11.1.2三角形的高、中线与角平分线 教学目标一 1.掌握三角形的高、中线和角平分线的定义,并能够对其进行简单的应用.(重点) 2.能够准确的画出三角形的高、中线和角平分线.(难点) 数学过程 情境导入 这里有一块三角形的蛋糕,如果兄弟两个想要平分的话,你该怎么办呢?本节我们一起 来解决这个问题 合作探究 探究点一:三角形的高 【类型一】三角形高的画法 1画△ABC的边AB上的高,下列画法中,正确的是( C D 解析:三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线,顶点和垂足间的线段.根据概念可 解:过点C作边AB的垂线段,即画AB边上的高CD,所以画法正确的是D.故选D 方法总结:三角形任意一边上的高必须满足:(1)过该边所对的顶点;(2)垂足必须在该 边或在该边的延长线上 【类型二】根据三角形的面积求高
11．1.2 三角形的高、中线与角平分线 1．掌握三角形的高、中线和角平分线的定义，并能够对其进行简单的应用．(重点) 2．能够准确的画出三角形的高、中线和角平分线．(难点) 一、情境导入 这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？本节我们一起 来解决这个问题． 二、合作探究 探究点一：三角形的高 【类型一】 三角形高的画法 画△ABC 的边 AB 上的高，下列画法中，正确的是( ) 解析：三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可 知． 解：过点 C 作边 AB 的垂线段，即画 AB 边上的高 CD，所以画法正确的是 D.故选 D. 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该 边或在该边的延长线上． 【类型二】 根据三角形的面积求高
2如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC于点D,且AD=4,若点P在 边AC上移动,则BP的最小值为 解析:根据垂线段最短可知当BP⊥AC时BP有最小值由△ABC的面积公式可知ADBC 24 =BPAC,解得BP 方法总结:解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高,这种解题方法 通常称为“面积法 探究点二:三角形的中线 【类型一】应用三角形的中线求线段的长 例3在△ABC中,AC=5cm,AD是△ABC的中线,若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm, 则BA= 解析:如图,∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,△ABD的周长-△AC的周长=(BA+BD +AD-(AC+AD+CD=BA-AC,∴,BA-5=2,∴BA=7cm 方法总结:通过本题要理解三角形的中线的定义,解决问题的关键是将△ABD与△ADC 的周长之差转化为边长的差 【类型二】利用中线解决三角形的面积回题 4如图,在△ABC中,E是BC上的一点,EC=2BF,点D是AC的中点,设△ABC,△ ADF和△BEF的面积分别为S△AC,S△和S△BF,且S△ABC=12,则S△AD-S△B= 解析:∵点D是AC的中点,AD=aAC∴S△ABC=12,Sm=SB=a×12=6.∵EC=2BE
如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在 边 AC 上移动，则 BP 的最小值为________． 解析：根据垂线段最短，可知当 BP⊥AC 时，BP 有最小值．由△ABC 的面积公式可知1 2 AD·BC ＝ 1 2 BP·AC，解得 BP＝ 24 5 . 方法总结：解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，这种解题方法 通常称为“面积法”． 探究点二：三角形的中线 【类型一】 应用三角形的中线求线段的长 在△ABC 中，AC＝5cm，AD 是△ABC 的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大 2cm， 则 BA＝________. 解析：如图，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD＝CD，∴△ABD 的周长－△ADC 的周长＝(BA＋BD ＋AD)－(AC＋AD＋CD)＝BA－AC，∴BA－5＝2，∴BA＝7cm. 方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长的差． 【类型二】 利用中线解决三角形的面积问题 如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，点 D 是 AC 的中点，设△ABC，△ ADF 和△BEF 的面积分别为 S△ABC，S△ADF和 S△BEF，且 S△ABC＝12，则 S△ADF－S△BEF＝________． 解析：∵点 D 是 AC 的中点，∴AD＝ 1 2 AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝ 1 2 S△ABC＝ 1 2 ×12＝6.∵EC＝2BE
4Bc=12 ,. SA4BE=DSa4Bc=X12=4.. Sa4BD-Sa4BE=(So4BF+ SaBr)-( a4BF+ saBer)= 即Sm-SsBF=S6ABD-SaB=6-4=2.故答案为2. 方法总结:三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分;高相等时,面积的比等于底 边的比;底相等时,面积的比等于高的比 探究点三:三角形的角平分线 5如图,已知:AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,∠BAC=60°,∠BCE 求∠ADB的度数 解析:根据AD是△ABC的角平分线,∠BAC=60°,得出∠BAD=30°,再利用CE是△ABC 的高,∠BE=40°,得出∠B的度数,进而得出∠AB的度数. 解:∵AD是△ABC的角平分线,∠BAC=60°,∴∠DAC=∠BD=30°.∵CE是△ABC 的高,∠BCE=40°,∴∠B=50 ∠ADB=180°-∠B∠BAD=180°-50°-30°= 方法总结:通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法,同时此类问题往往和三 角形的高综合考查 三、板书设计 三角形的高、中线与角平分线 1.三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三 角形的高 2.三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 3.三角形的角平分线:三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,连接这个角的 顶点与交点的线段叫做三角形的角平分线 数学反思 本节课由实际问题“平分三角形蛋糕”引入,让学生意识到数学与实际生活的密切联 系,明确数学来源于实践应用于实践,进而学习用数学方法解决实际问题.然后从画图入手, 分三种情况:即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,培养学生形成分类讨论思想,同时, 可以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象,然后结合这些具体形象叙述它们的定义以
S△ABC＝12，∴S△ABE＝ 1 3 S△ABC＝ 1 3 ×12＝4.∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF， 即 S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.故答案为 2. 方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底 边的比；底相等时，面积的比等于高的比． 探究点三：三角形的角平分线 如图，已知：AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝ 40°，求∠ADB 的度数． 解析：根据 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝60°，得出∠BAD＝30°，再利用 CE 是△ABC 的高，∠BCE＝40°，得出∠B 的度数，进而得出∠ADB 的度数． 解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE 是△ABC 的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝ 100°. 方法总结：通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三 角形的高综合考查． 三、板书设计 三角形的高、中线与角平分线 1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三 角形的高． 2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线． 3．三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的 顶点与交点的线段叫做三角形的角平分线． 本节课由实际问题“平分三角形蛋糕”引入，让学生意识到数学与实际生活的密切联 系，明确数学来源于实践应用于实践，进而学习用数学方法解决实际问题．然后从画图入手， 分三种情况：即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，培养学生形成分类讨论思想，同时， 可以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象，然后结合这些具体形象叙述它们的定义以
及表示方法,最后通过例题进一步巩固
及表示方法，最后通过例题进一步巩固．