14.1整式的乘法 14.1.1同底数幂的乘法 数学目标一 1.理解并掌握同底数幂的乘法法则.(重点) 2.运用同底数幂的乘法法则进行相关运算.(难点) 数学过程 情境导入 问题:2014年9月,一个国际空间站研究小组发现了太阳系以外的第100颗行星,距 离地球约100光年.1光年是光经过一年所行的距离,光的速度大约是3×10°km/s.问:这颗 行星距离地球多远?(1年=3.1536×10s) 3×105×3.1536×107×100=3×3.1536×107×105×1032=9.4608×105×107×1032 问题:“10×10×10”等于多少呢? 合作探究 探究点一:同底数幂的乘法的计算 【类型一】底数为单项式的同底数幂的乘法 1计算:(1)23×2×2 (2)-a·(-a)2·(-a)3 (3)m+·m·m·m 解析:(1)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可;(2)先算乘方,再根据同底数幂的乘 法法则进行计算即可;(3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可 解:(1)原式=24+=2 (2)原式=-a·a·(-a)=a3·a 3)原式=m+++2+=m2+ 方法总结:同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用;单个字母或数可以看成指 数为1的幂,进行运算时,不能忽略了幂指数1. 【类型二】底数为多项式的同底数幂的乘法 2计算 (1)(2a+b)2m+·(2a+b)3·(2a+b); (2)(x-y)2·(y-x)5
14．1 整式的乘法 14．1.1 同底数幂的乘法 1．理解并掌握同底数幂的乘法法则．(重点) 2．运用同底数幂的乘法法则进行相关运算．(难点) 一、情境导入 问题：2014 年 9 月，一个国际空间站研究小组发现了太阳系以外的第 100 颗行星，距 离地球约 100 光年.1 光年是光经过一年所行的距离，光的速度大约是 3×105 km/s.问：这颗 行星距离地球多远？(1 年＝3.1536×107 s) 3×105×3.1536×107×100＝3×3.1536×107×105×102＝9.4608×105×107×102 . 问题：“107×105×102”等于多少呢？ 二、合作探究 探究点一：同底数幂的乘法的计算 【类型一】 底数为单项式的同底数幂的乘法 计算：(1)23×2 4×2； (2)－a 3·(－a) 2·(－a) 3； (3)m n＋1·m n ·m 2·m. 解析：(1)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(2)先算乘方，再根据同底数幂的乘 法法则进行计算即可；(3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 解：(1)原式＝2 3＋4＋1＝2 8； (2)原式＝－a 3·a 2·(－a 3 )＝a 3·a 2·a 3＝a 8； (3)原式＝m n＋1＋n＋2＋1＝m 2n＋4 . 方法总结：同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指 数为 1 的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数 1. 【类型二】 底数为多项式的同底数幂的乘法 计算： (1)(2a＋b) 2n＋1·(2a＋b) 3·(2a＋b) n－4； (2)(x－y) 2·(y－x) 5
解析:将底数看成一个整体进行计算 解:(1)原式=(2a+b)2+1+3+(=0=(2a+b)3; (2)原式=-(x-y)2·(x-y)°=-(x-y)2. 方法总结:底数互为相反数的幂相乘时,先把底数统一,再进行计算.(a-b) (b-a)"(为偶数) (b-a)"(n为奇数) 探究点二:同底数幂的乘法法则的运用 【类型一】运用同底数幂的乘法,求代数式的值 例3若82+3.8-2=80,求2a+b的值 解析:根据同底数幂的乘法,底数不变指数相加,可得ab的关系,根据a、b的关系 求解 解:∵82+3·8″2=820+3+-2=8°,∴2a+3+b-2=10,解得2a+b=9. 方法总结:将等式两边化为同底数幂的形式,底数相同,那么指数也相同 【类型二】回底数幂的乘法的实际应用 例4经济发展和消费需求的增长促进了房地产的发展,使得房价持续上涨,2015年前 5个月,某市共销售商品房8.31×104平方米.据监测,商品房平均售价为每平方米4.7×10 元,2015年前5个月该市的商品房销售总额是多少元? 解析:先根据题意列出算式计算即可 解:8.31×104×4.7×10=(8.31×4.7)×(104×10)=3.9057×10(元 答:2015年前5个月该市的商品房销售总额是3.9057×10°(元) 方法总结:本题考查了同底数幂的乘法的应用,关键是根据题意得出算式,注意结果要 用科学记数法表示 【类型三】利用同底数幂的乘法探究指数的关系 例5已知2=3,2=6,2=18,试问a、b、c之间有怎样的关系?请说明理由 解析:观察题目的已知可以发现3×6=18,利用同底数幂相乘,底数不变指数相加解 答 解:∵3×6=18,∴2…·2 2,∵a+b=c. 方法总结:解答此类问题就是利用同底数幂的乘法将等式两边转化为底数相同的形式, 然后让指数相等解答
