第十一章三角形 教学备注 111与三角形有关的线段 .1三角形的边 学习目标:1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题 2体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感悟转化思想. 重点:利用轴对称解决简单的最短路径问题 难点:利用轴对称解决简单的最短路径问题 学生在课前 完成自主学 自主学习 习部分 、知识链接 1.如图,连接A、B两点的所有连线中,哪条最短?为什么? 1问题引入 (见幻灯片 2.如图,点P是直线1外一点,点P与该直线1上各点连接的所有线段中,哪条最短? 为什么? 3.在我们前面的学习中,还有哪些涉及比较线段大小的基本事实? (1)三角形的三边关系: (2)直角三角形中边的关系 4.如图,如何作点A关于直线l的对称点?
第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边 学习目标：1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题 难点：利用轴对称解决简单的最短路径问题 一、知识链接 1.如图，连接 A、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ 2.如图，点 P 是直线 l 外一点，点 P 与该直线 l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？ 为什么？ 3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ （1）三角形的三边关系：___________________________________； (2)直角三角形中边的关系：______________________________ . 4.如图，如何作点 A 关于直线 l 的对称点？ 自主学习 教学备注 学 生 在 课 前 完 成 自 主 学 习部分 1.问题引入 （ 见 幻 灯 片 3）
课堂探究 教学备注 一、要点探究 配套PPT讲授 探究点1:牧人饮马问题 实际问题:如图,牧马人从点A地出发,到一条笔直的河 2探究点1新 边1饮马,然后到B地,牧马人到河边的什么地方饮马, B 知讲投 可使所走的路径最短? (见幻灯片 5-15) 数学问题:如图,点A、B在直线1的同一侧,在直线1上 求作一点C,使AC+BC最短 想一想 1现在假设点A,B分别是直线1异侧的两个点,如何在1上找到一个点,使得这个点到点A 点B的距离的和最短? 2.如果点AB分别是直线1同侧的两个点,如何将点B“移”到1的另一侧B′处,满足直线 1上的任意一点C,都保持CB与CB′的长度相等? 要点归纳:(1)作点B关于直线1的对称点B′:(2)连接AB′,与直线l相交于点C 则点C即为所求.如图所示 B 你能用所学的知识证明你所作的点C使AC+BC最短吗? 证明
一、要点探究 探究点 1：牧人饮马问题 想一想： 1.现在假设点 A,B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A， 点 B 的距离的和最短？ 2.如果点 A,B 分别是直线 l 同侧的两个点，如何将点 B“移”到 l 的另一侧 B′处，满足直线 l 上的任意一点 C，都保持 CB 与 CB′的长度相等？ 要点归纳：（1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B′；（2）连接 AB′，与直线 l 相交于点 C． 则点 C 即为所求．如图所示. 你能用所学的知识证明你所作的点 C 使 AC +BC 最短吗？ 证明： 课堂探究 教学备注 配套 PPT 讲授 2.探究点 1 新 知讲授 （ 见 幻灯片 5-15） 实际问题:如图，牧马人从点 A 地出发，到一条笔直的河 边 l 饮马，然后到 B 地，牧马人到河边的什么地方饮马， 可使所走的路径最短？ 数学问题:如图，点 A、B 在直线 l 的同一侧，在直线 l 上 求作一点 C,使 AC+BC 最短
要点归纳:在解决牧人饮马问题时,通常利用轴对称,把未知问题转化为已解决的问题,从 教学备注 而做出最短路径的选择 典例精 例1:如图,已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的 中点,AD=5,点F是AD边上的动点,则BF+EF的最小值为() A.7.5 D.不能确定 3探究点2新 C 知讲授 方法总结:此类求线段和的最小值问题,找准对称点是关键,而后将求线段长的和转化为 (见幻灯片求某一线段的长,而再根据已知条件求解 16-24) 例2:如图,在直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,4)和 ,0),点C是y轴上的一个动点,且A,B,C三点不在同 条直线上,当△ABC的周长最小时点C的坐标是() B.(0,2) C.(0,1) D.(0,0 O 方法总结:求三角形周长的最小值,先确定动点所在的直线和固定点,而后作某一固定点 关于动点所在直线的对称点,而后将其与另一固定点连线,连线与动点所在直线的交点即 为三角形周长最小时动点的位置 探究点2:造桥选址问题 实际问题:如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使 从A到B的路径AMNB最短(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)? 数学问题:如图,假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN, 那么怎样确定什么情况下最短呢? B 想一想:我们能否在不改变AMMN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮 助我们呢? 画一画 (1)把A平移到岸边 (2)把B平移到岸边
