14.3因式分解 14.3.1提公因式法 数学目标 1.理解因式分解的概念,以及因式分解与整式乘法的关系.会用提取公因式的方法分 解因式.(重点 2.会确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式.(难点) 教学心程 、情境导入 1.多媒体展示,让学生完成 计算:(1)m(a+b+c):(2)(a+b)(a-b);(3)(a+b)2 学生通过回忆前面所学的解题方法,完成解题,并积极作答: (1)ma+b+c)=ma+mb+mc (2)(a+b)(a-b)=a-b2; (3)(a+b)2=a2+2ab+b2. 2.学生通过对比上题发现: (1)ma+ mb+ mc=m(at b+c) (2)a-b=(a+b)(a-b); (3)a+2ab+b=(a+b)2 3.教师肯定学生的表现,说明其过程正好与整式的乘法相反,它是把一个多项式化为 几个整式的积的形式,该过程叫做因式分解,这节课我们就来探讨它 、合作探究 探究点一:因式分解的概念 1下列从左到右的变形中是因式分解的有() ①x-y2-1=(x+y)(x-y)-1:②x+x=x(x+1):③(x-y)2=x2-2xy+y2;④x- 9y2=(x+3y)(x-3y) A.1个B.2个C.3个D.4个 解析:①没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故①不是因式分解;②把一个多项 式转化成几个整式积的形式,故②是因式分解;③是整式的乘法,故③不是因式分解;④把 一个多项式转化成几个整式积的形式,故④是因式分解;故选B. 方法总结:因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆运算,二者是一个式子的不
14．3 因式分解 14．3.1 提公因式法 1．理解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．会用提取公因式的方法分 解因式．(重点) 2．会确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．(难点) 一、情境导入 1．多媒体展示，让学生完成． 计算：(1)m(a＋b＋c)；(2)(a＋b)(a－b)；(3)(a＋b) 2 . 学生通过回忆前面所学的解题方法，完成解题，并积极作答： (1)m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc； (2)(a＋b)(a－b)＝a 2－b 2； (3)(a＋b) 2＝a 2＋2ab＋b 2 . 2．学生通过对比上题发现： (1)ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)； (2)a 2－b 2＝(a＋b)(a－b)； (3)a 2＋2ab＋b 2＝(a＋b) 2 . 3．教师肯定学生的表现，说明其过程正好与整式的乘法相反，它是把一个多项式化为 几个整式的积的形式，该过程叫做因式分解，这节课我们就来探讨它． 二、合作探究 探究点一：因式分解的概念 下列从左到右的变形中是因式分解的有( ) ①x 2－y 2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x 3＋x＝x(x 2＋1)；③(x－y) 2＝x 2－2xy＋y 2；④x 2－ 9y 2＝(x＋3y)(x－3y)． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项 式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把 一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；故选 B. 方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不
同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式,整式乘法是多项式的表现形式 探究点二:提公因式法分解因式 【类型一】确定公因式 圆2多项式6ab2c-3abc+12ab中各项的公因式是( A. abc b 3ab C. 3abc D 3ab 解析:系数的最大公约数是3,相同字母的最低指数次幂是ab,∴公因式为3ab.故选 方法总结:确定多项式中各项的公因式,可概括为三“定”:(1)定系数,即确定各项 系数的最大公约数;(2)定字母,即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式);(3)定指 数,即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂 【类型二】用提公因式法因式分解 例3因式分解: (1)8ab2+12abc; (2)2a(b+c)-3(b+c) (3)(a+b)(a-b)-a-b 解析:将原式各项提取公因式即可得到结果 解:(1)原式=4ab2(2a2+3bc); (2)原式=(2a-3)(b+c); (3)原式=(a+b)(a-b-1) 方法总结:提公因式法的基本步骤:(1)找出公因式;(2)提公因式并确定另一个因式 【类型三】利用因式分解简化运算 囹4计算 (1)39×37-13×91: (2)29×20.16+72×20.16+13×20.16-20.16×14. 解析:(1)首先提取公因式13,进而求出即可;(2)首先提取公因式20.16,进而求出即 可 解:(1)39×37-13×91=3×13×37-13×91=13×(3×37-91)=13×20=260; (2)29×20.16+72×20.16+13×20.16-20.16×14=20.16×(29+72+13-14)= 方法总结:在计算求值时,若式子各项都含有公因式,用提取公因式的方法可使运算简
同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式． 探究点二：提公因式法分解因式 【类型一】 确定公因式 多项式 6ab 2 c－3a 2 bc＋12a 2 b 2 中各项的公因式是( ) A．abc B．3a 2 b 2 C．3a 2 b 2 c D．3ab 解析：系数的最大公约数是 3，相同字母的最低指数次幂是 ab，∴公因式为 3ab.故选 D. 方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项 系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指 数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【类型二】 用提公因式法因式分解 因式分解： (1)8a 3 b 2＋12ab 3 c； (2)2a(b＋c)－3(b＋c)； (3)(a＋b)(a－b)－a－b. 解析：将原式各项提取公因式即可得到结果． 解：(1)原式＝4ab 2 (2a 2＋3bc)； (2)原式＝(2a－3)(b＋c)； (3)原式＝(a＋b)(a－b－1)． 方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式． 【类型三】 利用因式分解简化运算 计算： (1)39×37－13×91； (2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14. 解析：(1)首先提取公因式 13，进而求出即可；(2)首先提取公因式 20.16，进而求出即 可． 解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260； (2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14＝20.16×(29＋72＋13－14)＝ 2016. 方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简 便．
