第4课时“斜边、直角边” 教学目标一 1.理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”.(重点) 2.经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程,能运用“斜边、直角边”判定方法解 决有关问题.(难点) 数学过程 、情境导入 舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每 个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量 (1)你能帮他想个办法吗? 2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗? 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是 他就肯定“两个直角三角形是全等的”,你相信他的结论吗? 二、合作探究 探究点一:应用“斜边、直角边”判定三角形全等 囹1如图,已知∠A=∠D=90°,E、F在线段BC上,D与AF交于点O,且AB=CD BE=CF求证:Rt△ABF≌Rt△DCE 解析:由题意可得△ABF与△DCE都为直角三角形由BE=C可得BF=CE然后运用HL” 即可判定Rt△ABF与Rt△DCE全等 证明:∵BE=CF,∴B+BF=C+EF,即BF=CE.∵∠A=∠D=90°,∴△ABF与△DCE 都为直角三角形.在Rt△ABF和Rt△DCE中 JBF=CE. AB=CD Rt△ABF≌Rt△DCE(HL) 方法总结:利用HL”判定三角形全等,首先要判定这两个三角形是直角三角形,然后 找出对应的斜边和直角边相等即可
第 4 课时 “斜边、直角边” 1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．(重点) 2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解 决有关问题．(难点) 一、情境导入 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每 个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量． (1)你能帮他想个办法吗？ (2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是 他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？ 二、合作探究 探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等 如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F 在线段 BC 上，DE 与 AF 交于点 O，且 AB＝CD， BE＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE. 解析：由题意可得△ABF与△DCE都为直角三角形，由BE＝CF可得BF＝CE，然后运用“HL” 即可判定 Rt△ABF 与 Rt△DCE 全等． 证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即 BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形．在 Rt△ABF 和 Rt△DCE 中，∵ BF＝CE， AB＝CD， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)． 方法总结：利用“HL”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后 找出对应的斜边和直角边相等即可．
探究点二:“斜边、直角边”判定三角形全等的运用 【类型一】利用“H”判定线段相等 例2如图,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF,AC=AE 求证:BC= 解析:根据HL”证Rt△AD≌Rt△AFE,得CD=EF,再根据“HL”证Rt△ABRt△ABF, 得BD=BF,最后证明BC=BE 证明:∵AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,且AD=AF,AC=AE,∴Rt△ 2Rt△AFE(H).∴CD=EF.∵AD=AF,AB=AB,∴Rt△ABD≌Rt△ABF(H).∴BD=BF∴BD CD=BFEF.即BC=BE 方法总结:证明线段相等可通过证明三角形全等解决,作为H”公理就是直角三角形 独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已 知条件 【类型二】利用"H”判定角相等或线段平行 例3如图,AB⊥BC,AD⊥DC,AB=AD,求证:∠1=∠2. 解析:要证角相等,可先证明全等.即证 RtAABc≌Rt△ADC,进而得出角相等 证明:∵AB⊥BC,AD⊥D,∴∠B=∠D=90°,∴△ABC与△AC为直角三角形.在Rt AB=AD △ABC和Rt△ADC中,∵ ∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),∴∠1=∠2. AC=AC, 方法总结:证明角相等可通过证明三角形全等解决 【类型三】利用HL”解决动点问题 4如图,有一直角三角形ABC,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB, P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动,问P点运动到AC上什么位 置时△ABC才能和△AQ全等?
