第十三章轴对称 教学备注 教学备注 13.3等腰三角形 1332等边三角形 第2课时含30°角的直角三角形的性质 学习目标:1.探索含30°角的直角三角形的性质 2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和 计算 重点:含30°角的直角三角形的性质 难点:运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算 学生在课前 完成自主学 习部分 自主学习 知识链接 1.等边三角形的性质有哪些? 2.如何判定一个三角形是等边三角形? 课堂探究 一、要点探究 探究点:含30°角的直角三角形的性质 拼一拼:如图,将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起,你能借助 这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗? 1.问题引入 (见幻灯片 A(D) 2探究点新 知讲授 (见幻灯片 5-19) E C(F) E 填一填: AB=DE,→△ABE是 角形;→2BC=BE 要点归纳:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的 直角边等于斜边的一半 证一证: 已知:如图,在R△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,求证:BC=1AB 方法一:倍长法
第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形 第 2 课时 含 30°角的直角三角形的性质 学习目标：1．探索含 30°角的直角三角形的性质. 2．会运用含 30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和 计算． 重点：含 30°角的直角三角形的性质． 难点：运用含 30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算． 知识链接 1.等边三角形的性质有哪些？ 2.如何判定一个三角形是等边三角形？ 一、要点探究 探究点：含 30°角的直角三角形的性质 拼一拼：如图，将两个相同的含 30°角的三角尺摆放在一起，你能借助 这个图形，找到 Rt△ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？ 填一填： ∠A=∠D=_______， ∠BAC=___________; AB=DE, △ABE 是__________三角形； 2BC=BE=________. 要点归纳： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一半. 证一证： 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC= 1 2 AB. 方法一：倍长法 课堂探究 自主学习 教学备注 学 生 在 课 前 完 成 自 主 学 习部分 1.问题引入 （ 见 幻 灯 片 3） 2.探究点 新 知讲授 （ 见 幻 灯 片 5-19） 教学备注 D F E A B C A（D） B C（F） E
【提示:延长BC至D,使CD=BD,连接AD】 教学备注 证明 方法二:截半法 【提示:在BA上截取BE=BC,连接EC】 证明 方法总结:在证明线段之间的和差倍分关系时,倍长法与截半法是常用的两种作辅助线的方 例精 例1:如图,在R△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD= 3cm,则AB的长度是() A. 3cm b. 6cm C. 9cm D. 12cm 注意:运用含30°角的直角三角形的性质求线段长A B时,要分清 线段所在的直角三角形 例2:如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于C, PD⊥OA于 3课堂小结 D,若PC=3,则PD等于() C.1.5 方法总结:含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分 线的综合运 用时,关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形 例3如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥AB,DE 恰好是∠ADB的平分线.CD与DB有怎样的数量关系?请说明理由 方法总结:含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问 题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质. 例4:已知等腰三角形的底角为15°,腰长为20求腰上的高 方法总结:在求三角形边长的一些问题中,可以构造含30°角的直角三角形来解决.本题的关键是作高
【提示：延长 BC 至 D，使 CD=BD，连接 AD】 证明： 方法二：截半法 【提示：在 BA 上截取 BE=BC，连接 EC】 证明： 方法总结:在证明线段之间的和差倍分关系时，倍长法与截半法是常用的两种作辅助线的方 法. 典例精析 例 1：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD 是斜边 AB 上的高，AD＝ 3cm，则 AB 的长度是( ) A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 注意：运用含 30°角的直角三角形的性质求线段长 时，要分清 线段所在的直角三角形． 例 2：如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA 交 OB 于 C， PD⊥OA 于 D，若 PC＝3，则 PD 等于( ) A ． 3 B ． 2 C.1.5 D．1 方法总结：含 30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分 线的综合运 用时，关键是寻找或作辅助线构造含 30°角的直角三角形． 例 3 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点 D 作 DE⊥AB，DE 恰好是∠ADB 的平分线．CD 与 DB 有怎样的数量关系？请说明理由． 方法总结：含 30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问 题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质． 例 4：已知:等腰三角形的底角为 15°，腰长为 20.求腰上的高. 方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含 30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高， A B C 教学备注 3 课堂小结
而后利用等腰三角形及外角的性质,得出30°角,利用含30°角的直角三角形的性质解决 教学备注 4.当堂检测 对训 (见幻灯片 2025) 1.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,AD=2cm,则AC的长是() A. 2 cm B. 4 cm D. 8 cm 2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1,则 D 第2题图 第3题图 3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图,其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面 的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h 4.如图所示,已知△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于 占 A=30 求证:AB= 证明:∵△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30 又∵△BCD中,CD⊥AB ∴∠BCD= BD= BC AB 即 5.如图所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4.求PD的长 课堂小结 含30°角的直角三角形的性质:应用的前提在 角形中,结论是30°角所对的 直角边是的一半,而不是任一直角边是斜边的一半 当堂检测
而后利用等腰三角形及外角的性质，得出 30°角，利用含 30°角的直角三角形的性质解决 问题. 针对训练 1.在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，则 AC 的长是( ) A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm 2.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD 平分∠CAB，交 BC 于点 D，若 CD＝1，则 BD＝____． 第 2 题图 第 3 题图 3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中 AB，CD 分别表示一楼、二楼地面 的水平线，∠ABC＝150°，BC 的长是 8m，则乘电梯从点 B 到点 C 上升的高度 h＝____ m. 4.如图所示，已知△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 点 D，∠ A=30°. 求证：AB=4BD 证明：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30 ∴ BC= AB ∠B= 又∵△BCD 中,CD⊥AB ∴∠BCD= ∴BD= BC ∴BD= AB 即 . 5.如图所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若 PC=4.求 PD 的长. 二、课堂小结 含 30°角的直角三角形的性质：应用的前提在 三角形中，结论是 30°角所对的 直角边是 的一半，而不是任一直角边是斜边的一半． 当堂检测 教学备注 4. 当 堂 检 测 （ 见 幻 灯 片 20-25）
1.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的 高度为( A.6米 B.9米C.12米D.15米 20m 30m 第1题图 第2题图 2.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境,已知∠A=150°,这种 草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要( A.300a元 150a元 C.450a元 D.225 3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,AB=4.则BD= 第3题图 第5题图 4在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,则BC 5如图,Rt△ABC中,∠A=30°,AB+BC=12cm,则AB= 6在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的垂直平分线,BE=5,则求AC的长 7在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC的中点,DE⊥AB于E点,求证:BE=3EA 拓展提升 8如图,已知△ABC是等边三角形,DE分别为BC、AC上的点,且CD=AE,AD、BE相交于点P,BQ ⊥AD于点Q,求证BP=2PQ
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面 3 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30°角，这棵树在折断前的 高度为( ) A．6 米 B．9 米 C．12 米 D．15 米 第 1 题图 第 2 题图 2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC 空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种 草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要( ) A．300a 元 B．150a 元 C．450a 元 D．225a 元 3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则 BD = . 第 3 题图 第 5 题图 4.在△ABC 中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若 AB=10,则 BC = . 5.如图，Rt△ABC 中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则 AB=______. 6.在△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，DE 是 AB 的垂直平分线，BE=5，则求 AC 的长． . 7.在 △ABC 中，AB=AC,∠BAC=120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E 点，求证：BE=3EA. 拓展提升 8.如图，已知△ABC 是等边三角形，D,E 分别为 BC、AC 上的点，且 CD=AE，AD、BE 相交于点 P，BQ ⊥AD 于点 Q,求证:BP=2PQ. C A B D C A B