( － ) 两 平方 相反 2．尝试将x 2 -25，9x 2 -y 2写成两个因式的乘积： x 3x 依据是：a ． 2 -b 2=(a+b)(a-b) 5 x+5 x-5 ( ) y 3x+y 3x-y ．．．
a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 方式的特点 7、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、这两平方“项”底数的2倍或-2 首2+2×首x尾+尾2 狗±2·狗·猫+猫2=(±猫
完全平方式的特点： 1、必须是三项式 2 2 + 首 首 尾 尾 2 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2 倍 2 2 a ab b + + 2 2 2 a ab b − + 2
例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式 的为(y)3-4 1-4x+4x,2(1 33-4=y(y-3)-4 y2=(x+y)(x-y) B1±4x+4x2=(1-2x)2 x-1=x(1 C x2-y2=(x+y)(x-y) x-1=x(1--)
知识点一：对因式分解概念的理解 例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式 的为（ ）。 A. B. C. D. ) 1 1 (1 ( )( ) 1 4 4 (1 2 ) 3 4 ( 3) 4 2 2 2 2 2 x x x x y x y x y x x x y y y y − = − − = + − − + = − − − = − − B 2 2 2 2 2 3 4 ( 3) 4 1 4 4 (1 2 ) ( )( ) 1 1 (1 ) y y y y x x x x y x y x y x x x − − = − − − + = − − = + − − = −
例2把下列各式分解因式 (1)-27mn+9mm2-18mn 公因式既可以 解:原式=-9m(3m-n+2)是单项式,也 可以是多项式 (2)4b(1-b)3+2(b-1)2需要整体把握 解:原式=411-b)3+2(1-b)2 =2(1-b)2{2b(1-b)+1 =2(1-b)2(2b-2b2+1)
知识点二：利用提公因式法分解因式 例2.把下列各式分解因式 ⑴ ⑵ 解：原式 公因式既可以 是单项式，也 可以是多项式， 需要整体把握。 27m n 9m n 18m n 2 2 − + − 解： 原式= −9mn(3m−n+2) 3 2 4b(1−b) + 2(b −1) 2(1 ) (2 2 1) 2(1 ) 2 (1 ) 1 4 (1 ) 2(1 ) 2 2 2 3 2 = − − + = − − + = − + − b b b b b b b b b