14.22完全平方公式 教学目标一 1.会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的运算.(重点) 2.灵活运用完全平方公式进行计算.(难点) 数学过程 情境导入 1.教师引导学生复习平方差公式 学生积极举手回答 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 2.教师肯定学生的表现,并讲解:这节课我们学习另一种特殊形式的多项式与多项式 相乘一一完全平方公式 二、合作探究 探究点一:完全平方公式 【类型一】直接运用完全平方公式进行计算 1利用完全平方公式计算 (2)(-3m-4n)2; (3)(-3a+b) 解析:直接运用完全平方公式进行计算即可 解:(1)(5-a)2=25-10a+a2 (2)(-3m4n)2=9m2+24m+16n 3)(-3a+b)2=9a-6ab+b 方法总结:完全平方公式:(a±b)2=a±2ab+b.可巧记为“首平方,末平方,首末两 倍中间放 【类型二】构造完全平方式 例2如果36x2+(m+1)xy+25y2是一个完全平方式,求m的值 解析:先根据两平方项确定岀这两个数,再根据完全平方公式确定m的值 解:∵36x2+(m+1)xy+25y2=(6x)2+(m+1)xy+(5y)2,∴(m+1)xy=±2·6x·5y, m+1=±60,∴m59或-61 方法总结:两数的平方和加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积
14．2.2 完全平方公式 1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算．(重点) 2．灵活运用完全平方公式进行计算．(难点) 一、情境导入 1．教师引导学生复习平方差公式． 学生积极举手回答． 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a 2－b 2 . 2．教师肯定学生的表现，并讲解：这节课我们学习另一种特殊形式的多项式与多项式 相乘——完全平方公式． 二、合作探究 探究点一：完全平方公式 【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算 利用完全平方公式计算： (1)(5－a) 2； (2)(－3m－4n) 2； (3)(－3a＋b) 2 . 解析：直接运用完全平方公式进行计算即可． 解：(1)(5－a) 2＝25－10a＋a 2； (2)(－3m－4n) 2＝9m 2＋24mn＋16n 2； (3)(－3a＋b) 2＝9a 2－6ab＋b 2 . 方法总结：完全平方公式：(a±b) 2＝a 2±2ab＋b 2 .可巧记为“首平方，末平方，首末两 倍中间放”． 【类型二】 构造完全平方式 如果 36x 2＋(m＋1)xy＋25y 2 是一个完全平方式，求 m 的值． 解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定 m 的值． 解：∵36x 2＋(m＋1)xy＋25y 2＝(6x) 2＋(m＋1)xy＋(5y) 2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y， ∴m＋1＝±60，∴m＝59 或－61. 方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积
的2倍的符号,避免漏解 【类型三】运用完全平方公式进行简便运算 例3利用乘法公式计算: (2)20162-2016×4030+20152 解析:原式变形后,利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果 解:(1)原式=(100-2)2-(100+1)(100-1)=100-400+4-1002+1=-395 (2)原式=20162-2×2016×2015+20152=(2016-2015)2=1. 方法总结:运用完全平方公式进行简便运算,要熟记完全平方公式的特征,将原式转化 为能利用完全平方公式的形式 【类型四】灵活运用完全平方公式求代数式的值 例4己知x-y=6,xy=-8 (1)求x+y2的值 2)求代数式(x+y+z)2+(x-y-z)(x-y+z)-z(x+y)的值 解析:(1)由(x-y)2=x2+y2-2xy,可得x+y2=(x-y)2+2x,将x-y=6,xy=-8 代入即可求得x+y的值;(2)首先化简(x+y+z)2+5(x-y-2)(x-y+2)-z(x+y=x +y2,由(1)即可求得答案 解:(1)∵x-y=6,xy=-8,∴(x-y)2=x2+y2-2xy,∴x+y2=(x-y)2+2xy=36 16=20 (2)∵:(x+y+2)2+(x-y-2)(x-y+z)-z(x+y=5(x2+y+z2+2xy+2xz+2yz) 2(x-y-2]-x-y=22+2+2+x+x+y+2+2-x=元=x-y= +y2,又∵x2+y2=20,∴原式=20 方法总结:通过本题要熟练掌握完全平方公式的变式:(x-y)2=x2+y2-2y,x2+y (x-y)2+2xy. 【类型五】完全平方公式的几何背景 5我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释 一些代数恒等式.例如图甲可以用来解释(a+b)2-(a-b)2=4ab.那么通过图乙面积的计算, 验证了一个恒等式,此等式是()
