第2课时角平分线的判定 教学目标一 1.掌握角平分线的判定定理.(重点) 2.会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题.(难点) 数学过程 情境导入 古塔 中新网和田2015年2月25日电,新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止 最早的园林之城.如图,某考古队为进行硏究,寻找一座古城遗址.根据资料记载,该城在 森林附近,到两条河岸的距离相等,到古塔的距离是3000m.根据这些资料,考古队很快找 到了这座古城的遗址.你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗?请你试一 试.(比例尺为1:100000 、合作探究 探究点一:角平分线的判定定理 【类型一】角平分线的判定 例如图,BE=CF,DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC,求证:AD是 ∠BAC的平分线 解析:先判定Rt△BE和Rt△CDF全等得出DE=DF再由角平分线的判定可知AD是∠BAC 的平分线 证明:∵DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,∴∠BED=∠CFD,∴△BDE与△CDF 是直角三角形,在R△BDE和Rt△CDF中,∵:{=O I=CD Rt△BDE≌Rt△CDF,∴DE=DF,∴AD是∠BC的平分线 方法总结:证明一条射线是角平分线的方法有两种是利用三角形全等证明两角相等
第 2 课时 角平分线的判定 1．掌握角平分线的判定定理．(重点) 2．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．(难点) 一、情境导入 中新网和田 2015 年 2 月 25 日电，新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止 最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在 森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是 3000m.根据这些资料，考古队很快找 到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一 试．(比例尺为 1∶100000) 二、合作探究 探究点一：角平分线的判定定理 【类型一】 角平分线的判定 如图，BE＝CF，DE⊥AB 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 DB＝DC，求证：AD 是 ∠BAC 的平分线． 解析：先判定 Rt△BDE 和 Rt△CDF 全等，得出 DE＝DF，再由角平分线的判定可知 AD 是∠BAC 的平分线． 证明：∵DE⊥AB 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE 与△CDF 是直角三角形．在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，∵ BE＝CF， BD＝CD， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴AD 是∠BAC 的平分线． 方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；
二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上 【类型二】角平分线性质 综合 2如图所示,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分 别是E、F,下面给出四个结论,①AD平分∠EDF;②AE=AF③AD上的点到B、C两点的距 离相等:④到AEAF距离相等的点,到DE、DF的距离也相等.其中正确的结论有() A.1个B.2个C.3个D.4个 解析:由AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC可得DE=DF,由此易得△ADE≌△ADF故∠ADE =∠ADF,即①AD平分∠EDF正确;②AE=4F正确;角平分线上的点到角的两边的距离相等 故③正确∴④到A、∮F距离相等的点,到皿DF的距离也相等正确;①②③④都正确.故 选D. 方法总结:运用角平分线的性质或判定时,可以省去证明三角形全等的过程,可以直接 得到线段或角相等 【类型三】添加辅助线解决角平分线的问题 例3如图,已知:△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D求证:AD是∠BAC的 平分线 解析:分别过点D作DE、DF、DG垂直于 AB BC AC,垂足分别为EFG,然后利用 角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE=DG,再利用到角两边距离相等的点在角平分 线上证明 证明:分别过D作DE、DFDG垂直于AB、BC、AC,垂足分别为E、FG,B平分∠CBE, DE⊥B,DF⊥BC,∴DE=DEF同理DG=D,∴DE=DG,∴点D在∠EG的平分线上,∴AD是 ∠BAC的平分线 方法总结:在遇到角平分线的问题时,往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段,利
二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上． 【类型二】 角平分线性质和判定的综合 如图所示，△ABC 中，AB＝AC，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分 别是 E、F，下面给出四个结论，①AD 平分∠EDF；②AE＝AF；③AD 上的点到 B、C 两点的距 离相等；④到 AE、AF 距离相等的点，到 DE、DF 的距离也相等．其中正确的结论有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：由 AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC 可得 DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE ＝∠ADF，即①AD 平分∠EDF 正确；②AE＝AF 正确；角平分线上的点到角的两边的距离相等， 故③正确；∴④到 AE、AF 距离相等的点，到 DE、DF 的距离也相等正确；①②③④都正确．