13.4课题学习最短路径问题 教学目标 1.目标:能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问 题中的作用;感悟转化思想. 2.能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间,线段最短”问题;在探索 最算路径的过程中,体会轴对称的“桥梁”作用,感悟转化思想 重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间,线段最短”问题 难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 教学过程 教学内容与教师活动 学生活设计意图 创设情景引入课题 师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段学生思 最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线考教师从生活中问 段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题现实生活展示问题出发,唤 题,并观起学生的学 中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探察图片,习兴趣及探 究数学史中著名的“将军饮马问题” 获得感索欲望 (板书)课题 性认识 自主探究合作交流建构新知 追问1:观察思考,抽象为数学问题 这是一个实际问题,你打算首先做什么 活动1:思考画图、得出数学问题 动手画为学生提供 将A,B两地抽象为两个点,将河Ⅰ抽象为一条直线 直线参与数学活 动的生活情 境,培养学 生的把生活 问题转化为 观察口数学问题的 答能力 A 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?
13.4 课题学习 最短路径问题 教学目标 1.目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问 题中的作用；感悟转化思想. 2.能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；在探索 最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想. 重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题 难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 教学过程 教学内容与教师活动 学生活 动 设计意图 一、创设情景 引入课题 师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段 最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线 段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活 中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探 究数学史中著名的“将军饮马问题”． （板书）课题 学生思 考教师 展示问 题，并观 察图片， 获得感 性认识. 从生活中问 题出发，唤 起学生的学 习兴趣及探 索欲望. 二、自主探究 合作交流 建构新知 追问 1：观察思考，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 活动 1：思考画图、得出数学问题 将 A，B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直 线． 追问 2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ 动手画 直线 观察口 答 为学生提供 参与数学活 动的生活情 境，培养学 生的把生活 问题转化为 数学问题的 能力. B 。 。A l
师生活动:学生尝试回答,并互相补充,最后达成共认 手连经历观 1)从A地出发,到河边1饮马,然后到B地 画图-说理 (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B连观察口等活动,感 接起来的两条线段的长度之和,就是从A地 受几何的研 到饮马地点,再回到B地的路程之和;(3)现在的问题是怎 究方法,培 样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C为 养学生的逻 直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C在的 辑思考能 什么位置时,AC与CB的和最小(如图) 力 dB 独立思 合作交 B 达到轴对称 知识的学以 强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题” 致用 报交注意问题解 活动2:尝试解决数学问题 流成果,决方法的小 问题2:如图,点A,B在直线1的同侧,点C是直线书写理|结:抓对称 上的一个动点,当点C在1的什么位置时,AC与CB的和 性来解决 最小? 追问1你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条 件的点B吗? B 思考感 悟活动 A 中的将及时进行学 军饮马法指导,注 问题,把重方法规律 刚学过的提炼总 的方法结 经验迁 移过来 问题3如图,点A,B在直线1的同侧,点C是直线 上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和 最小? 学生独 立完成, 集体订学以致用 及时巩固
师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识： （1）从 A 地出发，到河边 l 饮马，然后到 B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与 A，B 连 接起来的两条线段的长度之和，就是从 A 地 到饮马地点，再回到 B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎 样找出使两条线段长度之和为最短的直线 l 上的点．设 C 为 直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点 C 在 l 的 什么位置时，AC 与 CB 的和最小（如图）． 强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题” 活动 2：尝试解决数学问题 问题 2 ： 如图，点 A，B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线 上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和 最小？ 追问 1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条 件的点 B′吗？ 问题 3 如图，点 A，B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线 上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和 最小？ 动手连 线 观察口 答 独立思 考 合作交 流 汇报交 流成果， 书写理 由. 思考感 悟活动 1 中的将 军饮马 问题，把 刚学过 的方法 经验迁 移过来 学生独 立完成， 集体订 正 经历观察- 画图-说理 等活动，感 受几何的研 究方法，培 养学生的逻 辑思考能 力. 达到轴对称 知识的学以 致用 注意问题解 决方法的小 结：抓对称 性来解决 及时进行学 法指导，注 重方法规律 的提炼总 结. 学以致用， 及时巩固 l A B′ C B B 。 。A l B A
