第3课时“角边角”“角角边” 教学目标一 1.理解并掌握三角形全等的判定方法—“角边角”,“角角边”.(重点) 2.能运用“角边角”“角角边”判定方法解决有关问题.(重点 3.“角边角”和“角角边”判定方法的探究以及适合“角边角”判定方法的条件的寻 找.(难点) 数学过程 、情境导入 如图所示,某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块 完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带哪块去? 学生活动:学生先自主探究出答案,然后再与同学进行交流 教师点拨:显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的,而仅仅带③则可以,为什 么呢?本节课我们继续研究三角形全等的判定方法 合作探究 探究点一:应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等 【类型一】应用“ASA”判定两个三角形全等 1如图,AD∥BC,BE∥DF,AE=CF,求证:△ADF≌△CBE 解析:根据平行线的性质可得∠A=∠C,∠DFE=∠BEC,再根据等式的性质可得AF=CE 然后利用ASA可证明△ADF△CBE 证明:∵AD∥BC,BE∥DF,∴∠A=∠C,∠DFE=∠BEC∵AE=CF,∴AB+EF=CF+EF, ∠A=∠C, 即AF=CE在△ADF和△CBE中,AF=CE ∴△ADP≌2△CBE(ASA) ∠DFA=∠BEC, 方法总结:在ASA”中,包含“边”和“角”两种元素,是两角夹一边而不是两角及 一角的对边对应相等,应用时要注意区分;在“ASA”中,“边”必须是“两角的夹边
第 3 课时 “角边角”“角角边” 1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“角边角”，“角角边”．(重点) 2．能运用“角边角”“角角边”判定方法解决有关问题．(重点) 3．“角边角”和“角角边”判定方法的探究以及适合“角边角”判定方法的条件的寻 找．(难点) 一、情境导入 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块 完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？ 学生活动：学生先自主探究出答案，然后再与同学进行交流． 教师点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的，而仅仅带③则可以，为什 么呢？本节课我们继续研究三角形全等的判定方法． 二、合作探究 探究点一：应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等 【类型一】 应用“ASA”判定两个三角形全等 如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE. 解析：根据平行线的性质可得∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC，再根据等式的性质可得 AF＝CE， 然后利用 ASA 可证明△ADF≌△CBE. 证明：∵AD∥BC，BE∥DF，∴∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF， 即 AF＝CE.在△ADF 和△CBE 中，∵ ∠A＝∠C， AF＝CE， ∠DFA＝∠BEC， ∴△ADF≌△CBE(ASA)． 方法总结：在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及 一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”．
【类型二】应用“AAS”判定两个三角形全等 例2如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于EAD与BE交于F,若BF=AC,求 证:△ADC≌△BDF 解析:先证明∠ADC=∠BDF,∠DAC=∠DBF,再由BF=AC,根据AAS即可得出两三角形 全等 证明:∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADC=∠BDF=∠BEA=90°.∵∠AFE=∠BFD,∠DAC+ ∠AEP+∠AFE=180°,∠BDF+∠BD+∠DBF=180°,∴∠DAC=∠DBF在△ADC和△BDF 「∠DAC=∠DBF, 中,∷∠ADC=∠BDF,∴△AD≌△BDF(AAS). 方法总结:在“AAS”中,“边”是“其中一个角的对边 【类型三】灵活选用不回的方法证明三角形全等 团例3如图,已知AB=AE,∠BAD=∠CAE,要使△ABC≌△AED,还需添加一个条件,这 个条件可以是 解析:由∠BAD=∠CAE得到∠BAC=∠EAD,加上AB=AE,所以当添加∠C=∠D时,根 据“AAS”可判断△ABC≌△AED;当添加∠B=∠E时,根据“ASA”可判断△ABC≌△AED; 当添加AC=AD时,根据SAS”可判断△ABC≌△AED 方法总结:判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AS.注意:AA、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相 等时,角必须是两边的夹角 探究点二:运用全等三角形解决有关问题 例4己知:在△ABC中,∠BC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥ 直线m,垂足分别为点DE求证:(1)△BA≌△AEC:(2)DE=BD+CE
