第十四章整式的乘法与因式分解 教学备注 142乘法公式 1421平方差公式 学习目标:1.经历平方差公式的探索及推导过程,掌握平方差公式的结构特征 2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题 重点:掌握平方差公式的结构特征 难点:应用平方差公式进行计算和解决实际问题 学生在课前 自主学习 完成自主学 、知识链接 习部分 1.多项式乘以多项式的乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项 另一个多项式的每一项,再把所得的积 2.计算 (3)(m+n)(m-n) 二、新知预习 算一算:计算下列多项式的积,你能发现什么规律? ①(x+1)(x-1)= ;②(m+2)(m-2)= 想一想:这些计算结果有什么特点? 要点归纳:(a+b)a-b)= 即两数和与这两数差的积等于这两数的 试一试:在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形,然后把剩余的两个长方 形拼成一个长方形,你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗? 剩余部分的面积为 新长方形的面积为 自学自测 (a-b)(a+b) a2-b (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x) 2.下列各式的计算对不对?如果不对,应当怎样改正? (1)x+3)(x-3)=x2-3;(2)(-3a-2)3a-2)=9a2-4
第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2 乘法公式 14.2.1 平方差公式 学习目标：1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征. 2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题. 重点：掌握平方差公式的结构特征. 难点：应用平方差公式进行计算和解决实际问题. 一、知识链接 1.多项式乘以多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项 _________另一个多项式的每一项，再把所得的积_______． 2．计算： (1)(x＋1)(x＋3)＝_________________；(2)(x＋3)(x－3)＝________________； (3)(m＋n)(m－n)＝________________． 二、新知预习 算一算：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ①（x ＋ 1)( x－1）=_______________；②（m ＋ 2)( m－2）=_______________； ③（2m＋ 1)(2m－1）=_______________； ④（5y ＋ z)(5y－z）=_______________. 想一想：这些计算结果有什么特点？ 要点归纳：(a+b)(a−b)=_________,即两数和与这两数差的积,等于这两数的__________. 试一试：在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形，然后把剩余的两个长方 形拼成一个长方形，你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗？ 剩余部分的面积为：____________ 新长方形的面积为：____________ 三、 自学自测 1.填一填： (a-b)(a+b) a b a 2 -b 2 (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x) 2.下列各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1)(x＋3)(x－3)＝x 2－3；(2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4. 自主学习 教学备注 学 生 在 课 前 完 成 自 主 学 习部分
教学备注 四、我的疑惑 配套PPT讲授 1复习引入 (见幻灯片3) 课堂探究 、要点探究 探究点1:平方差公式 典例精 例1:利用平方差公式计算 (1)(3x-5)(3x+5); 探究点1新 (3)(-7m+8n)(-8n-7m) 知讲投 (见幻灯片 4-20) 方法总结应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:(1)左边是两个二项式相乘,并 且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数:(2)右边是相同项的平方减去相 反项的平方:(3)公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式 例2:计算 (1)51×49;(2)3x+4)(3x-4)-(2x+3X3x-2) 方法总结:(1)中应根据平方差公式的特征,合理变形后,利用平方差公式,简化运算 (2)中不符合平方差公式条件的乘法运算,应按照多项式乘以多项式的乘法法则进行计算 例3:先化简,再求值:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x=1,y=2 例4:对于任意的正整数n,整式(3n+1)3n-1)-(3-n)3+n)的值一定是10的整数倍吗? 法总结:对于平方差中的a和b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式,在探究整 除性或倍数问题时,一般先将代数式化为最简,然后根据结果的特征,判断其是否具有 整除性或倍数关系
四、我的疑惑 ____________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 一、要点探究 探究点 1：平方差公式 典例精析 例 1：利用平方差公式计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)． 方法总结:应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并 且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相 反项的平方；(3)公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 例 2：计算: (1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) . 方法总结:(1)中应根据平方差公式的特征，合理变形后，利用平方差公式，简化运算. (2)中不符合平方差公式条件的乘法运算，应按照多项式乘以多项式的乘法法则进行计算. 例 3：先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2. 例 4：对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？ 方法总结:对于平方差中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整 除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有 整除性或倍数关系． 课堂探究 教学备注 配套 PPT 讲授 1.复习引入 （见幻灯片 3） 2.探究点 1 新 知讲授 （ 见 幻灯片 4-20）
