第2课时角平分线的判定 、教学目标 (一)知识与技能 1.了解角的平分线的判定定理; 2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算 (二)过程与方法 在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和 能力 (三)情感、态度与价值观 在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作 交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的 成功体验 二、教学重点、难点 重点:角的平分线的判定定理的证明及应用 难点:角的平分线的判定 教法学法 自主探索,合作交流的学习方式 四、教学过程 (一)复习、回顾 1.角平分线的作法(尺规作图) ①以点O为圆心,任意长为半径画弧,交OA、OB于C、D两点; ②分别以C、D为圆心,大于CD长为半径画弧,两弧交于点P; ③过点P作射线OP,射线OP即为所求 2.角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等 ①推导 已知:OC平分∠MON,P是OC上任意一点,PA⊥OM,PB⊥ON, 垂足分别为点A、点B 求证:PA=PB
第 2 课时 角平分线的判定 一、教学目标 （一）知识与技能 1.了解角的平分线的判定定理； 2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算. （二）过程与方法 在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和 能力. （三）情感、态度与价值观 在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作 交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的 成功体验. 二、教学重点、难点 重点：角的平分线的判定定理的证明及应用； 难点：角的平分线的判定. 三、教法学法 自主探索,合作交流的学习方式. 四、教学过程 （一） 复习、回顾 1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA、OB 于 C、D 两点； ②分别以 C、D 为圆心，大于 CD 长为半径画弧，两弧交于点 P； ③过点 P 作射线 OP，射线 OP 即为所求． 2. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导 已知：OC 平分∠MON，P 是 OC 上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON， 垂足分别为点 A、点 B． 求证：PA＝PB．
证明:∵PA⊥OM,PB⊥ON ∴∠PAO=∠PBO=90° ∵OC平分∠MON ∠1=∠2 在△PAO和△PBO中 △PAO≌△PBO ∴PA=PB ②几何表达:(角的平分线上的点到角的两边的距离相等) 如图所示,∵OP平分∠MON(∠1=∠2),PA⊥OM,PB⊥ON, (二)合作探究 角平分线的判定:到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 ①推导 已知:点P是∠MON内一点,PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,且PA=PB 求证:点P在∠MON的平分线上 证明:连结OP PA=PB 在R1△PAO和Rt△PBO中 OP=OP
证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON ∴∠PAO＝∠PBO＝90° ∵OC 平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO 和△PBO 中， ∴△PAO≌△PBO ∴PA＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） 如图所示，∵OP 平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON， ∴PA＝PB． （二）合作探究 角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导 已知：点 P 是∠MON 内一点，PA⊥OM 于 A，PB⊥ON 于 B，且 PA＝PB． 求证：点 P 在∠MON 的平分线上． 证明：连结 OP 在 Rt△PAO 和 Rt△PBO 中
∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL) ∴OP平分∠MON 即点P在∠MON的平分线上 ②几何表达:(到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.) 如图所示,∵PA⊥OM,PB⊥ON,PA=PB ∴∠1=∠2(OP平分∠MON) 【典型例题】 例1.已知:如图所示,∠C=∠C′=90°,AC=AC 求证:(1)∠ABC=∠ABC (2)BC=BC′(要求:不用三角形全等判定) 分析:由条件∠C=∠C′=90°,AC=AC′,可以把点A看作是 ∠CBC′平分线上的点,由此可打开思路 证明:(1)∵∠C=∠C′=90°(已知), ∴AC⊥BC,AC′⊥BC′(垂直的定义) 又∵AC=AC′(已知) ∴点A在∠CBC′的角平分线上(到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上) ∴∠ABC=∠AB (2)∵∠C=∠C′,∠ABC=∠ABC′, 180 (∠C+∠ABC)=180°-(∠C′+∠ABC′) 即∠BAC=∠BAC′, ∵AC⊥BC,AC′⊥BC′ ∴BC=BC′(角平分线上的点到这个角两边的距离相等) 例2.如图所示,已知△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,那么AP 能否平分∠BAC?请说明理由.由此题你能得到一个什么结论?
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL） ∴∠1＝∠2 ∴OP 平分∠MON 即点 P 在∠MON 的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．） 如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON） 【典型例题】 例 1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′． 求证：（1）∠ABC＝∠ABC′； （2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）． 分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点 A 看作是 ∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路． 证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知）， ∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）． 又∵AC＝AC′（已知）， ∴点 A 在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上）． ∴∠ABC＝∠ABC′． （2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′， ∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′） 即∠BAC＝∠BAC′， ∵AC⊥BC，AC′⊥BC′， ∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）． 例 2. 如图所示，已知△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，那么 AP 能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？
分析:由题中条件可知,本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答,因 此要作出点P到三边的垂线段. 解:AP平分∠BAC 结论:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等 理由:过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E、F、D. ∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上, ∴PD=PE(角平分线上的点到角的两边的距离相等) 同理PF=PE,∴PD=PF ∴AP平分∠BAC(到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上) (三)巩固训练 (四)小结 请你说说本课的收获与困惑 (五)作业
分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因 此要作出点 P 到三边的垂线段． 解：AP 平分∠BAC． 结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等． 理由：过点 P 分别作 BC，AC，AB 的垂线，垂足分别是 E、F、D． ∵BM 是∠ABC 的角平分线且点 P 在 BM 上， ∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． 同理 PF＝PE，∴PD＝PF． ∴AP 平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）． （三）巩固训练 （四）小结 请你说说本课的收获与困惑. （五）作业