4单摆 课后·训练提升 基础巩固 一、选择题（第1~4题为单选题，第5~6题为多选题） 1在如图所示的装置中，可视为单摆的是() 粗 细线 细橡 绳 细线 皮筋 B C D 答案A 解析单摆的悬线要求无弹性，直径小且质量可忽略，故选项A正确，B、C错误；悬点必须固定， 故选项D错误。 2.置于水平面的支架上吊着一只装满细沙的小漏斗，让漏斗左右摆动，于是桌面上漏下许多沙 子，一段时间后桌面上形成一沙堆，沙堆的纵剖面在下图中最接近的是() B C D 靥案c 解析单摆在平衡位置的速度大，漏下的沙子少，越接近两端点速度越小，漏下的沙子越多，且沙 堆左右接近对称分布，故选项C符合题意。 3.下列说法正确的是() A在同一地点，单摆做简谐运动的周期与其摆长成正比 B.弹簧振子做简谐运动时，系统的势能与动能之和保持不变 C.在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简谐运动的周期越小 D.己知弹簧振子初始时刻的位置及其振动周期，就可知振子在任意时刻运动速度的方向 答案B 解析根据单摆的周期公式T=2π 可知P在同一地点8一定，则知下与1成正比故 项A错误；弹簧振子做简谐运动时，系统的机械能守恒，即系统的势能与动能之和保持不变，故 选项B正确：根据单摆的周期公式T=2π可知，单摆做简请运动的周期与摆球质量无关，故 选项C错误：振动质点在同一位置振动方向有两种，所以已知弹簧振子初始时刻的位置，不知 道初始时刻振子的振动方向，根据振动周期.不能知道振子在任意时刻运动速度的方向，故选 项D错误。 4.半径为R的光滑球面固定在水平面上，己知圆弧AB的长度远小于R,且A、B等高，其中B 点和圆弧最低点之间由光滑斜面相连。现有三个小球，甲球从A点由静止释放沿圆弧下滑， 乙球从B点由静止释放沿斜面下滑，丙球从圆心O点由静止释放，若三个小球同时释放，则下 列说法正确的是( A.甲球最先运动到圆弧最低点
4 单摆 课后· 基础巩固 一、选择题(第 1~4 题为单选题,第 5~6 题为多选题) 1.在如图所示的装置中,可视为单摆的是( ) 答案 A 解析单摆的悬线要求无弹性,直径小且质量可忽略,故选项 A 正确,B、C 错误;悬点必须固定, 故选项 D 错误。 2.置于水平面的支架上吊着一只装满细沙的小漏斗,让漏斗左右摆动,于是桌面上漏下许多沙 子,一段时间后桌面上形成一沙堆,沙堆的纵剖面在下图中最接近的是( ) 答案 C 解析单摆在平衡位置的速度大,漏下的沙子少,越接近两端点速度越小,漏下的沙子越多,且沙 堆左右接近对称分布,故选项 C 符合题意。 3.下列说法正确的是( ) A.在同一地点,单摆做简谐运动的周期与其摆长成正比 B.弹簧振子做简谐运动时,系统的势能与动能之和保持不变 C.在同一地点,当摆长不变时,摆球质量越大,单摆做简谐运动的周期越小 D.已知弹簧振子初始时刻的位置及其振动周期,就可知振子在任意时刻运动速度的方向 答案 B 解析根据单摆的周期公式 T=2π√ 𝑙 𝑔 可知 T 2= 4π 2 𝑔 l,在同一地点,g 一定,则知 T 2 与 l 成正比,故选 项 A 错误;弹簧振子做简谐运动时,系统的机械能守恒,即系统的势能与动能之和保持不变,故 选项 B 正确;根据单摆的周期公式 T=2π√ 𝑙 𝑔 可知,单摆做简谐运动的周期与摆球质量无关,故 选项 C 错误;振动质点在同一位置振动方向有两种,所以已知弹簧振子初始时刻的位置,不知 道初始时刻振子的振动方向,根据振动周期,不能知道振子在任意时刻运动速度的方向,故选 项 D 错误。 