14.32公式法 第1课时运用平方差公式因式分解 教学目标一 1.理解平方差公式,弄清平方差公式的形式和特点.(重点) 2.掌握运用平方差公式分解因式的方法,能正确运用平方差公式把多项式分解因式.(难 教学过程 情境导入 1.同学们,你能很快知道992-1是100的倍数吗?你是怎么想出来的?请与大家交流 2.你能将a一b分解因式吗?你是如何思考的? 二、合作探究 探究点:运用平方差公式分解因式 【类型一】判定能否利用平方差公式分解因式 例1下列多项式中能用平方差公式分解因式的是() A.a+(-b)2B.5m2-20m y2D.-x2+9 解析:A中a+(-b)符号相同,不能用平方差公式分解因式,错误;B中5n-20m 两项都不是平方项,不能用平方差公式分解因式,错误;C中-x2-y2符号相同,不能用平 方差公式分解因式,错误;D中-x+9=-x2+32,两项符号相反,能用平方差公式分解因 式,正确.故选D. 方法总结:能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式,两项都能写成平方的 形式,且符号相反 【类型二】利用平方差公式分解因式 2分解因式 (1)2-16:(2)x 解析:(1)a-16b可以写成(a)-b)的形式这样可以用平方差公式进行分解因式
14．3.2 公式法 第 1 课时 运用平方差公式因式分解 1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点．(重点) 2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．(难 点) 一、情境导入 1．同学们，你能很快知道 992－1 是 100 的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流． 2．你能将 a 2－b 2 分解因式吗？你是如何思考的？ 二、合作探究 探究点：运用平方差公式分解因式 【类型一】 判定能否利用平方差公式分解因式 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) A．a 2＋(－b) 2 B．5m 2－20mn C．－x 2－y 2 D．－x 2＋9 解析：A 中 a 2＋(－b) 2 符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B 中 5m 2－20mn 两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C 中－x 2－y 2 符号相同，不能用平 方差公式分解因式，错误；D 中－x 2＋9＝－x 2＋3 2，两项符号相反，能用平方差公式分解因 式，正确．故选 D. 方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的 形式，且符号相反． 【类型二】 利用平方差公式分解因式 分解因式： (1)a 4－ 1 16b 4；(2)x 3 y 2－xy 4 . 解析：(1)a 4－ 1 16b 4 可以写成(a 2 ) 2－( 1 4 b 2 ) 2 的形式，这样可以用平方差公式进行分解因式
而其中有一个因式a-元仍可以继续用平方差公式分解因式;(2)x2-x有公因式xy, 应先提公因式再进一步分解因式 解:(1)原式=(a+,b)(a-b)=(a2+B)(a-=b)(a+=b) (2)原式=xy2(x2-y2)=xy2(x+y)(x-y) 方法总结:分解因式前应先分析多项式的特点,一般先提公因式,再套用公式.分解因 式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止 【类型三】底数为多项式或单项式时,运用平方差公式分解因式 3分解因式 (2)9(m+m)2-(m-m)2 解析:将原式转化为两个式子的平方差的形式后,运用平方差公式分解因式 解:(1)原式=(a+b-2a)(a+b+2a)=(b-a)(3a+b) (2)原式=(3m+3n-m+n)(3m+3n+mm)=(2m+4n)(4m+2n)=4(m+2n)(2m+m) 方法总结:在平方差公式a-b=(a+b)(a-b)中,a和b可以代表单项式、多项式或 单独一个数 【类型四】利用因式分解整体代换求值 例A已知x-P2=_,,1,求xp的值 解析:已知第一个等式左边利用平方差公式化简,将x+y的值代入计算即可求出x-y 的值 解:…∵}-y=(x+)(x-=-1,x+p=1,:x-y=-2. 方法总结:有时给出的条件不是字母的具体值,就需要先进行化简,求出字母的值,但 有时很难或者根本就求不出字母的值,根据题目特点,将一个代数式的值整体代入可使运算 简便 【类型五】利用因式分解解决整除问 囹526-1可以被60和70之间某两个自然数整除,求这两个数 解析:先利用平方差公式分解因式,再找出范围内的解即可
而其中有一个因式 a 2－ 1 4 b 2 仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x 3 y 2－xy 4 有公因式 xy 2， 应先提公因式再进一步分解因式． 解：(1)原式＝(a 2＋ 1 4 b 2 )(a 2－ 1 4 b 2 )＝(a 2＋ 1 4 b 2 )(a－ 1 2 b)(a＋ 1 2 b)； (2)原式＝xy 2 (x 2－y 2 )＝xy 2 (x＋y)(x－y)． 方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因 式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 【类型三】 底数为多项式或单项式时，运用平方差公式分解因式 分解因式： (1)(a＋b) 2－4a 2； (2)9(m＋n) 2－(m－n) 2 . 解析：将原式转化为两个式子的平方差的形式后，运用平方差公式分解因式． 解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b)； (2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)＝(2m＋4n)(4m＋2n)＝4(m＋2n)(2m＋n)． 方法总结：在平方差公式 a 2－b 2＝(a＋b)(a－b)中，a 和 b 可以代表单项式、多项式或 单独一个数． 【类型四】 利用因式分解整体代换求值 已知 x 2－y 2＝－1，x＋y＝ 1 2 ，求 x－y 的值． 解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将 x＋y 的值代入计算即可求出 x－y 的值． 解：∵x 2－y 2＝(x＋y)(x－y)＝－1，x＋y＝ 1 2 ，∴x－y＝－2. 方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但 有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算 简便． 【类型五】 利用因式分解解决整除问题 2 48－1 可以被 60 和 70 之间某两个自然数整除，求这两个数． 解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．