例5:王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大妈说: 教学备注 我把这块地一边减少4米,另外一边增加4米,继续租给你,你看如何?”李大妈一听, 配套PPT讲授就答应了.你认为李大妈吃亏了吗?为什么? 方法总结:解决实际问题的关键是根据题意列出算式,然后根据公式化简算式,解决问题 对训 1.在下列多项式的乘法中,可以用平方差公式进行计算的是( A.(x+1)(1+x) +b)(b-a)C.(-a+b)(a-b)D.(x2-y)(x+y2) 2.对于任意正整数n,能整除式子(m+3)(m-3)-(m+2)(m-2)的整数是 3.计算 (1)(-a+b)(a+b)= (2)(a-b)(b+a)= (3)(-a-b)(-a+b) (4)(a-b)(-a-b) 4.将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置,你根据两个图形的面积关系得到的数学 公式是 图1 图2 5.计算 (1)(a-1)2a+1);(2)(2m+3n)(2am-3m). 6.先化简,再求值:(1+3x)(1-3x)+x(9x+2)-1,其中x 3课堂小结 二、课堂小结 相同为a (a+b)(a-b)=a2b2 互为相反数的为b
例 5：王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说： “我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听， 就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 方法总结:解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题． 针对训练 1.在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式进行计算的是( ) A．(x＋1)(1＋x) B．( 1 2 a＋b)(b－ 1 2 a) C．(－a＋b)(a－b) D．(x2－y)(x＋y 2 ) 2.对于任意正整数 n，能整除式子(m＋3)(m－3)－(m＋2)(m－2)的整数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 3.计算： (l)(-a+b)(a+b)=_________. (2)(a-b)(b+a)= __________. (3)(-a-b)(-a+b)= ________. (4)(a-b)(-a-b)= _________. 4.将图 1 中阴影部分的小长方形变换到图 2 位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学 公式是________________________． 图 1 图 2 5.计算： (1)(1 4 a－1)(1 4 a＋1)；(2)(2m＋3n)( 2m－3n)． 6.先化简，再求值：(1＋3x)(1－3x)＋x(9x＋2)－1，其中 x＝ 1 2 . 二、课堂小结 教学备注 配套 PPT 讲授 3.课堂小结 (a+b)(a-b)=a 2 -b 2 相同为 a 互为相反数的为 b
当堂检测 教学备注 配套PPT讲授 下列运算中,可用平方差公式计算的是() (x+y)(x+y) B(-X+y)(x-y) C(x-y-x) D(x+y)(-x-y 2计算(2x+1)(2x-1)等于() A.4x2-1 x2-1 C.4x-1 D.4x2+1 3两个正方形的边长之和为5,边长之差为2,那么用较大的正方形的面积减去较小的 正方形的面积,差是 4利用平方差公式计算: (1)(a+3b)(a3b) (2)(3+2a)(-3+2a);(3)(-2x2-y)(-2x2+y) 4.当堂检测 见幻灯片 5计算:20152-2014×2016 212 6利用平方差公式计算 (1)(a2)a+2)a2+4);(2)(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4) 7先化简,再求值:(x+1)(x-1)+x2(1-x)+x3,其中x=2 拓展提升 8已知x≠1,计算:(1+x)(1-x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1-x3,(1-x)(1+x+x2 x3)=1-x (1)观察以上各式并猜想:(1-x(1+x+x2+….+x (n为正整数) (2)根据你的猜想计算: ①(1-21+2+22+23+24+25) ②2+22+23++2n= (n为正整数) ③(x-1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1 (3)通过以上规律请你进行下面的探索: a-b)(a+b)= ②(ab)(a2+ab+b2) S(a-b)(a+ab+ab2+b) 温馨提示:配套课件及全册导学案WORD版见光盘 或网站下载 Www.youy100com(无须登录,直接下载)
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( ) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) 2.计算（2x+1）（2x-1）等于（ ） A．4x2 -1 B．2x 2 -1 C．4x-1 D．4x2+1 3.两个正方形的边长之和为 5，边长之差为 2，那么用较大的正方形的面积减去较小的 正方形的面积，差是________． 4.利用平方差公式计算： （1）(a+3b)(a- 3b)； （2）(3+2a)(－3+2a)； （3）(－2x2－y)(－2x2+y). 5.计算： 20152 － 2014×2016. 6.利用平方差公式计算: （1)(a-2)(a+2)(a2 + 4); (2) (x-y)(x+y)(x2+y2 )(x4+y4 ). 7.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x 2 (1－x)＋x 3，其中 x＝2. 拓展提升 8.已知 x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x 2，(1－x)(1＋x＋x 2 )＝1－x 3，(1－x)(1＋x＋x 2 ＋x 3 )＝1－x 4 . (1)观察以上各 式并猜想：(1－x)(1＋x＋x 2＋…＋x n )＝________；(n 为正整数) (2)根据你的猜想计算： ①(1－2)(1＋2＋2 2＋2 3＋2 4＋2 5 )＝________； ②2＋2 2＋2 3＋…＋2 n＝________(n 为正整数)； ③(x－1)(x99＋x 98＋x 97＋…＋x 2＋x＋1)＝________； (3)通过以上规律请你进行下面的探索： ①(a－b)(a＋b)＝________； ②(a－b)(a2＋ab＋b 2 )＝________； ③(a－b)(a3＋a 2b＋ab2＋b 3 )＝________． 当堂检测 温馨提示：配套课件及全册导学案 WORD 版见光盘 或网站下载：www.youyi100.com(无须登录，直接下载) 教学备注 配套 PPT 讲授 4.当堂检测 （ 见 幻灯片 21-27）