【类型四】利用因式分解整体代換求值 例5已知a+b=7,ab=4,求ab+ab的值 解析:原式提取公因式变形后,将a+b与ab的值代入计算即可求出值. 解:∵a+b=7,ab=4,∴原式=ab(a+b)=4×7=28. 方法总结:求代数式的值,有时要将已知条件看作一个整体代入求值 【类型五】因式分解与三角形知识的综合 例6△ABC的三边长分别为a、b、C,且a+2ab=c+2bc,请判断△ABC是等边三角形 等腰三角形还是直角三角形?并说明理由 解析:对已知条件进行化简后得到a=c,根据等腰三角形的概念即可判定 解:整理a+2ab=c+2bc得,a+2ab-c-2bc=0,(a-c+2b(a-c=0,(a-c)(1 +2b)=0,∴(a-)=0或(1+2b=0,即a=c或b=-(舍去),∴△ABC是等腰三角形 方法总结:通过提公因式分解因式,找出三边的关系来判定三角形的形状 【类型六】运用因式分解探究规律 例阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题: 1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3 (1)上述因式分解的方法是 共应用了 _次 (2)若分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)20,则需应用上述方法 次,结果是 (3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)(n为正整数). 解析:(1)根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可;(2)根据已知分解因式的方 法可以得出答案;(3)由(1)中计算发现规律进而得出答案 解:(1)因式分解的方法是提公因式法,共应用了2次 (2)分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)205,需应用上述方法2015次,结 果是(1+x)2015 (3)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)°=(1+x) 方法总结:解决此类问题需要认真阅读理解题意,根据已知得岀分解因式的规律是解题 关键 三、板书设计 提公因式法 1.因式分解的概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式 2.因式分解与整式乘法是方向相反的变形
【类型四】 利用因式分解整体代换求值 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a 2 b＋ab 2 的值． 解析：原式提取公因式变形后，将 a＋b 与 ab 的值代入计算即可求出值． 解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28. 方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值． 【类型五】 因式分解与三角形知识的综合 △ABC 的三边长分别为 a、b、c，且 a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC 是等边三角形、 等腰三角形还是直角三角形？并说明理由． 解析：对已知条件进行化简后得到 a＝c，根据等腰三角形的概念即可判定． 解：整理 a＋2ab＝c＋2bc 得，a＋2ab－c－2bc＝0，(a－c)＋2b(a－c)＝0，(a－c)(1 ＋2b)＝0，∴(a－c)＝0 或(1＋2b)＝0，即 a＝c 或 b＝－ 1 2 (舍去)，∴△ABC 是等腰三角形． 方法总结：通过提公因式分解因式，找出三边的关系来判定三角形的形状． 【类型六】 运用因式分解探究规律 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x) 2 (1＋x)＝(1＋x) 3 . (1)上述因式分解的方法是____________，共应用了______次； (2)若分解因式 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，则需应用上述方法______ 次，结果是____________； (3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n (n 为正整数)． 解析：(1)根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；(2)根据已知分解因式的方 法可以得出答案；(3)由(1)中计算发现规律进而得出答案． 解：(1)因式分解的方法是提公因式法，共应用了 2 次； (2)分解因式 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，需应用上述方法 2015 次，结 果是(1＋x) 2015； (3)1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n ＝(1＋x) n＋1 . 方法总结：解决此类问题需要认真阅读理解题意，根据已知得出分解因式的规律是解题 关键． 三、板书设计 提公因式法 1．因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式． 2．因式分解与整式乘法是方向相反的变形．
3.提取公因式的方法:把多项式各项的公因式提取出来,写成公因式与另一个因式乘 积的形式 数学反思 本节中要给学生留出自主的空间,然后引入稍有层次的例题,让学生进一步感受因式分 解与整式的乘法是逆过程,从而可用整式的乘法检查错误.本节课在对例题的探究上,提倡 引导学生合作交流,使学生发挥群体的力量,以此提高教学效果
3．提取公因式的方法：把多项式各项的公因式提取出来，写成公因式与另一个因式乘 积的形式． 本节中要给学生留出自主的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式分 解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误．本节课在对例题的探究上，提倡 引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果．