【类型二】 应用“AAS”判定两个三角形全等 如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 于 E.AD 与 BE 交于 F，若 BF＝AC，求 证：△ADC≌△BDF. 解析：先证明∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，再由 BF＝AC，根据 AAS 即可得出两三角形 全等． 证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°.∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋ ∠AEF＋∠AFE＝180°，∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180°，∴∠DAC＝∠DBF.在△ADC 和△BDF 中，∵ ∠DAC＝∠DBF， ∠ADC＝∠BDF， AC＝BF， ∴△ADC≌△BDF(AAS)． 方法总结：在“AAS”中，“边”是“其中一个角的对边”． 【类型三】 灵活选用不同的方法证明三角形全等 如图，已知 AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这 个条件可以是______________． 解析：由∠BAD＝∠CAE 得到∠BAC＝∠EAD，加上 AB＝AE，所以当添加∠C＝∠D 时，根 据“AAS”可判断△ABC≌△AED；当添加∠B＝∠E 时，根据“ASA”可判断△ABC≌△AED； 当添加 AC＝AD 时，根据“SAS”可判断△ABC≌△AED. 方法总结：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相 等时，角必须是两边的夹角． 探究点二：运用全等三角形解决有关问题 已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线 m 经过点 A，BD⊥直线 m，CE⊥ 直线 m，垂足分别为点 D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE
解析:(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等,利用同角的余角相等得到一对角相等, 再由AB=AC,利用AS即可得证;(2)由△BDA≌△AEC,可得BD=AE,AD=EC,根据DE= DA+AE等量代换即可得证 证明:(1)∵BD⊥m,CE⊥m,∴∠ADB=∠CEA=90°,∴∠ABD+∠BAD=90°.∵AB⊥AC, ∠ADB=∠CEA=9 ∠BAD+∠CAE=90°,∴,∠ABD=∠CAE在△BDA和△AEC中,∵∠ABD=∠CAE, AB=AC △BDA≌△AEC(AAS) (2)∵△BDA≌△AEC,∴BD=AE,AD=CE,∴DE=DA+AE=BD+CE 方法总结:利用全等三角形可以解决线段之间的关系,比如线段的相等关系、和差关系 等,解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化 三、板书设计 “角边角”“角角边” 1.角边角:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为“角边角”或“ASA” 2.角角边:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简记为“角 角边”或“AAS 3.三角形全等是证明线段相等或角相等的常用方法 数学反思 本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法.在寻找判定 方法证明两个三角形全等的条件时,可先把容易找到的条件列出来,然后再根据判定方法去 寻找所缺少的条件,从课堂教学的情况来看,学生对“角边角”掌握较好,达到了教学的预 期目的.存在的问题是少数学生在方法“AAS”和“ASA”的选择上混淆不清,还需要在今后 的教学中进一步加强巩固和训练
解析：(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等， 再由 AB＝AC，利用 AAS 即可得证；(2)由△BDA≌△AEC，可得 BD＝AE，AD＝EC，根据 DE＝ DA＋AE 等量代换即可得证． 证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC， ∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE.在△BDA 和△AEC 中，∵ ∠ADB＝∠CEA＝90°， ∠ABD＝∠CAE， AB＝AC， ∴△BDA≌△AEC(AAS)； (2)∵△BDA≌△AEC，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE. 方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系 等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化． 三、板书设计 “角边角”“角角边” 1．角边角：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．简记为“角边角”或“ASA”． 2．角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简记为“角 角边”或“AAS”． 3．三角形全等是证明线段相等或角相等的常用方法． 本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法．在寻找判定 方法证明两个三角形全等的条件时，可先把容易找到的条件列出来，然后再根据判定方法去 寻找所缺少的条件．从课堂教学的情况来看，学生对“角边角”掌握较好，达到了教学的预 期目的．存在的问题是少数学生在方法“AAS”和“ASA”的选择上混淆不清，还需要在今后 的教学中进一步加强巩固和训练．