要点归纳:在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从 而做出最短路径的选择. 典例精析 例 1：如图，已知点 D、点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC、AB 边的 中点，AD=5，点 F 是 AD 边上的动点，则 BF+EF 的最小值为（ ） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为 求某一线段的长，而再根据已知条件求解. 例 2：如图，在直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为（1，4）和 （3，0），点 C 是 y 轴上的一个动点，且 A，B，C 三点不在同一 条直线上，当△ABC 的周长最小时点 C 的坐标是（ ） A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（0，0） 方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点 关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即 为三角形周长最小时动点的位置. 探究点 2：造桥选址问题 实际问题：如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN.桥造在何处可使 从 A 到 B 的路径 AMNB 最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？ 数学问题：如图，假定任选位置造桥 MN，连接 AM 和 BN，从 A 到 B 的路径是 AM+MN+BN， 那么怎样确定什么情况下最短呢？ 想一想：我们能否在不改变 AM+MN+BN 的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮 助我们呢？ 画一画： （1）把 A 平移到岸边. （2）把 B 平移到岸边. 教学备注 3.探究点 2 新 知讲授 （ 见 幻 灯 片 16-24）
教学备注 配套PPT讲授 (3)把桥平移到和A相连 (4)把桥平移到和B相连 A 比一比:(1)(2)(3)(4)中,哪种作法使得AM+MN+BN最短? 要点归纳:如图,平移A到A,使AA1等于河宽,连接AB交河岸于N作桥MN,此时路径 AM+MN+BN最短 想一想:如何说明此时 AM+MN+BN最短 证明:另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A1N 卧对训组 1.如图,直线1是一条河,P、Q是两个村庄.欲在1上的某处修建一个水泵站,向P、Q两 地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需要管道最短的 是() 2.如图,一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客,然后将游客送往河岸 BC上,再返回P处,请画出旅游船的最短路径. 河岸 大桥 3.如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水
（3）把桥平移到和 A 相连. （4）把桥平移到和 B 相连. 比一比：（1）（2）（3）（4）中，哪种作法使得 AM+MN+BN 最短？ 要点归纳：如图，平移 A 到 A1，使 AA1 等于河宽，连接 A1B 交河岸于 N 作桥 MN，此时路径 AM+MN+BN 最短. 证明：另任作桥 M1N1，连接 AM1，BN1，A1N1. 针对训练 1.如图，直线 l 是一条河，P、Q 是两个村庄.欲在 l 上的某处修建一个水泵站，向 P、Q 两 地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的 是（ ） 2.如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P处前往山脚下的 Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再返回 P处，请画出旅游船的最短路径． 3.如图，小河边有两个村庄 A，B，要在河边建一自来水厂向 A 村与 B 村供水． 教学备注 配套 PPT 讲授 想一想：如何说明此时 AM+MN+BN 最 短 呢？
