第2课时运用完全平方公式因式分解 教学目标一 1.理解完全平方公式,弄清完全平方公式的形式和特点.(重点 2.掌握运用完全平方公式分解因式的方法,能正确运用完全平方公式把多项式分解因 式.(难点) 情境导入 1.分解因式: (1)x2-4 (2)3x2-3y2; (3)x-1 (4)(x+3y)2-(x-3y)2 2.根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法,你能将形如“a+2ab+b、a-2ab +b”的式子分解因式吗? 二、合作探究 探究点:运用完全平方公式分解因式 【类型一】判断能否用完全平方公式分解因式 1下列多项式能用完全平方公式分解因式的有() (1)a+ab+b;(2)a-a+元;(3)9a-24ab+4b;(4)-a2+8a-16 A.1个B.2个C.3个D.4个 解析:(1)a+ab+B,乘积项不是两数积的2倍,不能运用完全平方公式;(2)a-a+ (a-)2;(3)9a-24ab+4B,乘积项是这两数积的4倍,不能用完全平方公式;(4) a+8a-16=-(a-8a+16)=-(a-4)2所以(2)(4)能用完全平方公式分解.故选B. 方法总结:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两 个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍 【类型二】运用完全平方公式分解因式 例2因式分解: (1)-3ax2+24ax-48a (2)(a+4)2-16a 解析:(1)有公因式,因此要先提取公因式-3a2,再把另一个因式(x-8x+16)用完全
第 2 课时 运用完全平方公式因式分解 1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点．(重点) 2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因 式．(难点) 一、情境导入 1．分解因式： (1)x 2－4y 2； (2)3x 2－3y 2； (3)x 4－1； (4)(x＋3y) 2－(x－3y) 2 . 2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a 2＋2ab＋b 2、a 2－2ab ＋b 2”的式子分解因式吗？ 二、合作探究 探究点：运用完全平方公式分解因式 【类型一】 判断能否用完全平方公式分解因式 下列多项式能用完全平方公式分解因式的有( ) (1)a 2＋ab＋b 2；(2)a 2－a＋ 1 4 ；(3)9a 2－24ab＋4b 2；(4)－a 2＋8a－16. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：(1)a 2＋ab＋b 2，乘积项不是两数积的 2 倍，不能运用完全平方公式；(2)a 2－a＋ 1 4 ＝(a－ 1 2 ) 2；(3)9a 2－24ab＋4b 2，乘积项是这两数积的 4 倍，不能用完全平方公式；(4)－ a 2＋8a－16＝－(a 2－8a＋16)＝－(a－4)2 .所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选 B. 方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两 个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的 2 倍． 【类型二】 运用完全平方公式分解因式 因式分解： (1)－3a 2 x 2＋24a 2 x－48a 2； (2)(a 2＋4)2－16a 2 . 解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a 2，再把另一个因式(x 2－8x＋16)用完全
平方公式分解;(2)先用平方差公式,再用完全平方公式分解 解:(1)原式=-3a(x2-8x+16)=-3a2(x-4)2; (2)原式=(a2+4)2-(4a)2=(a+4+4a)(a+4-4a)=(a+2)2(a-2) 方法总结:分解因式的步骤是一提、二用、三查,即有公因式的首先提公因式,没有公 因式的用公式,最后检查每一个多项式的因式,看能否继续分解 【类型三】利用完全平方公式求值 例3已知x2-4x+y2-10y+29=0,求x2y2+2xy+1的值 解析:首先配方,借助非负数的性质求出x、y的值,问题即可解决 解:∵x-4x+y2-10y+29=0,∴(x-2)2+(-5)2=0.∵(x-2)2≥0,(y-5)2≥0 ∴x-2=0,y-5=0,∴x=2,y=5,∴x2y2+2xy+1=(xy+1)2=112=121 方法总结:几个非负数的和为0,则这几个非负数都为0. 【类型四】运用因式分解进行简便运算 团例4利用因式分解计算: (1)342+34×32+162 (2)38.92-2×38.9×48.9+48.92 解析:利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可 解:(1)342+34×32+162=(34+16)2=2500 (2)38.92-2×38.9×48.9+48.92=(38.9-48.9)2=100 方法总结:此颕主要考查了运用公式法分解因式,正确掌握完全平方公式是解题关键 【类型五】利用因式分解判定三角形的形状 例5已知a,b,c分别是△ABC三边的长,且a2+2b2+-2b(a+c)=0,请判断△ABC 的形状,并说明理由 解析:首先利用完全平方公式分组进行因式分解,进一步分析探讨三边关系得出结论即 解:由a+2b+-2b(a+c)=0,得a-2ab+B+b2-2bc+c2=0,即(a-b)2+(b c)2=0,∴a-b=0,b-c=0,∴a=b=c,∴△ABC是等边三角形 方法总结:通过配方将原式转化为非负数的和的形式,然后利用非负数性质解答,这是 解决此类问题一般的思路 【类型六】整体代入求值
