13.32等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 教学目标一 1.掌握等边三角形的定义、性质和判定,明确其与等腰三角形的区别和联系.(重点 2.能应用等边三角形的知识进行简单的计算和证明.(难点) 教学过程 情境导入 观察下面图形: △③ 师:等腰三角形中有一种特殊的三角形,你知道是什么三角形吗? 生:等边三角形 师:对,等边三角形具有和谐的对称美.今天我们来学习等边三角形,引出课题 合作探究 探究点一:等边三角形的性质 【类型一】利用等边三角形的性质求角度 1如图,△ABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延长线上一点,连接BE,DE, 若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度数 解析:因为△ABC三个内角为60°,∠ABE=40°,求出∠BBC的度数,因为BE=DE,所以 得到∠EBC=∠D,求出∠D的度数,利用外角性质即可求出∠CED的度数 解:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵∠ABE=40°,∴∠EBC=∠ABC ∠ABE=60 0°=20°,∵B=DE,∴∠D=∠EBC=20°,∴∠CE=∠ACB-∠D= 方法总结:等边三角形是特殊的三角形,它的三个内角都是60°,这个性质常常应用在
13．3.2 等边三角形 第 1 课时 等边三角形的性质与判定 1．掌握等边三角形的定义、性质和判定，明确其与等腰三角形的区别和联系．(重点) 2．能应用等边三角形的知识进行简单的计算和证明．(难点) 一、情境导入 观察下面图形： 师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？ 生：等边三角形． 师：对，等边三角形具有和谐的对称美．今天我们来学习等边三角形，引出课题． 二、合作探究 探究点一：等边三角形的性质 【类型一】 利用等边三角形的性质求角度 如图，△ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D 是 BC 延长线上一点，连接 BE，DE， 若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED 的度数． 解析：因为△ABC 三个内角为 60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC 的度数，因为 BE＝DE，所以 得到∠EBC＝∠D，求出∠D 的度数，利用外角性质即可求出∠CED 的度数． 解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC －∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝ 40°. 方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是 60°，这个性质常常应用在
求三角形角度的问题上,所以必须熟练掌握 【类型二】利用等边三角形的性质证明线段相等 例2如图:已知等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD, DM⊥BC,垂足为M,求证:BM=EM 解析:要证BM=酬M,根据等腰三角形的性质可知,证明△BE为等腰三角形即可 证明:连接BD,∵在等边△ABC中,D是AC的中点,∴∠DBC=∠ABC=×60°=30° ∠ACB=60° CD,∴∠CDE=∠E.∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠E=30°,∴∠DBC=∠E 30°,∴BD=E,△BDE为等腰三角形.又∵DM⊥BC,∴B=EM 方法总结:本题综合考查了等腰和等边三角形的性质,其中“三线合一”的性质是证明 线段相等、角相等和线段垂直关系的重要方法 【类型三】等边三角形的性质与全等三角形的综合运用 B M 例3△ABC为正三角形,点M是BC边上任意一点,点M是CA边上任意一点,且 CM,BM与AM相交于Q点,∠BM等于多少度? 解析:先根据已知条件利用SAS判定△ABM≌△BCN再根据全等三角形的性质求得∠BQM =∠ABC=60° 解:∵△ABC为正三角形,∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AB=BC在△AMB和△BMC中, ∠ABC=∠C,∴△AMB≌△BC(SAS),∴∠BA=∠CBM,∴∠BM=∠AB+∠BAM=∠ABP L BICN, ∠CBv=∠ABC=60°, 方法总结:等边三角形与全等三角形的综合运用,一般是利用等边三角形的性质探究三 角形全等
求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握． 【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等 如图：已知等边△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BC 延长线上的一点，且 CE＝CD， DM⊥BC，垂足为 M，求证：BM＝EM. 解析：要证 BM＝EM，根据等腰三角形的性质可知，证明△BDE 为等腰三角形即可． 证明：连接 BD，∵在等边△ABC 中，D 是 AC 的中点，∴∠DBC＝ 1 2 ∠ABC＝ 1 2 ×60°＝30°， ∠ACB＝60°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E ＝30°，∴BD＝ED，△BDE 为等腰三角形．又∵DM⊥BC，∴BM＝EM. 方法总结：本题综合考查了等腰和等边三角形的性质，其中“三线合一”的性质是证明 线段相等、角相等和线段垂直关系的重要方法． 【类型三】 等边三角形的性质与全等三角形的综合运用 △ABC 为正三角形，点 M 是 BC 边上任意一点，点 N 是 CA 边上任意一点，且 BM＝ CN，BN 与 AM 相交于 Q 点，∠BQM 等于多少度？ 解析：先根据已知条件利用 SAS 判定△ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质求得∠BQM ＝∠ABC＝60°. 解：∵△ABC 为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB 和△BNC 中， ∵ AB＝BC， ∠ABC＝∠C， BM＝CN， ∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ ＋∠CBN＝∠ABC＝60°. 方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质探究三 角形全等．