师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相 补充 如果学生有困难,教师可作如下提示 作法: 1)作点B关于直线1的对称点B’; (2)连接AB,与直线1相交于点C,则点C即为所求 如图所示: 学生独注意问题解 立完成,决方法的小 集体订结:抓轴对 称来解决 B 问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗? 教师展示:证明:如图,在直线l上任取一点C(与点 C不重合),连接AC,BC,BC 经历观察 由轴对称的性质知, 画图-说理 BC=B C, BC=B C 等活动,感 AC +BC 受几何的研 =AC+B′C=AB′ 究方法,培 AC′+BC′ 养学生的逻 辑思考能 =AC+B′C′, 力
师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相 补充 如果学生有困难，教师可作如下提示 作法： （1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B′； （2）连接 AB′，与直线 l 相交于点 C，则点 C 即为所求． 如图所示： 问题 3 你能用所学的知识证明 AC +BC 最短吗？ 教师展示：证明：如图，在直线 l 上任取一点 C′（与点 C 不重合），连接 AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′． 学生独 立完成， 集体订 正 注意问题解 决方法的小 结：抓轴对 称来解决 经历观察- 画图-说理 等活动，感 受几何的研 究方法，培 养学生的逻 辑思考能 力. l C A B B′
互相交 流解题|提炼思想方 B 经验法:轴对称, 线段和最短 A 方法提炼: 将最短路径问题抽象为线段和最小问题” 问题4 练习如图,一个旅游从大桥AB的P处前往山脚下的 Q处接游客,然后将游客送往河岸BC上,再返回P处,请 画出旅游船的最短路径 独立完 成,交流体会转化思 经验 河岸 观察思 考,动手体验轴对称 A P B 画图,用知识的应用 轴对称 大桥 知识进 行解决 基本思路:由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ, 线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为 条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q在直线BC的同侧, 如何在BC上找到一点R,使PP与Q的和最小 问题5造桥选址问题 如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥 MN.乔早在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河 的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
方法提炼： 将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”. 问题 4 练习 如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再返回 P 处，请 画出旅游船的最短路径． 基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接 PQ， 线段 PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一 条直线 BC，这样问题就转化为“点 P，Q 在直线 BC 的同侧， 如何在 BC 上找到一点 R，使 PR 与 QR 的和最小”． 问题 5 造桥选址问题 如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN.乔早在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假定河 的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 互相交 流解题 经验 独立完 成，交流 经验 观察思 考，动手 画图，用 轴对称 知识进 行解决 提炼思想方 法：轴对称， 线段和最短 体会转化思 想， 体验轴对称 知识的应用 B l A B ′ C C ′ A B C P Q 山 河岸 大桥
思维分析:T、如图假定任选位置造桥MN,连接AM和 BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况 下最短呢? 2、利用线段公理解决问题我们遇到P什么障碍呢? 各抒己 动手体验 A 合作与 交流 动手作图 B 思维点拨:改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢? 什么图形变换能帮助我们呢?(估计有以下方法) 1、把A平移到岸边. 2、把B平移到岸边 3、把桥平移到和A相连 4、把桥平移到和B相连. 教师:上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢?请检验 1、2两种方法改变了.怎样调整呢?把A或B分别向下或 上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢? 问题解决:如图,平移A到Al,使AA1等于河宽,连接 A1B交河岸于N作桥MN,此时路径AM+MN+BN最 短.理由;另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A 1N1.由平移性质可知,AM=A1N,AA1=MN M1N1,AM1=A1N1.AM+MN+N转化为AA1 +A1B,而AM1+M1N1+BN1转化为AA1+ A1N1+BN1.在△A1N1B中,由线段公理知 AN1+BN1>AIB因此AM1+M1N1+BN1> AM+N+BN如图所示 A 交流体体验转化思