4.半径为 R 的光滑球面固定在水平面上,已知圆弧 AB 的长度远小于 R,且 A、B 等高,其中 B 点和圆弧最低点之间由光滑斜面相连。现有三个小球,甲球从 A 点由静止释放沿圆弧下滑, 乙球从 B 点由静止释放沿斜面下滑,丙球从圆心 O 点由静止释放,若三个小球同时释放,则下 列说法正确的是( ) A.甲球最先运动到圆弧最低点
B.乙球最先运动到圆弧最低点 C丙球最先运动到圆弧最低点 D.三个小球同时到达圆弧最低点 答案C 解园甲球运动可看作简诺运动，从静上运动到最低点的时间小子=2厚-、周 设斜面 的倾角为0，对于乙球，有2Rsin0-23sin0-t2,可得h=-2, 丙球做自由落体运动，有 R29t2,可得6=、 2R 则有>1>5，则丙球最先运动到圆孤最低，点，故选项A、B、D错 g 误，C正确。 5.甲、乙两单摆振动图像如图所示，则() ,甲 A.甲的振幅小 B.甲的摆长短 C.1时刻甲的摆角大 D.2时刻两摆球速度相同 客案BC 解相由题图可知，甲的振幅大，故选项A错误；由题图知，甲单摆的周期为T,,乙单摆的周 期为T2=2,则T:T2=2:3,由单摆周期公式T=2π ,甲、乙两单摆的摆长之此片 T甲2 三故选项B正确山时刻甲、乙两单摆的位移相等由于甲的摆长短剧甲的摆角大故选 项C正确；2时刻甲、乙两摆球均通过平衡位置，速度方向相反，则速度不同，故选项D错误。 6如图所示，一个做简谐运动的单摆(<5°基周期为工，则下列说法正确的是 () A.把摆球的质量增加一倍，其周期变小 B.把摆角变小，则周期也变小 C.此摆由O→B运动的时间为 D.摆球由B一→O时，势能向动能转化 答案CD 解标由T-2π 可知，单摆的周期T与摆球质量m无关，与摆角无关，当摆球质量与摆角发生 变化时，单摆做简谐运动的周期不变，故选项A、B错误；由平衡位置O运动到右端最大位移 处需要的时间是四分之一周期，故选项C正确：摆球由最大位移B向平衡位置O运动的过程 中，重力做正功，摆球的重力势能转化为动能，故选项D正确。 二、非选择题 7.图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置。设摆 球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像
B.乙球最先运动到圆弧最低点 C.丙球最先运动到圆弧最低点 D.三个小球同时到达圆弧最低点 答案 C 解析甲球运动可看作简谐运动,从静止运动到最低点的时间 t1= 𝑇 4 = 1 4 ×2π√ 𝑅 𝑔 = π 2 √ 𝑅 𝑔。设斜面 的倾角为 θ,对于乙球,有 2Rsin θ= 1 2 gsin θ·𝑡2 2 ,可得 t2=2√ 𝑅 𝑔 。丙球做自由落体运动,有 R=1 2 𝑔𝑡3 2 ,可得 t3=√ 2𝑅 𝑔 。则有 t2>t1>t3,则丙球最先运动到圆弧最低点,故选项 A、B、D 错 误,C 正确。 5.甲、乙两单摆振动图像如图所示,则( ) A.甲的振幅小 B.