第2课时含30°角的直角三角形的性质 教学目标 1.探索——发现——猜想——证明直角三角形中有一个角为30°的性质 2.有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用 教学重点 含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明 教学难点 1.含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明 2.引导学生全面、周到地思考问题 教学过程 提出问题,创设情境 我们学习过直角三角形,今天我们先来看一个特殊的直角三角形,看它具有 什么性质.大家可能已猜到,我让大家准备好的含30°角的直角三角形,·它有 什么不同于一般的直角三角形的性质呢? 问题:用两个全等的含30°角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形? ·能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由 由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小 关系?你能证明你的结论吗? Ⅱ.导入新课 用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形 A 其中,图(1)是等边三角形,因为△ABD≌△ACD,所以AB=AC,又因 为Rt△ABD中,∠BAD=60°,所以∠ABD=60°,有一个角是60°的等腰三 角形是等边三角形 图(1)中,∠B=∠C=60°,∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°,所
第 2 课时 含 30°角的直角三角形的性质 教学目标 1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为 30°的性质． 2．有一个角为 30°的直角三角形的性质的简单应用． 教学重点 含 30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明． 教学难点 1．含 30°角的直角三角形性质定理的探索与证明． 2．引导学生全面、周到地思考问题． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有 什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含 30°角的直角三角形，• 它有 什么不同于一般的直角三角形的性质呢？ 问题：用两个全等的含 30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？ • 能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由． 由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小 关系？你能证明你的结论吗？ Ⅱ．导入新课 用含 30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形． (1) D C A B (2) D C A B 其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以 AB=AC，又因 为 Rt△ABD 中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是 60°的等腰三 角形是等边三角形． 图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所
以∠B=∠C=∠BAC=60°,即△ABC是等边三角形. 由此能得出在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边的关系吗?你能证 明它吗? 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,·那么它所对的直角边等 于斜边的一半 已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30 求证:BC=AB A B D 分析:从三角尺的摆拼过程中得到启发,延长BC至D,使CD=BC,连接 AD 证明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,则∠B=60° 延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如下图) ∵∠ACB=60°,∴∠ACD=90 ∵AC=AC, ∴△ABC≌△ADC(SAS) ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等). △ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形) ∴BC=-BD=-AB 「例]右图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB 的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=74m,∠AEC A=30°,立柱BD、DE要多长? 分析:观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中,由于∠A=30°,所 以DE=AD,BC=AB,又由D是AB的中点,所以DE=AB 解:因为DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,由定理知
以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC 是等边三角形． 由此能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？你能证 明它吗？ 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，• 那么它所对的直角边等 于斜边的一半． 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°． 求证：BC= 1 2 AB． C A B C D A B 分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD． 证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°． 延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD（如下图） ∵∠ACB=60°， ∴∠ACD=90°． ∵AC=AC， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． ∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）． ∴△ABD 是等边三角形（有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形）． ∴BC= 1 2 BD= 1 2 AB． [例]右图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC、DE 垂直于横梁 AC，AB=7.4m，∠ A=30°，立柱 BD、DE 要多长？ 分析：观察图形可以发现在 Rt△AED 与 Rt△ACB 中，由于∠A=30°，所 以 DE= 1 2 AD，BC= 1 2 AB，又由 D 是 AB 的中点，所以 DE= 1 4 AB． 解：因为 DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知 D A E C B
C=-AB, DE=-AD 所以BD=×74=37(m). 又AD=AB, 所以DE=AD=×3.7=1.85(m) 答:立柱BC的长是37m,DE的长是185m 例]等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,求腰上的高 已知:如图,在△ABC中,AB=AC=2a,∠ ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高 求:CD的长 分析:观察图形可以发现,在Rt△ADC中 AC=2a,而∠DAC是△ABC的一个外角,·则∠DAC=15°×2=30°,根据在直 角三角形中,30°角所对的边是斜边的一半,·可求出CD 解:∵∠ABC=∠ACB=15°, ∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30 ∴CD=_AC=a(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的 直角边等于斜边的一半 Ⅲ.随堂练习 1.Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,∠B和∠A各是多少度?边AB与 BC·之间有什么关系?
BC= 1 2 AB，DE= 1 2 AD， 所以 BD= 1 2 ×7.4=3.7（m）． 又 AD= 1 2 AB， 所以 DE= 1 2 AD= 1 2 ×3.7=1.85（m）． 答：立柱 BC 的长是 3.7m，DE 的长是 1.85m． [例]等腰三角形的底角为 15°，腰长为 2a，求腰上的高． 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a，∠ ABC=∠ACB=15°，CD 是腰 AB 上的高． 求：CD 的长． 分析：观察图形可以发现，在 Rt△ADC 中， AC=2a，而∠DAC 是△ABC 的一个外角，• 则∠DAC=15°×2=30°，根据在直 角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，• 可求出 CD． 解：∵∠ABC=∠ACB=15°， ∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°． ∴CD= 1 2 AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一半）． Ⅲ．随堂练习 1. Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边 AB 与 BC• 之间有什么关系？ D C A B
答案:∠B=60°,∠A=30°,AB=2BC 已知:如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30 求证:BD=-AB 证明:在Rt△ABC中,∠A=30 C ∴BC=-AB. 在Rt△BCD中,∠B=60° ∴∠BCD=30 ∴BD=-BC ∴BD=-AB. 2.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍,这个角的平分线把 对边分成两条线段 求证:其中一条是另一条的2倍 已知:在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C,BD是∠ABC的平分线 求证:CD=2AD 证明:在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C, ∴∠ABC=60°,∠C=30 又∵BD是∠ABC的平分线, ∴∠ABD=∠DBC=30 ∴AD=-BD,BD=CD. ∴CD=2AD Ⅳ.课时小结 这节课,我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关 系.这个定理是个非常重要的定理,在今后的学习中起着非常重要的作用 V.课后作业
答案：∠B=60°，∠A=30°，AB=2BC． 2.已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°． 求证：BD= 1 4 AB． 证明：在 Rt△ABC 中，∠A=30°， ∴BC= 1 2 AB． 在 Rt△BCD 中，∠B=60°， ∴∠BCD=30°． ∴BD= 1 2 BC． ∴BD= 1 4 AB． 2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的 2 倍，这个角的平分线把 对边分成两条线段． 求证：其中一条是另一条的 2 倍． 已知：在 Rt△ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD 是∠ABC 的平分线． 求证：CD=2AD． 证明：在 Rt△ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C， ∴∠ABC=60°，∠C=30°． 又∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠DBC=30°． ∴AD= 1 2 BD，BD=CD． ∴CD=2AD． Ⅳ．课时小结 这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含 30°的直角三角形的边的关 系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用． Ⅴ．课后作业 D C B A D C A B
板书设计 含30°角的直角三角形的性质 定理:在直角三角形中,有一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜 边的一半
板书设计 含 30°角的直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，有一个锐角是 30°，那么它所对的直角边等于斜 边的一半．