解析：将底数看成一个整体进行计算． 解：(1)原式＝(2a＋b) (2n＋1)＋3＋(n－4)＝(2a＋b) 3n ； (2)原式＝－(x－y) 2·(x－y) 5＝－(x－y) 7 . 方法总结：底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．(a－b) n ＝ （b－a） n （n为偶数）， －（b－a）n （n为奇数）. 探究点二：同底数幂的乘法法则的运用 【类型一】 运用同底数幂的乘法，求代数式的值 若 8 2a＋3·8 b－2＝8 10，求 2a＋b 的值． 解析：根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得 a、b 的关系，根据 a、b 的关系 求解． 解：∵82a＋3·8 b－2＝8 2a＋3＋b－2＝8 10，∴2a＋3＋b－2＝10，解得 2a＋b＝9. 方法总结：将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同． 【类型二】 同底数幂的乘法的实际应用 经济发展和消费需求的增长促进了房地产的发展，使得房价持续上涨，2015 年前 5 个月，某市共销售商品房 8.31×104 平方米．据监测，商品房平均售价为每平方米 4.7×103 元，2015 年前 5 个月该市的商品房销售总额是多少元？ 解析：先根据题意列出算式计算即可． 解：8.31×104×4.7×103＝(8.31×4.7)×(104×103 )＝3.9057×10 8 (元)． 答：2015 年前 5 个月该市的商品房销售总额是 3.9057×108 (元)． 方法总结：本题考查了同底数幂的乘法的应用，关键是根据题意得出算式，注意结果要 用科学记数法表示． 【类型三】 利用同底数幂的乘法探究指数的关系 已知 2 a ＝3，2 b ＝6，2 c ＝18，试问 a、b、c 之间有怎样的关系？请说明理由． 解析：观察题目的已知可以发现 3×6＝18，利用同底数幂相乘，底数不变指数相加解 答． 解：∵3×6＝18，∴2 a ·2 b ＝2 a＋b ＝2 c ，∴a＋b＝c. 方法总结：解答此类问题就是利用同底数幂的乘法，将等式两边转化为底数相同的形式， 然后让指数相等解答．
探究点三:同底数幂的乘法法则的逆用 例6已知a=3,a=21,求a+的值 解析:把a+变成a×a,代入求值即可 解:∵a=3,a=21,∴a"=a×a=3×21=63. 方法总结:逆用同底数幂的乘法法则把a+"变成a×a 三、板书设计 同底数幂的乘法 同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即d·d=a+(m、n都是正整数) 条件:(1)同底数幂:(2)乘法 结果:(1)底数不变:(2)指数相加 数学厦思 在同底数幂乘法公式的探究过程中,学生表现出观察角度的差异:有的学生只是侧重观 察某个单独的式子,把它孤立地看,而不知道将几个式子联系起来:有些学生则既观察入微 又统揽全局,表现出了较强的观察力.教师要善于抓住这个契机,适当对学生进行指导,培 养他们“既见树木,又见森林”的优良观察品质.对于公式使用的条件既要把握好“度” 又要把握好“方向
探究点三：同底数幂的乘法法则的逆用 已知 a m ＝3，a n ＝21，求 a m＋n 的值． 解析：把 a m＋n 变成 a m ×a n ，代入求值即可． 解：∵a m ＝3，a n ＝21，∴a m＋n ＝a m ×a n ＝3×21＝63. 方法总结：逆用同底数幂的乘法法则把 a m＋n 变成 a m ×a n . 三、板书设计 同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 a m ·a n ＝a m＋n (m、n 都是正整数)． 条件：(1)同底数幂；(2)乘法． 结果：(1)底数不变；(2)指数相加． 在同底数幂乘法公式的探究过程中，学生表现出观察角度的差异：有的学生只是侧重观 察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系起来；有些学生则既观察入微， 又统揽全局，表现出了较强的观察力．教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行指导，培 养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质．对于公式使用的条件既要把握好“度”， 又要把握好“方向”．