探究点二:等边三角形的判定 【类型一】等边三角形的判定 例4等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠AB=∠ACQ,B=CQ问 △APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论 解析:先证△ABP≌△AC得AP=AQ,再证∠PAQ=60°,从而得出△AP是等边三角形 解:△APQ为等边三角形.证明:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC在△ABP与△ACQ 中,∠ABP=∠ACQ,∴△ABP≌△ACQ(SAS),∴AP=A,∠BAP=∠CA.∵∠BAC=∠BAP BP=Cn, +∠PAC=60°,∴∠P=∠CA+∠PAC=60°,∴△APQ是等边三角形 方法总结:判定—个三角形是等边三角形有两种方法:一是证明三角形三个内角相等; 二是先证明三角形是等腰三角形,再证明有一个内角等于60° 【类型二】等边三角形的性质和判定的综合运用 例5图①、图②中,点C为线段AB上一点,△ACM与△CB都是等边三角形 (1)如图①,线段AN与线段BM是否相等?请说明理由; (2)如图②,AN与M交于点E,BM与CM交于点F,探究△CEF的形状,并证明你的结 论 解析:(1)由等边三角形的性质可以得出△ACN,△MB两边及其夹角分别对应相等,两个 三角形全等,得出线段M与线段酬相等.(2)先求∠MN=60°,通过证明△ACB≌△MF得 出CE=CF,根据等边三角形的判定得出△CEF的形状 解:(1)A=BM理由:∵△ACM与△CBN都是等边三角形,∴AC=M,CN=CB,∠ACM Ac=MC ∠BCM=60°.∴∠MCN=60°,∠ACN=∠MB在△ACN和△MCB中,{∠ACV=∠MB,∴ NC=BC △AC≌△MB(SAS).∴A=BM
探究点二：等边三角形的判定 【类型一】 等边三角形的判定 等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ABC 外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问 △APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论． 解析：先证△ABP≌△ACQ 得 AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ 是等边三角形． 解：△APQ 为等边三角形．证明：∵△ABC 为等边三角形，∴AB＝AC.在△ABP 与△ACQ 中，∵ AB＝AC， ∠ABP＝∠ACQ， BP＝CQ， ∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP ＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ 是等边三角形． 方法总结：判定一个三角形是等边三角形有两种方法：一是证明三角形三个内角相等； 二是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于 60°. 【类型二】 等边三角形的性质和判定的综合运用 图①、图②中，点 C 为线段 AB 上一点，△ACM 与△CBN 都是等边三角形． (1)如图①，线段 AN 与线段 BM 是否相等？请说明理由； (2)如图②，AN 与 MC 交于点 E，BM 与 CN 交于点 F，探究△CEF 的形状，并证明你的结 论． 解析：(1)由等边三角形的性质可以得出△ACN，△MCB 两边及其夹角分别对应相等，两个 三角形全等，得出线段 AN 与线段 BM 相等．(2)先求∠MCN＝60°，通过证明△ACE≌△MCF 得 出 CE＝CF，根据等边三角形的判定得出△CEF 的形状． 解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM 与△CBN 都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM ＝∠BCN＝60°.∴∠MCN＝60°，∠ACN＝∠MCB.在△ACN 和△MCB 中，∵ AC＝MC， ∠ACN＝∠MCB， NC＝BC， ∴ △ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM
(2)△CEF是等边三角形.证明:∵△ACN△MB,∴∠CE=∠CMB在△ACE和△MCF ∠CAE=∠CM 中,∵AC=M ∴△ACB≌△MCF(ASA),∴CE=CF.∴△CEF是等边三角形 ∠ACE=∠FCM, 方法总结:等边三角形是一个非常特殊的几何图形,它的角的特殊性给有关角的计算奠 定了基础,它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件同是等边三角形又是特殊的 等腰三角形,同样具备三线合一的性质,解题时要善于挖掘图形中的隐含条件 三、板书设计 等边三角形的性质和判定 1.等边三角形的定义 2.等边三角形的性质: 3.等边三角形的判定方法 数学反思 本节课让学生在认识等腰三角形的基础上,进一步认识等边三角形.学习等边三角形的 定义、性质和判定.让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中,进一步发展空间观念 锻炼思维能力.让学生在学习活动中,进一步产生对数学的好奇心,增强动手能力和创新意 识.在这节课中,要学生充分的自主探究,尝试提出问题和解决问题,发展学生的自主探究 能力
(2)△CEF 是等边三角形．证明：∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.在△ACE 和△MCF 中，∵ ∠CAE＝∠CMF， AC＝MC， ∠ACE＝∠FCM， ∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF 是等边三角形． 方法总结：等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠 定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的 等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件． 三、板书设计 等边三角形的性质和判定 1．等边三角形的定义； 2．等边三角形的性质； 3．等边三角形的判定方法． 本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形．学习等边三角形的 定义、性质和判定．让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观念， 锻炼思维能力．让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意 识．在这节课中，要学生充分的自主探究，尝试提出问题和解决问题，发展学生的自主探究 能力．