13.4课题学习最短路径问题 教学目标 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用, 感悟转化思想.(重点) 2.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.(难点) 数学过程 、情境导入 相传,古希腊有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求 教一个百思不得其解的问题:从图中的A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.到 河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短? 、合作探究 探究点:最短路径问题 【类型一】两点的所有连线中,线段最短 例1如图所示,在河a两岸有A、B两个村庄,现在要在河上修建一座大桥,为方便交 通,要使桥到这两村庄的距离之和最短,应在河上哪一点修建才能满足要求?(画出图形, 做出说明) 解析:利用两点之间线段最短得出答案 解:如图所示,连接AB交直线a于点P,此时桥到这两村庄的距离之和最短.理由: 两点之间线段最短 方法总结:求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题只要连接这两点
13．4 课题学习 最短路径问题 1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用， 感悟转化思想．(重点) 2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点) 一、情境导入 相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求 教一个百思不得其解的问题：从图中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地．到 河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 二、合作探究 探究点：最短路径问题 【类型一】 两点的所有连线中，线段最短 如图所示，在河 a 两岸有 A、B 两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交 通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形， 做出说明) 解析：利用两点之间线段最短得出答案． 解：如图所示，连接 AB 交直线 a 于点 P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由： 两点之间线段最短． 方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点
与直线的交点即为所求 【类型二】运用轴对称解决距离最短回题 例2在图中直线l上找到一点M,使它到A,B两点的距离和最小 解析:先确定其中一个点关于直线l的对称点,然后连接对称点和另一个点,与直线1 的交点M即为所求的点 解:如图所示:(1)作点B关于直线l的对称点B:(2)连接AB交直线l于点胚(3) 点M即为所求的点 方法总结:利用轴对称解决最值问题应注意题目要求,根据轴对称的性质、利用三角形 的三边关系求解 【类型三】最短路径选址问题 例3如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水 (1)若要使厂址到A,B两村的距离相等,则应选择在哪建厂(要求:保留作图痕迹,写 出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到A,B两村的水管最短,应建在什么地方? 解析:(1)欲求到A、B两村的距离相等,即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可,交 点即为厂址所在位置;(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点 A,再连接AB交BF于点N,即可得出答案 解:(1)作出AB的垂直平分线与EF的交点M,交点M即为厂址所在位置 (2)如图所示:作A点关于直线F的对称点A′,再连接AB交EF于点M,点N即为 所求 【类型四】运用轴对称解决距离之差最大问题
与直线的交点即为所求． 【类型二】 运用轴对称解决距离最短问题 在图中直线 l 上找到一点 M，使它到 A，B 两点的距离和最小． 解析：先确定其中一个点关于直线 l 的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线 l 的交点 M 即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点 B 关于直线 l 的对称点 B′；(2)连接 AB′交直线 l 于点 M；(3) 点 M 即为所求的点． 方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形 的三边关系求解． 【类型三】 最短路径选址问题 如图，小河边有两个村庄 A，B，要在河边建一自来水厂向 A 村与 B 村供水． (1)若要使厂址到 A，B 两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写 出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到 A，B 两村的水管最短，应建在什么地方？ 解析：(1)欲求到 A、B 两村的距离相等，即作出 AB 的垂直平分线与 EF 的交点即可，交 点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出 A 点关于直线 EF 的对称点 A′，再连接 A′B 交 EF 于点 N，即可得出答案． 解：(1)作出 AB 的垂直平分线与 EF 的交点 M，交点 M 即为厂址所在位置； (2)如图所示：作 A 点关于直线 EF 的对称点 A′，再连接 A′B 交 EF 于点 N，点 N 即为 所求． 【类型四】 运用轴对称解决距离之差最大问题
4如图所示,A,B两点在直线1的两侧,在1上找一点C,使点C到点A、B的距离 之差最大 解析:此题的突破点是作点A(或劢关于直线l的对称点A′域或B)作直线A'B(AB" 与直线交于点C,把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决 解:如图所示,以直线为对称轴,作点A关于直线l的对称点A,AB的连线交l 于点C,则点C即为所求.理由:在直线l上任找一点C(异于点O,连接CA,CA,C A,CB因为点A,A关于直线1对称,所以为线段A!的垂直平分线,则有CA=CA 所以CACB=CA-CB=AB.又因为点C在1上,所以CA=CA.在△A′BC中, A-CB=CA-CBAB,所以CA-CB<CA-CB 方法总结:如果两点在一条直线的同侧,过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差 最大,如果两点在一条直线的异侧,过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小, 都可以用三角形三边关系来推理说明通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称 点来解决 板书设计 课题学习最短路径问题 1.求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直 线的交点即为所求 2.求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关 于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求 数学反思 通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价值.在互动交 流活动中,学习从不同角度理解问题,寻求解决问题的方法,并有效地解决问题.体会在解 决问题中与他人合作的重要性.体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会,解决日常生 活中和其他学科中的问题,增强应用数学的意识
如图所示，A，B 两点在直线 l 的两侧，在 l 上找一点 C，使点 C 到点 A、B 的距离 之差最大． 解析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′) 与直线 l 交于点 C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决． 解：如图所示，以直线 l 为对称轴，作点 A 关于直线 l 的对称点 A′，A′B 的连线交 l 于点 C，则点 C 即为所求．理由：在直线 l 上任找一点 C′(异于点 C)，连接 CA，C′A，C′ A′，C′B.因为点 A，A′关于直线 l 对称，所以 l 为线段 AA′的垂直平分线，则有 CA＝CA′， 所以 CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点 C′在 l 上，所以 C′A＝C′A′.在△A′BC′中， C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以 C′A′－C′B＜CA－CB. 方法总结：如果两点在一条直线的同侧，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差 最大，如果两点在一条直线的异侧，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小， 都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称 点来解决． 三、板书设计 课题学习 最短路径问题 1．求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直 线的交点即为所求． 2．求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关 于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值．在互动交 流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题．体会在解 决问题中与他人合作的重要性．体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生 活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识．