15.3分式方程 第1课时分式方程及其解法 数学目标 1.了解分式方程的概念.(重点) 2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,知道转化的思想方法在解分式方程中 的应用.(重点 3.了解增根的概念,会检验一个数是不是分式方程的增根,会根据增根求方程中字母 的值.(难点) 数学过程 情境导入 1.什么是方程? 2.什么是一元一次方程 3.解一元一次方程的一般步骤是什么? 我们今天将学习另外一种方程—一分式方程.二、合作探究 探究点一:分式方程的概念 1下列关于x的方程中,是分式方程的是() 3+x2+ 2x-1X C.-+1 D 解析:A中方程分母不含未知数,故不是分式方程;B中方程分母不含未知数,故不是 分式方程;C中方程分母不含表示未知数的字母,π是常数;D中方程分母含未知数x,故是 分式方程.故选D. 方法总结:判断一个方程是否为分式方程,主要是看分母中是否含有未知数(注意:仅 仅是字母不行,必须是表示未知数的字母) 探究点二:分式方程的解法 【类型一】解分式方程 2解方程: 57 (2)
15．3 分式方程 第 1 课时 分式方程及其解法 1．了解分式方程的概念．(重点) 2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中 的应用．(重点) 3．了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母 的值．(难点) 一、情境导入 1．什么是方程？ 2．什么是一元一次方程？ 3．解一元一次方程的一般步骤是什么？ 我们今天将学习另外一种方程——分式方程．二、合作探究 探究点一：分式方程的概念 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是( ) A. 3＋x 2 ＝ 2＋x 5 B. 2x－1 7 ＝ x 2 C. x π ＋1＝ 2－x 3 D. 1 2＋x ＝1－ 2 x 解析：A 中方程分母不含未知数，故不是分式方程；B 中方程分母不含未知数，故不是 分式方程；C 中方程分母不含表示未知数的字母，π是常数；D 中方程分母含未知数 x，故是 分式方程．故选 D. 方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅 仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)． 探究点二：分式方程的解法 【类型一】 解分式方程 解方程： (1)5 x ＝ 7 x－2 ；(2) 1 x－2 ＝ 1－x 2－x －3
解析:分式方程两边同乘以最简公分母,把分式方程转化为整式方程求解,注意验根 解:(1)方程两边同乘x(x-2),得5(x-2)=7x,5x-10=7x,2x=-10,解得x= 5,检验:把x=-5代入最简公分母,得x(x-2)≠0,∴x=-5是原方程的解; (2)方程两边同乘最简公分母(x-2),得1=x-1-3(x-2),解得x=2,检验:把x= 2代入最简公分母,得x-2=0,∴原方程无解. 方法总结:解分式方程的步骤:①去分母;②解整式方程;③检验;④写出方程的解.注 意检验有两种方法,一是代入原方程,二是代入去分母时乘的最简公分母,一般是代入公分 母检验 【类型二】由分式方程的解确定字母的取值范围 2x+a 例3关于x的方程 1的解是正数,则a的取值范围是 解析:去分母得2x+a=x-1,解得x=-a-1,关于x的方程=1的解是正数 x>0且x≠1 a-1>0且-a-1≠1,解得a<-1且a≠-2,∴a的取值范围是a< 1且a≠-2. 方法总结:求出方程的解(用未知字母表示),然后根据解的正负性,列关于未知字母的 不等式求解,特别注意分母不能为 探究点三:分式方程的增根 【类型一】求分式方程的增根 4若方程 x-2 xx(x-2 有增根,则增根可能为() A.0B.2C.0或2D.1 解析:∵最简公分母是x(x-2),方程有增根,则x(x-2)=0,∴x=0或x=2.去分母 得3x=a(x-2)+4,当x=0时,2a=4,a=2;当x=2时,6=4不成立,增根只能为x 0,故选A. 方法总结:增根是使分式方程的分母为0的根.所以判断增根只需让分式方程的最简公 分母为0;注意应舍去不合题意的解
解析：分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根． 解：(1)方程两边同乘 x(x－2)，得 5(x－2)＝7x，5x－10＝7x，2x＝－10，解得 x＝－ 5，检验：把 x＝－5 代入最简公分母，得 x(x－2)≠0，∴x＝－5 是原方程的解； (2)方程两边同乘最简公分母(x－2)，得 1＝x－1－3(x－2)，解得 x＝2，检验：把 x＝ 2 代入最简公分母，得 x－2＝0，∴原方程无解． 方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注 意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分 母检验． 【类型二】 由分式方程的解确定字母的取值范围 关于 x 的方程2x＋a x－1 ＝1 的解是正数，则 a 的取值范围是____________． 解析：去分母得 2x＋a＝x－1，解得 x＝－a－1，∵关于 x 的方程 2x＋a x－1 ＝1 的解是正数， ∴x＞0 且 x≠1，∴－a－1＞0 且－a－1≠1，解得 a＜－1 且 a≠－2，∴a 的取值范围是 a＜ －1 且 a≠－2. 