甲的摆长短 C.t1 时刻甲的摆角大 D.t2 时刻两摆球速度相同 答案 BC 解析由题图可知,甲的振幅大,故选项 A 错误;由题图知,甲单摆的周期为 T 甲= 2 3 t2,乙单摆的周 期为 T 乙=t2,则 T 甲∶T 乙=2∶3,由单摆周期公式 T=2π√ 𝑙 𝑔 得,甲、乙两单摆的摆长之比 𝑙甲 𝑙乙 = 𝑇甲 2 𝑇乙 2 = 4 9 ,故选项 B 正确;t1 时刻甲、乙两单摆的位移相等,由于甲的摆长短,则甲的摆角大,故选 项 C 正确;t2 时刻甲、乙两摆球均通过平衡位置,速度方向相反,则速度不同,故选项 D 错误。 6.如图所示,一个做简谐运动的单摆(θ<5°),其周期为 T,则下列说法正确的是 ( ) A.把摆球的质量增加一倍,其周期变小 B.把摆角变小,则周期也变小 C.此摆由 O→B 运动的时间为𝑇 4 D.摆球由 B→O 时,势能向动能转化 答案 CD 解析由 T=2π√ 𝑙 𝑔 可知,单摆的周期 T 与摆球质量 m 无关,与摆角无关,当摆球质量与摆角发生 变化时,单摆做简谐运动的周期不变,故选项 A、B 错误;由平衡位置 O 运动到右端最大位移 处需要的时间是四分之一周期,故选项 C 正确;摆球由最大位移 B 向平衡位置 O 运动的过程 中,重力做正功,摆球的重力势能转化为动能,故选项 D 正确。 二、非选择题 7.图甲是一个单摆振动的情形,O 是它的平衡位置,B、C 是摆球所能到达的最远位置。设摆 球向右运动为正方向,图乙是这个单摆的振动图像
x/cm 0.20.4060.8/1.0t/s C 甲 (1)单摆振动的频率是多大？ (2)开始时刻摆球在何位置？ (3)若当地的重力加速度为10m/s,则这个摆的摆长是多少？ 图案1)1.25z(2)B点(3)0.16m 解析1)由题图乙知周期T=0.8s 则频率∫1.25z。 (2)由题图乙知，0时刻摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以开始时刻摆球在B点。 (3)由T=2π 得1 4n2-0.16m。 拓展提高 选择题（第1~3题为单选题，第4~6题为多选题） 1.单摆做简谐运动，当铁质摆球到达最高点时，将一块小磁铁轻轻吸附在摆球上，则该单摆 () A振幅将增大 B.振动能量增大 C通过最低点时的速率增大 D.周期将增大 答案B 解析铁质摆球到达最高点时，将一块小磁铁轻轻地吸附在摆球上，由机械能守恒定律可知，摆 球还能摆回到原来的位置，所以振幅不变，选项A错误；摆球到达最低，点的速度设为ⅴ，由 mghm2得v=√2gh,h不变，v不变，可知，单摆通过最低点时的速率不变，选项C错误；由 E二之m2可知，摆球的质量增大，则经过平衡位置时的动能增大，因此振动的能量将增大，选项 B正确；由单摆的周期公式T-2π 可知，单摆摆长不变，则振动的周期不变，选项D错误。 2.如图所示，处于竖直向下的匀强电场中的摆球质量为m、半径为人、带正电荷，用长为1的 细线把摆球吊在悬点O处做成单摆，当摆角很小时，这个单摆的周期( B.T=2π C.大于2π g D.小于2π g 答案D 解析设电场强度为E,摆球的电荷量为q,当单摆所处系统中无竖直向下的匀强电场时，单摆的 周期为T-2π 1+r 当单摆处于竖直向下的匀强电场中时，其等效重力加速度为g爷数 mg+gE >g,周期T"-2π 压虹所以单摆的周期减小，即T<T=2臣故选项D正确。 9等效 g