的 2 倍的符号，避免漏解． 【类型三】 运用完全平方公式进行简便运算 利用乘法公式计算： (1)982－101×99； (2)20162－2016×4030＋20152 . 解析：原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果． 解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395； (2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152＝(2016－2015)2＝1. 方法总结：运用完全平方公式进行简便运算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化 为能利用完全平方公式的形式． 【类型四】 灵活运用完全平方公式求代数式的值 已知 x－y＝6，xy＝－8. (1)求 x 2＋y 2 的值； (2)求代数式1 2 (x＋y＋z) 2＋ 1 2 (x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)的值． 解析：(1)由(x－y) 2＝x 2＋y 2－2xy，可得 x 2＋y 2＝(x－y) 2＋2xy，将 x－y＝6，xy＝－8 代入即可求得 x 2＋y 2 的值；(2)首先化简1 2 (x＋y＋z) 2＋ 1 2 (x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝x 2 ＋y 2，由(1)即可求得答案． 解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，∴(x－y) 2＝x 2＋y 2－2xy，∴x 2＋y 2＝(x－y) 2＋2xy＝36 －16＝20； (2)∵1 2 (x＋y＋z) 2＋ 1 2 (x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝ 1 2 (x 2＋y 2＋z 2＋2xy＋2xz＋2yz) ＋ 1 2 [(x－y) 2－z 2 ]－xz－yz＝ 1 2 x 2＋ 1 2 y 2＋ 1 2 z 2＋xy＋xz＋yz＋ 1 2 x 2＋ 1 2 y 2－xy－ 1 2 z 2－xz－yz＝x 2 ＋y 2，又∵x 2＋y 2＝20，∴原式＝20. 方法总结：通过本题要熟练掌握完全平方公式的变式：(x－y) 2＝x 2＋y 2－2xy，x 2＋y 2 ＝(x－y) 2＋2xy. 【类型五】 完全平方公式的几何背景 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释 一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b) 2－(a－b) 2＝4ab.那么通过图乙面积的计算， 验证了一个恒等式，此等式是( )
b=(a+b)(a-b) B.(a-b)(a+2b)=a2+ab-2b2 C.(a-b)=a-2ab+b D. (a+b)=a+2ab+b 解析:空白部分的面积为(a-b)2,还可以表示为a-2ab+B,所以,此等式是(a-b) =a2-2ab+b.故选C. 方法总结:通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释 探究点二:添括号后运用完全平方公式 例6计算:(1)(a-b+c) 2)(1-2x+y)(1+2x-y) 解析:利用整体思想将三项式转化为二项式,再利用完全平方公式或平方差公式求解, 并注意添括号的符号法则 解:(1)原式=[(a-b)+c]2=(a-b)2+a2+2(a-b)c=a-2ab+b2+c2+2ac-2bc=d +b+c-2ab+2ac-2bC 2)原式=[1+(-2x+y)][1-(-2x+y)]=12-(-2x+y)2=1-4x2+4xy-y 方法总结:利用完全平方公式进行计算时,应先将式子变成(a±b)2的形式.注意a,b 可以是多项式,但应保持前后使用公式的一致性 三、板书设计 完全平方公式 1.探究公式:(a±b)2=a2±2ab+b; 2.完全平方公式的几何意义; 3.利用完全平方公式计算 教学反思 本节的探讨方式和上节类似,都是通过“做一做”和“试一试”让学生在代数和几何两 方面理解完全平方公式.完全平方公式分为两数和的平方和两数差的平方两种形式,教学中 可以将两个公式写作一个公式:(a±b)2=a2±2ab+b,有助于学生的记忆.在探究两数差 的平方公式时,因为学生通过前面的学习已经掌握了几何的说明方法,因此可以让学生自己 画图证明
A．a 2－b 2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)(a＋2b)＝a 2＋ab－2b 2 C．(a－b) 2＝a 2－2ab＋b 2 D．(a＋b) 2＝a 2＋2ab＋b 2 解析：空白部分的面积为(a－b) 2，还可以表示为 a 2－2ab＋b 2，所以，此等式是(a－b) 2 ＝a 2－2ab＋b 2 .故选 C. 方法总结：通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 探究点二：添括号后运用完全平方公式 计算：(1)(a－b＋c) 2； (2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)． 解析：利用整体思想将三项式转化为二项式，再利用完全平方公式或平方差公式求解， 并注意添括号的符号法则． 解：(1)原式＝[(a－b)＋c] 2＝(a－b) 2＋c 2＋2(a－b)c＝a 2－2ab＋b 2＋c 2＋2ac－2bc＝a 2 ＋b 2＋c 2－2ab＋2ac－2bc； (2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)]＝1 2－(－2x＋y) 2＝1－4x 2＋4xy－y 2 . 方法总结：利用完全平方公式进行计算时，应先将式子变成(a±b) 2 的形式．注意 a，b 可以是多项式，但应保持前后使用公式的一致性． 三、板书设计 完全平方公式 1．探究公式：(a±b) 2＝a 2±2ab＋b 2； 2．完全平方公式的几何意义； 3．利用完全平方公式计算． 本节的探讨方式和上节类似，都是通过“做一做”和“试一试”让学生在代数和几何两 方面理解完全平方公式．完全平方公式分为两数和的平方和两数差的平方两种形式，教学中 可以将两个公式写作一个公式：(a±b) 2＝a 2±2ab＋b 2，有助于学生的记忆．在探究两数差 的平方公式时，因为学生通过前面的学习已经掌握了几何的说明方法，因此可以让学生自己 画图证明．