解:24-1=(22+1)(224-1)=(22+1)(22+1)(22-1)=(2+1)(22+1)(2+1)(2° 1).∵2°=64,∴2-1=63,2+1=65,∴这两个数是65和63 方法总结:解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式,然后分析被哪些数 或式子整除 【类型六】利用平方差公式进行简便运算 例6利用因式分解计算: (1)1012-99 (2)5722×-4282× 解析:(1)根据平方差公式进行计算即可;(2)先提取公因式,再根据平方差公式进行计 算即可 解:(1)1012-992=(101+99)(101-99)=400 (2)572×-428×7=(572-428)×元=(572+428)(572-428)×元=1000×144×X 36000 方法总结:一些比较复杂的计算,如果通过变形转化为平方差公式的形式,则可以使运 算简便 【类型七】在实数范围内分解因式 7在实数范围内分解因式 (1)x2-5; (2)x3-2x 解析:(1)直接利用平方差公式分解,即可求得答案;(2)首先提取公因式x,然后利用 平方差公式进行二次分解,即可求得答案 解:(1)2-5=(x+√5)(x-√5 (2)x2-2x=x(x2-2)=x(x+V2)(x-V2) 方法总结:注意因式分解的步骤为:一提公因式;二看公式.在实数范围内进行因式分 解的结果可以出现无理数 【类型八】因式分解的实际应用 倒8如图,100个正方形由小到大套在一起,从外向里相间画上阴影,最里面一个小 正方形没有画阴影,最外面一层画阴影,最外面的正方形的边长为100cm,向里依次为99cm, 98cm lcm,那么在这个图形中,所有画阴影部分的面积和是多少?
解：2 48－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26 －1)．∵26＝64，∴2 6－1＝63，2 6＋1＝65，∴这两个数是 65 和 63. 方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数 或式子整除． 【类型六】 利用平方差公式进行简便运算 利用因式分解计算： (1)1012－992； (2)5722× 1 4 －4282× 1 4 . 解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计 算即可． 解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400； (2)5722× 1 4 －4282× 1 4 ＝(5722－4282 )×1 4 ＝(572＋428)(572－428)×1 4 ＝1000×144× 1 4 ＝ 36000. 方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运 算简便． 【类型七】 在实数范围内分解因式 在实数范围内分解因式． (1)x 2－5； (2)x 3－2x. 解析：(1)直接利用平方差公式分解，即可求得答案；(2)首先提取公因式 x，然后利用 平方差公式进行二次分解，即可求得答案． 解：(1)x 2－5＝(x＋ 5)(x－ 5)； (2)x 3－2x＝x(x 2－2)＝x(x＋ 2)(x－ 2)． 方法总结：注意因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分 解的结果可以出现无理数． 【类型八】 因式分解的实际应用 如图，100 个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小 正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为 100cm，向里依次为 99cm， 98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
解析:相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积而正方形的面积是边长的平方, 所以能用平方差公式进行因式分解 解:每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差,而正方形的面积是其边长的 平方,这样就可以逆用平方差公式计算了.则S明影=(100-992)+(982-97)+…+(2-12) 100+99+98+97+…+2+1=5050(cm2) 答:所有阴影部分的面积和是5050cm 方法总结:首先应找出图形中哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析 找到各部分的变化规律后直接利用规律求解探寻规律要认真观察、仔细思考,善用联想来 解决这类问题 三、板书设计 运用平方差公式因式分解 1.平方差公式:a2-b=(a+b)(a-b) 2.平方差公式的特点:能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式,两项都 能写成平方的形式,且符号相反 数学反思 运用平方差公式因式分解,首先应注意每个公式的特征.分析多项式的次数和项数,然 后再确定公式.如果多项式是二项式,通常考虑应用平方差公式;如果多项式中有公因式可 提,应先提取公因式,而且还要“提”得彻底,最后应注意两点:一是每个因式要化简, 是分解因式时,每个因式都要分解彻底
解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方， 所以能用平方差公式进行因式分解． 解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的 平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则 S 阴影＝(1002－992 )＋(982－972 )＋…＋(22－1 2 ) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm 2 )． 答：所有阴影部分的面积和是 5050cm 2 . 方法总结：首先应找出图形中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析 找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来 解决这类问题． 三、板书设计 运用平方差公式因式分解 1．平方差公式：a 2－b 2＝(a＋b)(a－b)； 2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都 能写成平方的形式，且符号相反． 运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然 后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可 提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二 是分解因式时，每个因式都要分解彻底．