思维分析：1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和 ＢＮ，从 A 到 B 的路径是 AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况 下最短呢？ 2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？ 思维点拨：改变 AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢？ 什么图形变换能帮助我们呢？（估计有以下方法） 1、把 A 平移到岸边. 2、把 B 平移到岸边. 3、把桥平移到和 A 相连. 4、把桥平移到和 B 相连. 教师：上述方法都能做到使 AM+MN+BN 不变呢？请检验. 1、2 两种方法改变了.怎样调整呢？把 A 或 B 分别向下或 上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢? 问题解决：如图，平移 A 到 A1，使ＡA1 等于河宽，连接 A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最 短. 理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ １Ｎ１. 由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN 转化为ＡＡ１ ＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化为ＡＡ１＋ Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知 A1N1+BN1 ＞ A1B 因 此 Ａ Ｍ １ ＋ Ｍ １ Ｎ １ ＋ Ｂ Ｎ １ ＞ AM+MN+BN 如图所示： 各抒己 见 合作与 交流 交流体 会 动手体验 动手作图 体验转化思 想 B A B A Ｍ Ｎ B A
A1 方法提炼: 将最短路径问题转化为“线我和最小问N 教学内答与教师动 学生活设计意图 巩固训练 1、最短路径问题 1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只 要连接这两点,与直线的交点即为所求 如图所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个 C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点 巩固所学知 学生独识,增强学 思考生应用知识 2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的间愿只解决间的能力,渗 要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点, 则与该直线的交点即为所求 透转化思 如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在/上找一个点 C,使CA+CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B′,则点C 是直线l与AB′的交点 B B′ 2.如图,A和B两地之间有两条河,现要在两条河上各造 座桥NN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短? (假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)
方法提炼： 将最短路径问题转化为“线段和最小问题” 教学内容与教师活动 学生活 动 设计意图 三、巩固训练 1、最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只 要连接这两点，与直线的交点即为所求． 如图所示，点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，在 l 上找一个点 C，使 CA＋CB 最短，这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只 要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点， 则与该直线的交点即为所求． 如图所示，点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，在 l 上找一个点 C，使 CA＋CB 最短，这时先作点 B 关于直线 l 的对称点 B′，则点 C 是直线 l 与AB′的交点． 2.如图，A 和 B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一 座桥 MN 和 PQ.桥分别建在何处才能使从 A 到 B 的路径最短？ （假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直） 学生独 立思考 解决问 题 巩固所学知 识，增强学 生应用知识 的能力，渗 透转化思 想. A1 N Ｎ１ M Ｍ１
如图,问题中所走总路径是M+N+NP+PQ+QB.桥M和PQ独立思提炼方法, 在中间,且方向不能改变,仍无法直接利用“两点之间,线考,合为课本例题 段最短”解决问题,只有利用平移变换转移到两侧或同一侧作交奠定基础 先走桥长.平移的方法有三种:两个桥长都平移到A点处、都流 平移到B点处、MN平移到A点处,PQ平移到B点处 四、反思小结布置作业 自由发总结回顾学 小结反思 言,相习内容,帮 (1)本节课研究问题的基本过程是什么? 互借助学生归纳 (2)轴对称在所研究问题中起什么作用? 鉴.自反思所学知 解决问题中,我们应用了哪些数学思想方法? 我评识及思想方 你还有哪些收获? 价 作业布置、课后延伸 关注学生的 必做题:课本P93-15题;选做题:生活中,你发现那些需要 个体差异 用到本课知识解决的最短路径问题 板书设计: 13.4最短路径问题 两点的所有连线中,线段最短”、 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的 问题,我们称它们为最短路径问题 方法提炼: 将最短路径问题转化为“线段和最小问题” 教学反思
如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥 MN 和 PQ 在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线 段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧 先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到 A 点处、都 平移到 B 点处、MN 平移到 A 点处，PQ 平移到 B 点处 . 独立思 考，合 作 交 流. 提炼方法， 为课本例题 奠定基础. 四、反思小结 布置作业 小结反思 （1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？ 解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？ 你还有哪些收获？ 作业布置、课后延伸 必做题：课本 P93-15 题；选做题：生活中，你发现那些需要 用到本课知识解决的最短路径问题 自由发 言 , 相 互 借 鉴 . 自 我 评 价. 总结回顾学 习内容，帮 助学生归纳 反思所学知 识及思想方 法. 关注学生的 个体差异. 板书设计： 教学反思： 13.4 最短路径问题 两点的所有连线中，线段最短”、 “连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的 问题，我们称它们为最短路径问题． 方法提炼： 将最短路径问题转化为“线段和最小问题