14.2乘法公式 14.21平方差公式 数学目标一 1.掌握平方差公式的推导和运用,以及对平方差公式的几何背景的理解.(重点) 2.掌握平方差公式的应用.(重点) 数学过程 、情境导入 1.教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则 学生积极举手回答. 多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以 另一个多项式的每一项,再把所得的积相加 2.教师肯定学生的表现,并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式 合作探究 探究点:平方差公式 【类型一】判断能否应用平方差公式进行计算 例1下列运算中,可用平方差公式计算的是() A.(x+y(x+y) B.(-x+y)(x-y) D.(x+y)(-x-y) 解析:A中含x、y的项符号相同,不能用平方差公式计算,错误;B中(-x+y)(x-y =-(x-y)(x-y),含x、y的项符号相同,不能用平方差公式计算,错误;C中(-x-y)(y x)=(x+y)(x-y),含x的项符号相同,含y的项符号相反,能用平方差公式计算,正确 D中(x+y)(-x-y)=-(x+y)(x+y),含x、y的项符号相同,不能用平方差公式计算, 错误;故选C. 方法总结:对于平方差公式,注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相 同,另一项互为相反数
14．2 乘法公式 14．2.1 平方差公式 1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解．(重点) 2．掌握平方差公式的应用．(重点) 一、情境导入 1．教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则． 学生积极举手回答． 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2．教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式． 二、合作探究 探究点：平方差公式 【类型一】 判断能否应用平方差公式进行计算 下列运算中，可用平方差公式计算的是( ) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) 解析：A 中含 x、y 的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；B 中(－x＋y)(x－y) ＝－(x－y)(x－y)，含 x、y 的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；C 中(－x－y)(y －x)＝(x＋y)(x－y)，含 x 的项符号相同，含 y 的项符号相反，能用平方差公式计算，正确； D 中(x＋y)(－x－y)＝－(x＋y)(x＋y)，含 x、y 的项符号相同，不能用平方差公式计算， 错误；故选 C. 方法总结：对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相 同，另一项互为相反数．
【类型二】直接应用平方差公式进行计算 例2利用平方差公式计算: (1)(3x-5)(3x+5); (2)(-2a-b)(b-2a) (3)(-7m+8n)(-8n-7m) (4)(x-2)(x+2)(x2+4) 解析:直接利用平方差公式进行计算即可 解:(1)(3x-5)(3x+5)=(3x)2-52=9x2-25 (2)(-2a-b)(b-2a)=(-2a)2-b=4a-b2 (3)(-7m+8m)(-8n-7m)=(-7m)2-(8n)2=49m2-64n (4)(x-2)(x+2)(x2+4)=(x2-4)(x2+4)=x-16. 方法总结:应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:(1)左边是两个二项式相乘 并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;(2)右边是相同项的平方减去相 反项的平方;(3)公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式 【类型三】平方差公式的连续使甩 例3求2(3+1)(32+1)(32+1)(38+1)的值 解析:根据平方差公式,可把2看成是(3-1),再根据平方差公式即可算出结果 解:2(3+1)(32+1)(32+1)(3°+1)=(3-1)(3+1)(32+1)(32+1)(3°+1)=(32-1)(32 +1)(34+1)(3°+1)=(3-1)(34+1)(3+1)=(3-1)(3+1)=36-1. 方法总结:连续使用平方差公式,直到不能使用为止 【类型四】应用平方差公式进行简便运算 例4利用平方差公式简算 (1)20×19:(2)13.2×12.8 解析:(1)把20×19写成(20+)×(20-3),然后利用平方差公式进行计算;(2)把 13.2×12.8写成(13+0.2)×(13-0.2),然后利用平方差公式进行计算 解:(1)202×192=(20+3)×(20-1)=400-1-=39 (2)13.2×12.8=(13+0.2)×(13-0.2)=169-0.04=168.96. 方法总结:熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键 【类型五】化简求值
【类型二】 直接应用平方差公式进行计算 利用平方差公式计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)； (4)(x－2)(x＋2)(x 2＋4)． 解析：直接利用平方差公式进行计算即可． 解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x) 2－5 2＝9x 2－25； (2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a) 2－b 2＝4a 2－b 2； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m) 2－(8n) 2＝49m 2－64n 2； (4)(x－2)(x＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16. 方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘， 并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相 反项的平方；(3)公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 【类型三】 平方差公式的连续使用 求 2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)的值． 解析：根据平方差公式，可把 2 看成是(3－1)，再根据平方差公式即可算出结果． 解：2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(32－1)(32 ＋1)(34＋1)(38＋1)＝(34－1)(34＋1)(38＋1)＝(38－1)(38＋1)＝3 16－1. 方法总结：连续使用平方差公式，直到不能使用为止． 【类型四】 应用平方差公式进行简便运算 利用平方差公式简算： (1)201 3 ×19 2 3 ；(2)13.2×12.8. 解析：(1)把 20 1 3 ×19 2 3 写成(20＋ 1 3 )×(20－ 1 3 )，然后利用平方差公式进行计算；(2)把 13.2×12.8 写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算． 解：(1)201 3 ×19 2 3 ＝(20＋ 1 3 )×(20－ 1 3 )＝400－ 1 9 ＝399 8 9 ； (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96. 方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键． 【类型五】 化简求值
