第十二章全等三角形 教学备注 123角平分线的性质 第1课时角平分线的性质 学习目标:1.通过操作、验证等方式,探究并掌握角平分线的性质定理. 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题 重点:掌握角的平分线的性质定理,用直尺和圆规作角的平分线 难点:角平分线定理的应用 学生在课前 自主学习 完成自主学 连接 、知识链 习部分 1.判定两个三角形全等的方法有哪几种? 2.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,则∠ 过点D作DE⊥BC,垂足为E,则图中线段的长度表示点D到BC的距离 二、新知预习 1复习引入 1.OC是∠AOB的平分线,点P是射线0C上的任意一点 (见幻灯片操作测量:取点P的三个不同的位置,分别过点P作PD⊥OA,PE⊥0B,点D、E为垂足, 3-5) 测量PD、PE的长将三次数据填入下表:观察测量结果,猜想 线段PD与PE的大小关系,写出结论 PE 第一次 2.下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则PD=PE的是() 3.猜想 角平分线的性质:角平分线上任意一点到两边的相等 我的疑惑
第十二章 全等三角形 12.3 角平分线的性质 第 1 课时 角平分线的性质 学习目标:1.通过操作、验证等方式,探究并掌握角平分线的性质定理. 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. 重点:掌握角的平分线的性质定理,用直尺和圆规作角的平分线. 难点:角平分线定理的应用. 一、知识链接 1.判定两个三角形全等的方法有哪几种? 2.如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC,则∠ =∠ . 过点 D 作 DE⊥BC,垂足为 E,则图中线段 的长度表示点 D 到 BC 的距离. 二、新知预习 1.OC 是∠AOB 的平分线,点 P 是射线 OC 上的任意一点, 操作测量:取点 P 的三个不同的位置,分别过点 P 作 PD⊥OA,PE ⊥OB,点 D、E 为垂足, 测量 PD、PE 的长.将三次数据填入下表:观察测量结果,猜想 线段 PD 与 PE 的大小关系,写出结论 PD[来源:学科网] PE 第一次 第二次 第三次[来源: 学,科,网Z ,X, X,K ] 2.下面四个图中,点 P 都在∠AOB 的平分线上,则 PD=PE 的是 ( ) A B C D 3.猜想: 角平分线的性质:角平分线上任意一点到两边的 相等. 三、我的疑惑 ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 自主学习 教学备注 学 生 在 课 前 完 成 自 主 学 习部分 1.复习引入 ( 见 幻 灯 片 3-5)
课堂探究 教 学备注 配套PPT讲授 要点探究 探究点1:角平分线的尺规作图 2探究点1新 动1:如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD 讲授 沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线你能说明它的道理吗? 见幻灯片 活动2:已知∠AOB,类比平分角仪器的原理,用尺规作∠AOB的平分线.并书写主要 步骤. 提示 (1)已知什么?求作什么? (2)把平分角的仪器放在角的两边,仪器的顶点与角的顶点重合,且仪器的两边相等 怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中,BC=DC,怎样在作图中体现这个过程呢? (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗? 注意:作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握 对训 已知:平角∠AO 求作:平角∠AOB的角平分线 3探究点2新 知讲投 探究点2:角平分线的性质 见幻灯片 画一画:如图,任意作一个角∠AOB,作出∠AOB的平分线0C.在OC上任取一点P,过点 9-18) P画出OA,OB的垂线,分别记垂足为D、E,测量PD,PE并作比较,你得到什么结论? 在OC上再取几个点试一试 证明结论: 已知:如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB 垂足分别为DE 求证:PD=PE 要点归纳: 角的平分线上的点到角的两边的相等 应用所需要的条件:(1) (3) 几何语言 OP是∠AOB的平分线
一、要点探究 探究点 1:角平分线的尺规作图 活动 1:如图,是一个平分角的仪器,其中 AB=AD,BC=DC.将点 A 放在角的顶点,AB 和 AD 沿着角的两边放下,沿 AC 画一条射线 AE, AE 就是角平分线.你能说明它的道理吗? 活动 2:已知∠AOB,类比平分角仪器的原理,用尺规作∠AOB 的平分线.并书写主要 步骤. 提示: (1)已知什么?求作什么? (2)把平分角的仪器放在角的两边,仪器的顶点与角的顶点重合,且仪器的两边相等, 怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中,BC=DC,怎样在作图中体现这个过程呢? (4)你能说明为什么 OC 是∠AOB 的平分线吗? 注意:作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握. 针对训练 已知:平角∠AOB. 求作:平角∠AOB 的角平分线. 探究点 2:角平分线的性质 画一画:如图,任意作一个角∠AOB,作出∠AOB 的平分线 OC.在 OC 上任取一点 P,过点 P 画出 OA,OB 的垂线,分别记垂足为 D、E,测量 PD,PE 并作比较,你得到什么结论? 在 OC 上再取几个点试一试. 证明结论: 已知:如图, ∠AOC= ∠BOC,点 P 在 OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为 D,E. 求证:PD=PE. 要点归纳: 角的平分线上的点到角的两边的 相等. 应用所需要的条件:(1) (2) (3) 几何语言: ∵OP 是∠AOB 的平分线, 课堂探究 教学备注 配套 PPT 讲授 2.探究点 1 新 知讲授 ( 见 幻灯片 6-8) 3.探究点 2 新 知讲授 ( 见 幻灯片 9-18)
