第2课时含30°角的直角三角形的性质 教学目标一 1.理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理.(重点) 2.能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题.(难点) 、情境导入 问题 1.我们学习过直角三角形,直角三角形的角之间都有什么数量关系? 2.用你的30°角的直角三角尺,把斜边和30°角所对的直角边量一量,你有什么发现? 今天,我们先来看一个特殊的直角三角形,看它的边角具有什么性质 合作探究 探究点:含30°角的直角三角形的性质 【类型一】利用含30°角的直角三角形的性质求线段长 1如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3c 则AB的长度是() A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm 解析:在Rt△ABC中,∵⑦D是斜边AB上的高,∴,∠AC=90°,∴∠ACD=∠B=309.在Rt△ ACD中,AC=2AD=6cm,在Rt△ABC中,AB=2AC=12cm.∴AB的长度是12cm故选D. 方法总结:运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角 形 【类型二】与角平分线或垂直平分线性质的综合运用 囹2如图,∠AOP=∠BDP=15°,PC∥OA交OB于C,PD⊥QA于D,若PC=3,则PD
第 2 课时 含 30°角的直角三角形的性质 1．理解并掌握含 30°角的直角三角形的性质定理．(重点) 2．能灵活运用含 30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．(难点) 一、情境导入 问题： 1．我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？ 2．用你的 30°角的直角三角尺，把斜边和 30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？ 今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质． 二、合作探究 探究点：含 30°角的直角三角形的性质 【类型一】 利用含 30°角的直角三角形的性质求线段长 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD 是斜边 AB 上的高，AD＝3cm， 则 AB 的长度是( ) A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 解析：在 Rt△ABC 中，∵CD 是斜边 AB 上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在 Rt△ ACD 中，AC＝2AD＝6cm，在 Rt△ABC 中，AB＝2AC＝12cm.∴AB 的长度是 12cm.故选 D. 方法总结：运用含 30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角 形． 【类型二】 与角平分线或垂直平分线性质的综合运用 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA 交 OB 于 C，PD⊥OA 于 D，若 PC＝3，则 PD
等于( A.3B.2C.1.5 解析:如图,过点P作PE⊥OB于E,∵PCOA,∴∠AOP=∠CPO,,∠PCE=∠BOP+∠CPO ∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°.又∵PC=3,∴PE==PC==×3=1.5.∵∠AOP=∠BOP,PD⊥ OA,∴PD=PE=1.5.故选C. 方法总结:含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时,关键是寻找 或作辅助线构造含30°角的直角三角形 【类型三】利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系 E 例3如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥ABD恰好 是∠ADB的平分线.CD与DB有怎样的数量关系?请说明理由 解析:由条件先证△AED△BED,得出∠BAD=∠CAD=∠B,求得∠B=30°,即可得到 解:C=2DB理由如下:∵DE⊥AB,∴∠AED=∠BED=90°.∵DE是∠ADB的平分 ∠ADE=∠BDE.又∵DE=DE,∴△AED≌△BED(ASA),∴AD=BD,∠DAE=∠B∵∠BAD= ∠CAD==∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=∠B∵∠BA∠CAD+∠B=90°,∴∠B=∠BAD=∠CAD =30°.在Rt△ACD中,∵∠CD=30°,∴,/2即c=5m 方法总结:含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果 问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质 【类型四】利用含30°角的直角三角形解决实际问题 囹4某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以 美化环境,已知AC=50m,AB=40m,∠BAC=150°,这种草皮每平方米的售价是a元,求 购买这种草皮至少需要多少元? A 解析:作BD⊥CA交CA的延长线于点D在Rt△ABD中,利用30°角所对的直角边是斜边
等于( ) A．3 B．2 C．1.5 D．1 解析：如图，过点 P 作 PE⊥OB 于 E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO ＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝ 1 2 PC＝ 1 2 ×3＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥ OA，∴PD＝PE＝1.5.故选 C. 方法总结：含 30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找 或作辅助线构造含 30°角的直角三角形． 【类型三】 利用含 30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点 D 作 DE⊥AB.DE 恰好 是∠ADB 的平分线．CD 与 DB 有怎样的数量关系？请说明理由． 解析：由条件先证△AED≌△BED，得出∠BAD＝∠CAD＝∠B，求得∠B＝30°，即可得到 CD＝ 1 2 DB. 解：CD＝ 1 2 DB.理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE 是∠ADB 的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝ ∠CAD＝ 1 2 ∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD ＝30°.在 Rt△ACD 中，∵∠CAD＝30°，∴CD＝ 1 2 AD＝ 1 2 BD，即 CD＝ 1 2 DB. 方法总结：含 30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果 问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质． 【类型四】 利用含 30°角的直角三角形解决实际问题 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以 美化环境，已知 AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是 a 元，求 购买这种草皮至少需要多少元？ 解析：作 BD⊥CA 交 CA 的延长线于点 D.在 Rt△ABD 中，利用 30°角所对的直角边是斜边
的一半求BD,即△ABC的高.运用三角形面积公式计算面积求解 解:如图所示,作BD⊥CA于D点.∵∠BAC=150°,∴∠DAB=30°.∵AB=40m,∴B AB=20m,∴S△A=×50×20=500(m2).已知这种草皮每平方米a元,所以一共需要500a 方法总结:解此题的关键在于作出C边上的高,根据相关的性质推出高B的长度,正 确的计算出△ABC的面积 三、板书设计 含30°角的直角三角形的性质 性质:在直角三角形中,如果一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半 教学反思 本节课借助于教学活动的开展,有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣,从而引导学 生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识,促进了学生思维能 力的提高.不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作 业中进行进一步的训练和提高
的一半求 BD，即△ABC 的高．运用三角形面积公式计算面积求解． 解：如图所示，作 BD⊥CA 于 D 点．∵∠BAC＝150°，∴∠DAB＝30°.∵AB＝40m，∴BD ＝ 1 2 AB＝20m，∴S△ABC＝ 1 2 ×50×20＝500(m 2 )．已知这种草皮每平方米 a 元，所以一共需要 500a 元． 方法总结：解此题的关键在于作出 CA 边上的高，根据相关的性质推出高 BD 的长度，正 确的计算出△ABC 的面积． 三、板书设计 含 30°角的直角三角形的性质 性质：在直角三角形中，如果一个锐角是 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学 生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能 力的提高．不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作 业中进行进一步的训练和提高．