第2课时分式的混合运算 教学目标一 1.掌握分式加减乘除法的法则,并会运用法则进行分式加减乘除法的计算.(重点) 2.能够运用分式加减乘除法则来解决混合运算的实际问题.(难点 数学过程 、情境导入 提出问题: 1.说出有理数混合运算的顺序 2.类比有理数混合运算的顺序,同学们能说出分式的混合运算顺序吗? 今天我们共同探究分式的混合运算 二、合作探究 探究点:分式的混合运算 【类型一】分式的化简 1计算: a-3a+3 (2)(x+x-1)÷(2+x-1 解析:(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,约分得到最简结果 (2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算,同时利用除法法则变形,约分 即可得到结果 解:(1)原式3a+9a-a+3a(a+3)(a-3) 2a+1 (a+3)(a-3) 2x2-2+x+1-x+1 (2)原式 (x+1)(x-1)(x+1)(x-1) (x-1)_x (x+1)(x-1) 2x2 方法总结:分式的混合运算,要注意运算顺序,先乘方,再乘除,然后加减,有括号的 先算括号里面的 【类型二】分式的化简求值
第 2 课时 分式的混合运算 1．掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式加减乘除法的计算．(重点) 2．能够运用分式加减乘除法则来解决混合运算的实际问题．(难点) 一、情境导入 提出问题： 1．说出有理数混合运算的顺序． 2．类比有理数混合运算的顺序，同学们能说出分式的混合运算顺序吗？ 今天我们共同探究分式的混合运算． 二、合作探究 探究点：分式的混合运算 【类型一】 分式的化简 计算： (1)( 3a a－3 － a a＋3 )·a 2－9 a ； (2)(x＋ x x 2－1 )÷(2＋ 1 x－1 － 1 x＋1 )． 解析：(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果； (2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分 即可得到结果． 解：(1)原式＝ 3a 2＋9a－a 2＋3a （a＋3）（a－3） · （a＋3）（a－3） a ＝2a＋12； (2)原式＝ x 3 （x＋1）（x－1） ÷ 2x 2－2＋x＋1－x＋1 （x＋1）（x－1） ＝ x 3 （x＋1）（x－1） · （x＋1）（x－1） 2x 2 ＝ x 2 . 方法总结：分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的 先算括号里面的． 【类型二】 分式的化简求值
例先化简代数式=2x+1:(1r+1,再从-4<x<4的范围内选取一个合适的整 x2-1 数x代入求值 解析:先计算括号里的减法运算,再把除法运算转化成乘法运算,进行约分化简,最后 从x的取值范围内选取一数值代入即可 x-1)2 (x-1) x+1 解:原式 (x+1)(x-1)x+1x+1(x+1)(x-1) 0(x≠±1且x≠2),得原式 方法总结:把分式化成最简分式是解题的关键,通分、因式分解和约分是基本环节,注 意选数时,要求分母不能为0. 【类型三】利用公式变形对分式进行化简 倒已知a+2=5,求a a+a+1的值 解析:本题若先求出a的值,再代入求值,显然现在解不出a的值,如果将 a+a2+1 分子、分母颠倒过来,即求 a+1+-的值,再利用公式变形求值就简单多了 解:因为a+-=5,所以(a+-)2=25,即a2+2=23,所以 a+a2+1 +1=24.所以一 a+a2+1 方法总结:利用x和互为倒数的关系,沟通已知条件与所求未知代数式的关系,可以 使一些分式求值问题的思路豁然开朗,使解题过程简洁 【类型四】分式混合运算的应用 例4甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果,甲每次都买了20千克水果 乙每次都用20元去买水果.两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克(a、b为正整数 且a≠b (1)甲、乙两人所购水果的平均价格各是多少? (2)谁的购买方式更合算?请说明理由 解析:(1)用总钱数除以总质量即可表示出各自的平均价格;(2)利用作差法求出甲平均 价格减去乙平均价格得到差大于0,可得出乙更合算