PD⊥OA,PE⊥OB 教学备注 配秦PT讲授国例糖司 例1:已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD, DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为 求证:EB=FC 方法总结:先利用角平分线的性质定理得到对应线段相等,再利用这个条件证明我们需 要证明的两个三角形全等. 例2:如下左图,AM是∠BAC的平分线点P在AM上,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是D、 E,PD=4cm,则PE= 变式:如上右图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90,AP平分∠BAC交BC于点P 若PC=4,AB=1 (1)则点P到AB的距离为 (2)求△APB的面积 (3)求△PDB的周长 方法总结:利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高,再利用三角形面积公式求出 线段的长度是常用的方法 对训 如图1,∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,下列结论错误的是() A PD=PE B OD=OE ∠DPO=∠ EPO D PD=OD 2如图2,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于D,若CD=3cm,则点 D到AB的距离DE是 3如图3,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3cm, 那么AE+DE等于() C.4
∵ PD⊥OA,PE⊥OB, ∴ 典例精析 例 1: 已知:如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且 BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为 E,F. 求证:EB=FC. 方法总结:先利用角平分线的性质定理得到对应线段相等,再利用这个条件证明我们需 要证明的两个三角形全等. 例 2:如下左图,AM 是∠BAC 的平分线,点 P 在 AM 上,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别是 D、 E,PD=4cm,则 PE=______cm.. 变式:如上右图,在 Rt△ABC 中,AC=BC,∠C=90°,AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P, 若 PC=4, AB=14. (1)则点 P 到 AB 的距离为_______. (2)求△APB 的面积. (3)求△PDB 的周长. 方法总结:利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高,再利用三角形面积公式求出 线段的长度是常用的方法. 针对训练 1.如图 1,∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为 D,E,下列结论错误的是( ) A.PD=PE B.OD=OE C.∠DPO=∠EPO D.PD=OD 2.如图 2,Rt△ABC 中,∠C=90°,∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于 D,若 CD=3cm,则点 D 到 AB 的距离 DE 是( ) A. 5cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm 3.如图 3,在△ABC 中,∠ACB=90°,BE 平分∠ABC,DE⊥AB 于 D,如果 AC=3 cm, 那么 AE+DE 等于( ) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 教学备注 配套 PPT 讲授
二、课堂小结 尺规作图属于基本作图,必须熟练掌握 教学备注 配套PPT讲授 一个点:角平分线上的点 角平分线 4课堂小结 性质定理{二距离:点到角两边的距 两相等:两条垂线段相等 添加辅助线过角平分线上一点向两边作垂线段 当堂检测 如图,DE⊥AB,DF⊥BG,垂足分别是E, DE=,∠EDP=60°,则∠EBF=5当堂检测 (见幻灯片 19-24) 第1题图 第2题图 第3题图 第 4题图 2.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离 3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据 是( A SSS B ASA C AAs D.角平分线上的点到角两边的距离相等 4如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC 的长是() A.6 B.5 D.3 5.如图,已知AD∥BC,P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点,PE⊥AB于E,且PE=3, 求AD与BC之间的距离 6.如图所示,D是∠ACG的平分线上的一点.DE⊥AC,DF⊥CG,垂足分别为E,F 求证:CE=CF 温馨提示:配套课件及全册导学案WORD版见光盘 或网站下载:Www.youYi100.com(无须登录,直接下载)
二、课堂小结 1. 如图,DE⊥AB,DF⊥BG,垂足分别是 E,F, DE =DF, ∠EDB= 60°,则 ∠EBF= 度,BE= . 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 2.如图,△ABC 中, ∠C=90°,AD 平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,则点 D 到 AB 的距离 是 . 3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC 的依据 是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 4.如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,垂足为 E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则 AC 的长是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 5.如图,已知 AD∥BC,P 是∠BAD 与 ∠ABC 的平分线的交点,PE⊥AB 于 E,且 PE=3, 求 AD 与 BC 之间的距离. 6.如图所示,D 是∠ACG 的平分线上的一点.DE⊥AC,DF⊥CG,垂足分别为 E,F. 求证:CE=CF. 当堂检测 角平分线 尺规作图 性质定理 添加辅助线 属于基本作图,必须熟练掌握 一个点:角平分线上的点; 二距离:点到角两边的距离; 两相等:两条垂线段相等 过角平分线上一点向两边作垂线段 温馨提示:配套课件及全册导学案 WORD 版见光盘 或网站下载:www.youyi100.com(无须登录,直接下载) 教学备注 配套 PPT 讲授 4.课堂小结 5.当堂检测 ( 见 幻灯片 19-24)