方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的 不等式求解，特别注意分母不能为 0. 探究点三：分式方程的增根 【类型一】 求分式方程的增根 若方程 3 x－2 ＝ a x ＋ 4 x（x－2） 有增根，则增根可能为( ) A．0 B．2 C．0 或 2 D．1 解析：∵最简公分母是 x(x－2)，方程有增根，则 x(x－2)＝0，∴x＝0 或 x＝2.去分母 得 3x＝a(x－2)＋4，当 x＝0 时，2a＝4，a＝2；当 x＝2 时，6＝4 不成立，∴增根只能为 x ＝0，故选 A. 方法总结：增根是使分式方程的分母为 0 的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公 分母为 0；注意应舍去不合题意的解．
【类型二】分式方程有增根,求字母的值 例5如果关于x的分式方程 有增根,则m的值为( A.-3B.-2 解析:方程两边同乘以x-3,得2=x-3·m①.∵原方程有增根,x-3=0,即x=3. 把x=3代入①,得m=-2.故选B. 方法总结:增根问题可按如下步骤进行:①让最简公分母为0确定增根;②化分式方程 为整式方程;③把增根代λ整式方程即可求得相关字母的值 【类型三】分式方程无解,求字母的值 团6若关于x的分式方程 无解,求m的值 解析:先把分式方程化为整式方程,再分两种情况讨论求解:-元一次方程无解与分式 方程有增根 解:方程两边都乘以(x+2)(x-2)得2(x+2)+mx=3(x-2),即(m-1)x=-10.①当m 1=0时,此方程无解,此时m=1:②方程有增根,则x=2或x=-2,当x=2时,代入 (m1)x=-10得(m1)×2=-10,m=-4;当x=-2时,代入(m-1)x=-10得(m 1)×(-2)=-10,解得m=6,∴m的值是1,-4或6. 方法总结:分式方程无解与分式方程有増根所表达的意义是不一样的.分式方程有增根 仅仅针对使最简公分母为0的数,分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数,而且还包 括分式方程化为整式方程后,使整式方程无解的数 板书设计 分式方程及其解法 1.分式方程的概念 2.分式方程的解法 3.产生增根的条件 数学反思 这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法,从而归纳 出分式方程的基本解题步骤.在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要检验,要让学生理 解增根的由来,从而牢记分式方程在解题后要进行检验,避免解题岀错.在完成解题步骤归 纳之后,通过例题与练习让学生在出错中找到正确的解法,让学生自己归纳理解解题时容易
【类型二】 分式方程有增根，求字母的值 如果关于 x 的分式方程 2 x－3 ＝1－ m x－3 有增根，则 m 的值为( ) A．－3 B．－2 C．－1 D．3 解析：方程两边同乘以 x－3，得 2＝x－3－m①.∵原方程有增根，∴x－3＝0，即 x＝3. 把 x＝3 代入①，得 m＝－2.故选 B. 方法总结：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为 0 确定增根；②化分式方程 为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【类型三】 分式方程无解，求字母的值 若关于 x 的分式方程 2 x－2 ＋ mx x 2－4 ＝ 3 x＋2 无解，求 m 的值． 解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式 方程有增根． 解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得 2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.①当 m －1＝0 时，此方程无解，此时 m＝1；②方程有增根，则 x＝2 或 x＝－2，当 x＝2 时，代入 (m－1)x＝－10 得(m－1)×2＝－10，m＝－4；当 x＝－2 时，代入(m－1)x＝－10 得(m－ 1)×(－2)＝－10，解得 m＝6，∴m 的值是 1，－4 或 6. 方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根 仅仅针对使最简公分母为 0 的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为 0 的数，而且还包 括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数． 三、板书设计 分式方程及其解法 1．分式方程的概念； 2．分式方程的解法； 3．产生增根的条件． 这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法，从而归纳 出分式方程的基本解题步骤．在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要检验，要让学生理 解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验，避免解题出错．在完成解题步骤归 纳之后，通过例题与练习让学生在出错中找到正确的解法，让学生自己归纳理解解题时容易
出错的地方,防止犯错
出错的地方，防止犯错．