平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解． 解：(1)原式＝－3a 2 (x 2－8x＋16)＝－3a 2 (x－4)2； (2)原式＝(a 2＋4)2－(4a) 2＝(a 2＋4＋4a)(a 2＋4－4a)＝(a＋2)2 (a－2)2 . 方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公 因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解． 【类型三】 利用完全平方公式求值 已知 x 2－4x＋y 2－10y＋29＝0，求 x 2 y 2＋2xy＋1 的值． 解析：首先配方，借助非负数的性质求出 x、y 的值，问题即可解决． 解：∵x 2－4x＋y 2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0， ∴x－2＝0，y－5＝0，∴x＝2，y＝5，∴x 2 y 2＋2xy＋1＝(xy＋1)2＝112＝121. 方法总结：几个非负数的和为 0，则这几个非负数都为 0. 【类型四】 运用因式分解进行简便运算 利用因式分解计算： (1)342＋34×32＋162； (2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92 . 解析：利用完全平方公式转化为(a±b) 2 的形式后计算即可． 解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500； (2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100. 方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键． 【类型五】 利用因式分解判定三角形的形状 已知 a，b，c 分别是△ABC 三边的长，且 a 2＋2b 2＋c 2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC 的形状，并说明理由． 解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即 可． 解：由 a 2＋2b 2＋c 2－2b(a＋c)＝0，得 a 2－2ab＋b 2＋b 2－2bc＋c 2＝0，即(a－b) 2＋(b－ c) 2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC 是等边三角形． 方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是 解决此类问题一般的思路． 【类型六】 整体代入求值
例6已知a+b=5,ab=10,求ab+ab+ab的值 解析:将ab+aB+aB分解为ab与(a+b)2的乘积,因此可以运用整体代入的数学 思想来解答 解:ab+a2b+ab==ab(a2+2ab+b)=ab(a+b)2.当a+b=5,ab=10时,原式= ×10×52=125 方法总结:解答此类问题的关键是对原式进行变形将原式转化为含已知代数式的形式, 然后整体代入 三、板书设计 运用完全平方公式因式分解 1.完全平方公式:a+2ab+b=(a+b)2,a2-2ab+b=(a-b 2.完全平方公式的特点: (1)必须是三项式(或可以看成三项的) (2)有两个同号的平方项 (3)有一个乘积项(等于平方项底数积的±2倍) 简记口诀:首平方,尾平方,首尾两倍在中央 教学反思 本节课学生的探究活动比较多,教师既要全局把握,又要顺其自然,千万不可拔苗助长 为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排.其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培 养,又是对公式的识记过程,而且还可以提高他们应用公式的本领
已知 a＋b＝5，ab＝10，求 1 2 a 3 b＋a 2 b 2＋ 1 2 ab 3 的值． 解析：将 1 2 a 3 b＋a 2 b 2＋ 1 2 ab 3 分解为1 2 ab 与(a＋b) 2 的乘积，因此可以运用整体代入的数学 思想来解答． 解：1 2 a 3 b＋a 2 b 2＋ 1 2 ab 3＝ 1 2 ab(a 2＋2ab＋b 2 )＝ 1 2 ab(a＋b) 2 .当 a＋b＝5，ab＝10 时，原式＝ 1 2 ×10×5 2＝125. 方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式， 然后整体代入． 三、板书设计 运用完全平方公式因式分解 1．完全平方公式：a 2＋2ab＋b 2＝(a＋b) 2，a 2－2ab＋b 2＝(a－b) 2 . 2．完全平方公式的特点： (1)必须是三项式(或可以看成三项的)； (2)有两个同号的平方项； (3)有一个乘积项(等于平方项底数积的±2 倍)． 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央． 本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长， 为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培 养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领．