探究点二：“斜边、直角边”判定三角形全等的运用 【类型一】 利用“HL”判定线段相等 如图，已知 AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE. 解析：根据“HL”证 Rt△ADC≌Rt△AFE，得 CD＝EF，再根据“HL”证 Rt△ABD≌Rt△ABF， 得 BD＝BF，最后证明 BC＝BE. 证明：∵AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且 AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC ≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD －CD＝BF－EF.即 BC＝BE. 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形 独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已 知条件． 【类型二】 利用“HL”判定角相等或线段平行 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2. 解析：要证角相等，可先证明全等．即证 Rt△ABC≌Rt△ADC，进而得出角相等． 证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在 Rt △ABC 和 Rt△ADC 中，∵ AB＝AD， AC＝AC， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠1＝∠2. 方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决． 【类型三】 利用“HL”解决动点问题 如图，有一直角三角形 ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段 PQ＝AB， P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动，问 P 点运动到 AC 上什么位 置时△ABC 才能和△APQ 全等？
B 解析:本题要分情况讨论:(1)RtAP≌Rt△CBA,此时AP=BC=5cm,可据此求出P点的 位置.(2)Rt4ARt△BCA,此时AP=AC,PC重合 解:根据三角形全等的判定方法H可知:(1)当P运动到AP=BC时,∵∠C=∠QAP= 90°.在Rt△ABC与Rt△中,42=B ∴Rt△ABC≌Rt△QPA),∴AP=BC=5cm IPQ- AB, (2)当P运动到与C点重合时,AP=AC在Rt△ABC与R△硎中,∵JAP=A IPQ=AB Rt△4AP ≌Rt△BCA(HL),∴AP=AC=10cm,∴当AP=5cm或10cm时,△ABC才能和△AQ全等 方法总结:判定三角形全等的关键是找对应边和对应角,由于本题没有说明全等三角形 的对应边和对应角,因此要分类讨论,以免漏解 【类型四】综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等 例5如图,CD⊥AB于D点,BE⊥AC于E点,BE,CD交于O点,且AO平分∠BC求证 OB= OC 解析:已知BE⊥AC,CD⊥AB可推出∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°由AO平分∠BAC 可知∠1=∠2,然后根据AAS证得△AOD≌△AE,根据AA证得△BOX≌△COE,即可证得 证明:∵BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°.∵AO平分∠BAC, ∠ADC=∠AEB, ∴∠1=∠2.在△AOD和△ADE中,}∠1=∠2, ∠BDC=∠CEB, △AO△AOE(AS).∴ODC=OE.在△BOD和△CDE中,:O=OE, ∴△BOD2 ∠BOD=∠COE
解析：本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时 AP＝BC＝5cm，可据此求出 P 点的 位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时 AP＝AC，P、C 重合． 解：根据三角形全等的判定方法 HL 可知：(1)当 P 运动到 AP＝BC 时，∵∠C＝∠QAP＝ 90°.在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中，∵ AP＝BC， PQ＝AB， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm； (2)当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC.在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中，∵ AP＝AC， PQ＝AB， ∴Rt△QAP ≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当 AP＝5cm 或 10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等． 方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形 的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． 【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等 如图，CD⊥AB 于 D 点，BE⊥AC 于 E 点，BE，CD 交于 O 点，且 AO 平分∠BAC.求证： OB＝OC. 解析：已知 BE⊥AC，CD⊥AB 可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，由 AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据 AAS 证得△AOD≌△AOE，根据 ASA 证得△BOD≌△COE，即可证得 OB＝OC. 证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.∵AO 平分∠BAC， ∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵ ∠ADC＝∠AEB， ∠1＝∠2， OA＝OA， ∴△AOD≌△AOE(AAS)．∴OD＝OE.在△BOD 和△COE 中，∵ ∠BDC＝∠CEB， OD＝OE， ∠BOD＝∠COE， ∴△BOD≌
△COE(ASA).∴OB=OC 方法总结:判定直角三角形全等的方法除HL”外,还有:SS、SAS、ASA、AS. 三、板书设计 “斜边、直角边” 1.斜边、直角边:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简记为“斜边 直角边”或H” 2.方法归纳: (1)证明两个直角三角形全等的常用方法是"HL”,除此之外,还可以选用“SAS”“ASA AAS”以及“SSS (2)寻找未知的等边或等角时,常考虑转移到其他三角形中,利用三角形全等来进行证 教学反思 本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行.在探究直角三 角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时,要让学生进行合作交流.在寻找未知的等边 或等角时,常考虑将其转移到其他三角形中,利用三角形全等来进行证明.此外,还要注重 通过适量的练习巩固所学的新知识
△COE(ASA)．∴OB＝OC. 方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL”外，还有：SSS、SAS、ASA、AAS. 三、板书设计 “斜边、直角边” 1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、 直角边”或“HL”． 2．方法归纳： (1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL”，除此之外，还可以选用“SAS”“ASA” “AAS”以及“SSS”． (2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证 明． 本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三 角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边 或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重 通过适量的练习巩固所学的新知识．