先化简代数式x 2－2x＋1 x 2－1 ÷(1－ 3 x＋1 )，再从－4＜x＜4 的范围内选取一个合适的整 数 x 代入求值． 解析：先计算括号里的减法运算，再把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后 从 x 的取值范围内选取一数值代入即可． 解：原式＝ （x－1）2 （x＋1）（x－1） ÷( x＋1 x＋1 － 3 x＋1 )＝ （x－1）2 （x＋1）（x－1） × x＋1 x－2 ＝ x－1 x－2 ，令 x ＝0(x≠±1 且 x≠2)，得原式＝1 2 . 方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注 意选数时，要求分母不能为 0. 【类型三】 利用公式变形对分式进行化简 已知 a＋ 1 a ＝5，求 a 2 a 4＋a 2＋1 的值． 解析：本题若先求出 a 的值，再代入求值，显然现在解不出 a 的值，如果将 a 2 a 4＋a 2＋1 的 分子、分母颠倒过来，即求 a 4＋a 2＋1 a 2 ＝a 2＋1＋ 1 a 2的值，再利用公式变形求值就简单多了． 解：因为 a＋ 1 a ＝5，所以(a＋ 1 a ) 2＝25，即 a 2＋ 1 a 2＝23，所以a 4＋a 2＋1 a 2 ＝a 2＋1＋ 1 a 2＝23 ＋1＝24.所以 a 2 a 4＋a 2＋1 ＝ 1 24. 方法总结：利用 x 和 1 x 互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以 使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁． 【类型四】 分式混合运算的应用 甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了 20 千克水果， 乙每次都用 20 元去买水果．两次水果的价格分别为 a 元/千克和 b 元/千克(a、b 为正整数 且 a≠b)． (1)甲、乙两人所购水果的平均价格各是多少？ (2)谁的购买方式更合算？请说明理由． 解析：(1)用总钱数除以总质量即可表示出各自的平均价格；(2)利用作差法求出甲平均 价格减去乙平均价格得到差大于 0，可得出乙更合算．
20a+20ba+b 20+202ab 解:(1)甲的平均价格为20+20=2 乙的平均价格为 20.20a+b a+b 2ab (a+b) (2)甲的平均价格一乙的平均价格为 2a+b2(a+b) a+b)2(a+b) a≠b,∵ 2(a+b) >0,∴甲的平均价格>乙的平均价格,则乙的购买方式更合算 方法总结:灵活运用作差法判断两个式子的大小,要掌握分式的加减混合运算 三、板书设计 分式的混合运算 分式混合运算的顺序:先乘方,再乘除,然后加减,遇到括号要先算括号内的. 教学反思 在学习这部分内容时,可以根据学生的具体情况,适当增加例题和习题,让学生熟练掌 握分式的运算法则并提高运算能力.但与整式、分数的运算相比,分式的运算步骤多,符号 变化复杂,所以在增加例题和习题时,要注意控制难度,特别是不要在分子、分母的因式分 解上增加难度.关键是让学生通过基本的练习,弄清运算依据,做到步步有据,降低计算的 错误率
解：(1)甲的平均价格为20a＋20b 20＋20 ＝ a＋b 2 ；乙的平均价格为20＋20 20 a ＋ 20 b ＝ 2ab a＋b ； (2)甲的平均价格－乙的平均价格为a＋b 2 － 2ab a＋b ＝ （a＋b） 2 2（a＋b） － 4ab 2（a＋b） ＝ （a－b） 2 2（a＋b） ， ∵a≠b，∴ （a－b）2 2（a＋b） ＞0，∴甲的平均价格＞乙的平均价格，则乙的购买方式更合算． 方法总结：灵活运用作差法判断两个式子的大小，要掌握分式的加减混合运算． 三、板书设计 分式的混合运算 分式混合运算的顺序：先乘方，再乘除，然后加减，遇到括号要先算括号内的． 在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌 握分式的运算法则并提高运算能力．但与整式、分数的运算相比，分式的运算步骤多，符号 变化复杂，所以在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分 解上增加难度．关键是让学生通过基本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降低计算的 错误率．