12.3角的平分线的性质 第1课时角平分线的性质 数学目标一 1.经历角的平分线性质的发现过程,初步掌握角的平分线的性质定理.(重点) 2.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.(难点) 数学心程 情境导入 问题:在S区有一个集贸市场P,它建在公路与铁路所成角的平分线上,要从P点建两 条路,一条到公路,一条到铁路 问题1:怎样修建道路最短 问题2:往哪条路走更近呢? 公路∥+p铁路 作探究 探究点一:角平分线的作法 1如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F 两点,再分别以E、F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP,交CD 于点M若∠ACD=120°,求∠MB的度数 解析:根据AB∥CD,∠ACD=120°,得出∠CAB=60°,再根据AM是∠C4B的平分线,即 可得出∠MAB的度数 解:∵AB∥CD,∴∠ACD+∠CAB=180°,又∵∠ACD=120°,∴∠CAB=60°,由作法 知,4M是∠CB的平分线,…∠MB=2∠CMB=30°
12．3 角的平分线的性质 第 1 课时 角平分线的性质 1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．(重点) 2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点) 一、情境导入 问题：在 S 区有一个集贸市场 P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从 P 点建两 条路，一条到公路，一条到铁路． 问题 1：怎样修建道路最短？ 问题 2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线的作法 如图，AB∥CD，以点 A 为圆心，小于 AC 长为半径作圆弧，分别交 AB，AC 于 E，F 两点，再分别以 E、F 为圆心，大于1 2 EF 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP，交 CD 于点 M.若∠ACD＝120°，求∠MAB 的度数． 解析：根据 AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°，再根据 AM 是∠CAB 的平分线，即 可得出∠MAB 的度数． 解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°，由作法 知，AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB＝ 1 2 ∠CAB＝30°
方法总结:通过本题要掌握角平分线的作图步骤,根据作图明确A是∠BAC的角平分 线是解题的关键 探究点二:角平分线的性质 【类型一】利用角平分线的性质证明线段相等 2如图:在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上 BD=DF求证:(1)CF=BB(2)AB=AF+2EB 解析:(1)根据角平分线的性质,可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离,即CD= DE再根据Rt△CD≌Rt△EDB,得CF=BB;(2利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得 到AC=AE,然后通过线段之间的相互转化进行证明 证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC∵在Rt△DCF和Rt△ DEB中,…DF=B ∴Rt△ CDFERt△EDB(HL).∴CF=BB DC= DE (2)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴CD=DE在△ADC与△ADE中 AD= AD △AD≌△ADE(H),∴AC=AE,∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2ER 方法总结:角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据,在运用时一定要注意是两 条“垂线段”相等 【类型二】角平分线的性质与三角形面积的综合运用 3如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,S△AC=7,DE=2,AB=4,则 AC的长是() A.6B.5C.4D.3 解析:过点D作DF⊥AC于F,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∴DF=DEF=2,…,S△
方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确 AM 是∠BAC 的角平分 线是解题的关键． 探究点二：角平分线的性质 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图：在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上， BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB. 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点 D 到 AB 的距离等于点 D 到 AC 的距离，即 CD＝ DE.再根据 Rt△CDF≌Rt△EDB，得 CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得 到 AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明． 证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在 Rt△DCF 和 Rt△ DEB 中，∵ DF＝BD， DC＝DE， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．∴CF＝EB； (2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC与△ADE中，∵ CD＝DE， AD＝AD， ∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB. 方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两 条“垂线段”相等． 【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则 AC 的长是( ) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：过点 D 作 DF⊥AC 于 F，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC
=×4×2+4C×2=7,解得AC=3.故选D 方法总结:利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高,再利用三角形面积公式求出 线段的长度是常用的方法 【类型三】角平分线的性质与全等三角形综 圆例4如图所示,D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC,DF⊥CG垂足分别 为E,F.求证:CE=CF 解析:由角平分线的性质可得DE=DF,再利用HL”证明Rt△ODE和Rt△DF全等,根 据全等三角形对应边相等证明即可 证明:∵CD是∠ACG的平分线,DE⊥AC,DF⊥CG∴DE=DF在Rt△CDE和Rt△CDF中 C=cD m=m∴Rt△ DESerTa△CDF(H),∴CE=CE 方法总结:全等三角形的判定离不开边而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据, 可作为判定三角形全等的条件 板书设计 角平分线的性质 1.角平分线的作法 2.角平分线的性质 3.角平分线性质的应用 教学反思 本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生对角以及 角平分线的性质的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较 好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生在性质的运用 上还存在问题,需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练
＝ 1 2 ×4×2＋ 1 2 AC×2＝7，解得 AC＝3.故选 D. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出 线段的长度是常用的方法． 【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合 如图所示，D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别 为 E，F.求证：CE＝CF. 解析：由角平分线的性质可得 DE＝DF，再利用“HL”证明 Rt△CDE 和 Rt△CDF 全等，根 据全等三角形对应边相等证明即可． 证明：∵CD 是∠ACG 的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在 Rt△CDE 和 Rt△CDF 中， ∵ CD＝CD， DE＝DF， ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF. 方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据， 可作为判定三角形全等的条件． 三、板书设计 角平分线的性质 1．角平分线的作法； 2．角平分线的性质； 3．角平分线性质的应用． 本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及 角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较 好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用 上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练．