例5先化简,再求值:(2x-y)(y+2x)-(2+x)(2y-x),其中x=1,y=2. 解析:利用平方差公式展开并合并同类项,然后把x、y的值代入进行计算即可得解 解:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x)=4x2-y2-(4y2-x2)=4x2-y2-4y2+x2=5x 5y2.当x=1,y=2时,原式=5×12-5×22=-15 方法总结:利用平方差公式先化简再求值,切忌代入数值直接计算 【类型六】利用平方差公式探究整式的整除性问题 例6对于任意的正整数n,整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+m)的值一定是10的倍数 吗? 解析:利用平方差公式对代数式化简,再判断是否是10的倍数 解:原式=9n2-1-(9-n)=10n2-10=10(n+1)(n-1),∵n为正整数,∴(n-1)(n +1)为整数,即(3n+1)(3n-1)-(3-m)(3+m)的值是10的倍数 方法总结:对于平方差中的a和b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式,在探究 整除性或倍数问题时,要注意这方面的问题 【类型七】平方差公式的实际应用 例刀王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大 妈说:“我把这块地一边减少4米,另外一边增加4米,继续租给你,你看如何?”李大妈 听,就答应了.你认为李大妈吃亏了吗?为什么? 解析:根据题意先求出原正方形的面积,再求岀改变边长后的面积,然后比较二者的大 小即可 解:李大妈吃亏了.理由:原正方形的面积为a,改变边长后面积为(a+4)(a-4)=a 16,∵a>a2-16,∴李大妈吃亏了 方法总结:解决实际问题的关键是根据题意列岀算式,然后根据公式化简解决问题 【类型八】平方差公式的几何背景 倒8如图①,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下部 分拼成一个梯形(如图②),利用这两幅图形的面积,可以验证的乘法公式是 图① 图② 解析:∵左图中阴影部分的面积是a-b,右图中梯形的面积是。(2a+2b)(a-b)=(a +b)(a-b),∴a-B=(a+b(a-b),即可验证的乘法公式为:(a+b)(a-b)=a-b
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2. 解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把 x、y 的值代入进行计算即可得解． 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x 2－y 2－(4y 2－x 2 )＝4x 2－y 2－4y 2＋x 2＝5x 2－ 5y 2 .当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15. 方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算． 【类型六】 利用平方差公式探究整式的整除性问题 对于任意的正整数 n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是 10 的倍数 吗？ 解析：利用平方差公式对代数式化简，再判断是否是 10 的倍数． 解：原式＝9n 2－1－(9－n 2 )＝10n 2－10＝10(n＋1)(n－1)，∵n 为正整数，∴(n－1)(n ＋1)为整数，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是 10 的倍数． 方法总结：对于平方差中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究 整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题． 【类型七】 平方差公式的实际应用 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大 妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续租给你，你看如何？”李大妈 一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大 小即可． 解：李大妈吃亏了．理由：原正方形的面积为 a 2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a 2 －16，∵a 2＞a 2－16，∴李大妈吃亏了． 方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题． 【类型八】 平方差公式的几何背景 如图①，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形(a＞b)，把剩下部 分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________． 解析：∵左图中阴影部分的面积是 a 2－b 2，右图中梯形的面积是1 2 (2a＋2b)(a－b)＝(a ＋b)(a－b)，∴a 2－b 2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为：(a＋b)(a－b)＝a 2－b 2
方法总结:通过几何图形之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释 三、板书设计 平方差公式 文字语言:两数和与这两数差的积,等于它们的平方差 符号语言:(a+b)(a-b)=a2-b2 教学反思 学生通过“做一做”发现平方差公式,同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正确 性.通过这两种方式的演算,让学生理解平方差公式.本节教学内容较多,因此教材中的练 习可以让学生在课后完成
方法总结：通过几何图形之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释． 三、板书设计 平方差公式 文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 符号语言：(a＋b)(a－b)＝a 2－b 2 学生通过“做一做”发现平方差公式，同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正确 性．通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式．本节教学内容较多，因此教材中的练 习可以让学生在课后完成．