故 选 D. 方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接 得到线段或角相等． 【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题 如图，已知：△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点 D.求证：AD 是∠BAC 的 平分线． 解析：分别过点 D 作 DE、DF、DG 垂直于 AB、BC、AC，垂足分别为 E、F、G，然后利用 角平分线上的点到角两边的距离相等可知 DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分 线上证明． 证明：分别过 D 作 DE、DF、DG 垂直于 AB、BC、AC，垂足分别为 E、F、G，∵BD 平分∠CBE， DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理 DG＝DF，∴DE＝DG，∴点 D 在∠EAG 的平分线上，∴AD 是 ∠BAC 的平分线． 方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利
用角平分线的判定或性质解决问题 探究点二:三角形的内角平分线 【类型一】利用角平分线的判定求角的度数 圆4在△ABC中,点0是△ABC内一点,且点0到△ABC三边的距离相等.若∠A=40 则∠BOC的度数为() A.110° B 解析:由已知,O到三角形三边的距离相等,所以O是內心,即三条角平分线的交点,AO, BO,CO都是角平分线,所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC,∠BCOD=∠AC=∠ACB,∠ABC+∠ACB 180°-40°=140°,∠OBC+∠OCB=70°,∠BO=180°-70°=110°,故选A 方法总结:由已知,O到三角形三边的距离相等,得0是内心,再利用三角形内角和定 理即可求出∠BOC的度数 【类型二】三角形内角平分线的应用 例5己知:如图,直线l,l2,l表示三条相互交叉的公路,现要建一个塔台,若要 求它到三条公路的距离都相等,试问: (1)可选择的地点有几处? (2)你能画出塔台的位置吗? 解析:(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处.(2)作出相交组成的角的平分 线,平分线的交点就是所求的点 解:(1)可选择的地点有4处,如图:
用角平分线的判定或性质解决问题． 探究点二：三角形的内角平分线 【类型一】 利用角平分线的判定求角的度数 在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°， 则∠BOC 的度数为( ) A．110° B．120° C．130° D．140° 解析：由已知，O 到三角形三边的距离相等，所以 O 是内心，即三条角平分线的交点，AO， BO，CO 都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝ 1 2 ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ 1 2 ∠ACB，∠ABC＋∠ACB ＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°，故选 A. 方法总结：由已知，O 到三角形三边的距离相等，得 O 是内心，再利用三角形内角和定 理即可求出∠BOC 的度数． 【类型二】 三角形内角平分线的应用 已知：如图，直线 l1，l2，l3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要 求它到三条公路的距离都相等，试问： (1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？ 解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有 4 处．(2)作出相交组成的角的平分 线，平分线的交点就是所求的点． 解：(1)可选择的地点有 4 处，如图：
B、B、R、P,共4处 (2)能,如图,根据角平分线的性质的作三条直线相交的角的平分线,平分线的交点就 是所求的点 方法总结:三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等,反过来,到三角形三边 距离相等的点,即为三角形内角平分线的交点,这一结论在以后的学习中经常遇到 三、板书设计 1.角平分线的判定定理 2.三角形三条内角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等 数学反思 本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证,从而引导学生在自主探究的 基础上,通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理,这样有效地提高了课 堂的教学效果,促进了学生对新知识的理解和掌握.不足之处是少数学生在应用角平分线的 性质定理和逆定理解题时,容易忽视“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件,需 要在今后的教学和作业中加强巩固和训练
P1、P2、P3、P4，共 4 处． (2)能，如图，根据角平分线的性质的作三条直线相交的角的平分线，平分线的交点就 是所求的点． 方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边 距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到． 三、板书设计 1．角平分线的判定定理． 2．三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等． 本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的 基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高了课 堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握．不足之处是少数学生在应用角平分线的 性质定理和逆定理解题时，容易忽视“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需 要在今后的教学和作业中加强巩固和训练．