11.32多边形的内角和 教学目标一 1.理解多边形内角和公式的推导过程,并掌握多边形的内角和与外角和公式.(重点 2.灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题.(难点 数学过程 情境导入 多媒体演示:清晨,小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步. 提出问题: (1)小明是沿着几边形的广场在跑步? (2)你知道这个多边形的各部分的名称吗? 3)你会求这个多边形的内角和吗? 导入:小明每从一条小路转到下一条小路时,身体总要转过一个角,你知道是哪些角吗? 你知道它们的和吗?就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂 二、合作探究 探究点一:多边形的内角和 【类型一】利用内角和求边数 例1一个多边形的内角和为540°,则它是() A.四边形B.五边形 C.六边形D.七边形 解析:熟记多边形的内角和公式(n-2)·180°.设它是n边形,根据题意得(n-2)·180 =540,解得n=5.故选B. 方法总结:熟记多边形的内角和公式是解题的关键 【类型二】求多边形的内角和 2一个多边形的内角和为1800°,截去一个角后,得到的多边形的内角和为( A.1620°B.1800° C.1980°D.以上答案都有可能
11．3.2 多边形的内角和 1．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式．(重点) 2．灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题．(难点) 一、情境导入 多媒体演示：清晨，小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步． 提出问题： (1)小明是沿着几边形的广场在跑步？ (2)你知道这个多边形的各部分的名称吗？ (3)你会求这个多边形的内角和吗？ 导入：小明每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些角吗？ 你知道它们的和吗？就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂． 二、合作探究 探究点一：多边形的内角和 【类型一】 利用内角和求边数 一个多边形的内角和为 540°，则它是( ) A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°.设它是 n 边形，根据题意得(n－2)·180 ＝540，解得 n＝5.故选 B. 方法总结：熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 【类型二】 求多边形的内角和 一个多边形的内角和为 1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为( ) A．1620° B．1800° C．1980° D．以上答案都有可能
解析:1800÷180=10,原多边形边数为10+2=12.∴一个多边形截去一个内角后, 边数可能减1,可能不变,也可能加1,新多边形的边数可能是11,12,13,∴新多边形 的内角和可能是1620°,1800°,1980°.故选D 方法总结:一个多边形截去一个内角后,边数可能减1,可能不变,也可能加1.根据多 边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键 【类型三】复杂图形中的角度计算 3如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=() A.450°B.540° C.630°D.720° 解析:如图∴∠3+∠4=∠8+∠9,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2 ∠8+∠9+∠5+∠6+∠7=五边形的内角和=540°,故选B. 方法总结:本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系.根据图形特 点,将问题转化为熟知的问题,体现了转化思想的优越性 【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数 例4一个同学在进行多边形的内角和计算时,求得内角和为1125°,当他发现错了以 后,重新检查,发现少算了一个内角,问这个内角是多少度?他求的是几边形的内角和? 解析:本题首先由题意找出不等关系列出不等式,进而求出这一内角的取值范围;然后 可确定这一内角的度数,进一步得出这个多边形的边数 解:设此多边形的内角和为x,则有1125°<x<1125°+180°,即180°×6+45 x<180°×7+45°,因为x为多边形的内角和,所以它是180°的倍数,所以x=18 ×7=1260°.所以7+2=9,1260°-1125°=135°.因此,漏加的这个内角是135°,这 个多边形是九边形 方法总结:解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数 探究点二:多边形的外角和 【类型一】已知各相等外角的度数,求多边形的边
解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为 10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后， 边数可能减 1，可能不变，也可能加 1，∴新多边形的边数可能是 11，12，13，∴新多边形 的内角和可能是 1620°，1800°，1980°.故选 D. 方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减 1，可能不变，也可能加 1.根据多 边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键． 【类型三】 复杂图形中的角度计算 如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝( ) A．450° B．540° C．630° D．720° 解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2 ＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°，故选 B. 方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特 点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性． 【类型四】 利用方程和不等式确定多边形的边数 一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为 1125°，当他发现错了以 后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？ 解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后 可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数． 解：设此多边形的内角和为 x，则有 1125°＜x＜1125°＋180°，即 180°×6＋45° ＜x＜180°×7＋45°，因为 x 为多边形的内角和，所以它是 180°的倍数，所以 x＝180° ×7＝1260°.所以 7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是 135°，这 个多边形是九边形． 方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数． 探究点二：多边形的外角和 【类型一】 已知各相等外角的度数，求多边形的边数
例5正多边形的一个外角等于36°,则该多边形是正() A.八边形B.九边形 C.十边形D.十一边形 解析:正多边形的边数为360°÷36°=10,则这个多边形是正十边形.故选C. 方法总结:如果已知正多边形的一个外角,求边数可直接利用外角和除以这个角即可 【类型二】多边形内角和与外角和的缐合运用 6一个多边形的内角和与外角和的和为540°,则它是() A.五边形B.四边形 C.三角形D.不能确定 解析:设这个多边形的边数为n,则依题意可得(n-2)×180°+360°=540°,解得n 3,∴这个多边形是三角形.故选C 方法总结:熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理,解题的关键是由已知等量关系 列出方程从而解决问题 三、板书设计 多边形的内角和与外角和 1.性质:多边形的内角和等于(n-2)·180°:多边形的外角和等于360° 2.多边形的边数与内角和、外角和的关系 (1)n边形的内角和等于(n-2)·180°(m≥3,n是正整数),可见多边形内角和与边数 有关,每增加1条边,内角和增加180° (2)多边形的外角和等于360°,与边数的多少无关 (n-2)·180° (3).正n边形:正n边形的内角的度数为 ,外角的度数为 数学反思 本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和,再探究多边形的内角和,然后采用 完全开放的探究,每步探究先让学生尝试,把学生推到主动位置,放手让学生自己学习,教 学过程主要靠学生自己去完成,尽可能做到让学生在“活动”中学习,在“主动”中发展, 在“合作”中增知,在“探究”中创新.要充分体现学生学习的自主性:规律让学生自主发 现,方法让学生自主寻找,思路让学生自主探究,问题让学生自主解决
正多边形的一个外角等于 36°，则该多边形是正( ) A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形 解析：正多边形的边数为 360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选 C. 方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可． 【类型二】 多边形内角和与外角和的综合运用 一个多边形的内角和与外角和的和为 540°，则它是( ) A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不能确定 解析：设这个多边形的边数为 n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得 n ＝3，∴这个多边形是三角形．故选 C. 方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系 列出方程从而解决问题． 三、板书设计 多边形的内角和与外角和 1．性质：多边形的内角和等于(n－2)·180°；多边形的外角和等于 360°. 2．多边形的边数与内角和、外角和的关系： (1)n 边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数 n 有关，每增加 1 条边，内角和增加 180°. (2)多边形的外角和等于 360°，与边数的多少无关. (3).正 n 边形：正 n 边形的内角的度数为（n－2）·180° n ，外角的度数为360° n . 本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和，再探究多边形的内角和，然后采用 完全开放的探究，每步探究先让学生尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教 学过程主要靠学生自己去完成，尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展， 在“合作”中增知，在“探究”中创新．要充分体现学生学习的自主性：规律让学生自主发 现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探究，问题让学生自主解决．