(1)若要使厂址到A,B两村的距离相等,则应选择在哪建厂(要求:保留作图痕迹,写出必 教学备注 要的文字说明)? (2)若要使厂址到A,B两村的水管最短,应建在什么地方? 配套PPT讲授 、课堂小结 牧人饮 轴对称+线段公理 马问题 最短路 径问题 造桥选 4课堂小结 址问题 平移 当堂检测 1如图,直线m同侧有A、B两点,A、A′关于直线m对称,A、B关于直线n对称,直 线m与A′B和n分别交于P、Q,下面的说法正确的是() A.P是m上到A、B距离之和最短的点,Q是m上到A、B距离相等的点 5当堂检测 (见幻灯片 B.Q是m上到A、B距离之和最短的点,P是m上到A、B距离相等的点 25-32) C.P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点 D.P、Q都是m上到A、B距离相等的点 R 第1题图 第2题图 第3题图 2如图,∠AOB=30°,∠AOB内有一定点P,且OP=10.若在OA、OB上分别有动点Q R,则△PQR周长的最小值是() A.10 3如图,牧童在A处放马,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC和BD,且AC=BD, 若点A到河岸CD的中点的距离为500米,则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家,所走 的最短距离是 米 4.如图,边长为1的正方形组成的网格中,△AOB的顶点均在格点上,点A、B的坐标分 别是A(3,2),B(1,3).点P在x轴上,当PA+PB的值最小时,在图中画出点P
(1)若要使厂址到 A，B 两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必 要的文字说明)? (2)若要使厂址到 A，B 两村的水管最短，应建在什么地方？ 二、课堂小结 1.如图，直线 m 同侧有 A、B 两点，A、A′关于直线 m 对称，A、B 关于直线 n 对称，直 线 m 与 A′B 和 n 分别交于 P、Q，下面的说法正确的是（ ） A．P 是 m 上到 A、B 距离之和最短的点，Q 是 m 上到 A、B 距离相等的点 B．Q 是 m 上到 A、B 距离之和最短的点，P 是 m 上到 A、B 距离相等的点 C．P、Q 都是 m 上到 A、B 距离之和最短的点 D．P、Q 都是 m 上到 A、B 距离相等的点 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 2.如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点 P，且 OP=10．若在 OA、OB 上分别有动点 Q、 R，则△PQR 周长的最小值是（ ） A．10 B．15 C．20 D．30 3.如图，牧童在 A 处放马，其家在 B 处，A、B 到河岸的距离分别为 AC 和 BD，且 AC=BD, 若点 A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 米，则牧童从 A 处把马牵到河边饮水再回家，所走 的最短距离是_____ 米. 4.如图，边长为 1 的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点 A、B 的坐标分 别是 A（3，2），B（1，3）．点 P 在 x 轴上，当 PA+PB 的值最小时，在图中画出点 P． 当堂检测 教学备注 配套 PPT 讲授 4.课堂小结 5.当堂检测 （ 见 幻灯片 25-32） 最短路 径问题 牧人饮 马问题 造桥选 址问题 轴对称+线段公理 平移
教学备注 配套PPT讲授 5课堂小结 5如图,荆州古城河在CC′处直角转弯,河宽相同,从A处到B处,须经两座桥:DD′,EE (桥宽不计),设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD′E′EB 的路程最短? 6当堂检测 (见幻灯片 24-28) 拓展提升 6.(1)如图1,在AB直线一侧C、D两点,在AB上找一点P, 角形的周长最短,找出此点 (2)如图2,在∠AOB内部有一点P,是否在OA、OB上分别存在点E、F,便得E、F、P 三点组成的三角形的周长最短,找出E、F两点 (3)如图3,在∠AOB内部有两点M、N,是否在OA、OB上分别存在点E、F,使得E、 F、M、N,四点组成的四边形的周长最短,找出E、F两点 B 温馨提示:配套课件及全册导学案WORD版见光盘 或网站下载: Www.youy100com(无须登录,直接下载)
5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从 A处到 B处，须经两座桥：DD ′,EE ′ （桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使 ADD ′E ′EB 的路程最短？ 拓展提升 6.（1）如图 1，在 AB 直线一侧 C、D 两点，在 AB 上找一点 P，使 C、D、P 三点组成的三 角形的周长最短，找出此点． （2）如图 2，在∠AOB 内部有一点 P，是否在 OA、OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、P 三点组成的三角形的周长最短，找出 E、F 两点． （3）如图 3，在∠AOB 内部有两点 M、N，是否在 OA、OB 上分别存在点 E、F，使得 E、 F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出 E、F 两点． 温馨提示：配套课件及全册导学案 WORD 版见光盘 或网站下载：www.youyi100.com(无须登录，直接下载) 教学备注 配套 PPT 讲授 5.课堂小结 6.当堂检测 （ 见 幻灯片 24-28）