(1)单摆振动的频率是多大? (2)开始时刻摆球在何位置? (3)若当地的重力加速度为 10 m/s2 ,则这个摆的摆长是多少? 答案(1)1.25 Hz (2)B 点 (3)0.16 m 解析(1)由题图乙知周期 T=0.8 s 则频率 f=1 𝑇 =1.25 Hz。 (2)由题图乙知,0 时刻摆球在负向最大位移处,因向右为正方向,所以开始时刻摆球在 B 点。 (3)由 T=2π√ 𝑙 𝑔 得 l=𝑔𝑇 2 4π2=0.16 m。 拓展提高 选择题(第 1~3 题为单选题,第 4~6 题为多选题) 1.单摆做简谐运动,当铁质摆球到达最高点时,将一块小磁铁轻轻吸附在摆球上,则该单摆 ( ) A.振幅将增大 B.振动能量增大 C.通过最低点时的速率增大 D.周期将增大 答案 B 解析铁质摆球到达最高点时,将一块小磁铁轻轻地吸附在摆球上,由机械能守恒定律可知,摆 球还能摆回到原来的位置,所以振幅不变,选项 A 错误;摆球到达最低点的速度设为 v , 由 mgh=1 2 mv2 得 v=√2𝑔ℎ,h 不变,v 不变,可知,单摆通过最低点时的速率不变,选项 C 错误;由 Ek= 1 2 mv2 可知,摆球的质量增大,则经过平衡位置时的动能增大,因此振动的能量将增大,选项 B 正确;由单摆的周期公式 T=2π√ 𝑙 𝑔 可知,单摆摆长不变,则振动的周期不变,选项 D 错误。 2.如图所示,处于竖直向下的匀强电场中的摆球质量为 m、半径为 r、带正电荷,用长为 l 的 细线把摆球吊在悬点 O 处做成单摆,当摆角很小时,这个单摆的周期( ) A.T=2π√ 𝑙 𝑔 B.T=2π√ 𝑙+𝑟 𝑔 C.大于 2π√ 𝑙+𝑟 𝑔 D.小于 2π√ 𝑙+𝑟 𝑔 答案 D 解析设电场强度为 E,摆球的电荷量为 q,当单摆所处系统中无竖直向下的匀强电场时,单摆的 周期为 T=2π√ 𝑙+𝑟 𝑔 ;当单摆处于竖直向下的匀强电场中时,其等效重力加速度为 g 等效 = 𝑚𝑔+𝑞𝐸 𝑚 =g+𝑞𝐸 𝑚 >g,周期 T'=2π√ 𝑙+𝑟 𝑔等效 ,所以单摆的周期减小,即 T'<T=2π√ 𝑙+𝑟 𝑔 ,故选项 D 正确
3.质量相同的甲、乙两小球用细线系于同一根水平杆上，两小球做简谐运动的图像如图所示， 则() 0.5fxcm甲 t/s -0.5 A.两小球经过平衡位置时速度一样大 B.运动过程中甲的最大回复力较大 C.两小球摆动过程中乙的最大摆角较大 D.运动过程中甲的机械能小于乙的机械能 答案B 解析由题图可知，甲、乙周期之比=甲、乙的振幅之比根据单摆周期公 A7. T=2π 甲T甲2 灯知甲、乙的摆长之空-子-片甲球摆关小振杨大所以摆动过程中甲的景大 摆角较大故选项C错误：由题图可知，甲图线在平衡位置处的斜率的绝对值较大，所以两小球 经过平衡位置时甲的速度大，故选项A错误；单摆振动的回复力F-mx,因甲的振幅大，摆长 小，所以甲的最大回复力较大，故选项B正确：因为甲的摆长小，最大摆角大，所以甲速度为0 时，位置更高，重力势能更大，机械能更大，故选项D错误。 4.将一个力传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆摆动时 悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示。某同学由此图像提供的信息作出的下列判 断正确的是( 20 8 16 14 00.20.40.60.81.01.21.4t/s A.1=0.2s时摆球正经过最低点 B.1=1.1s时摆球正经过最低点 C.摆球摆动过程中机械能不变 D.摆球摆动的周期是T=1.2s 答案AD 解桐单摆在最低点悬线拉力最大，最高点拉力最小，1=0.2s时拉力最大，摆球正经过最低点，选 项A正确，B错误，摆球摆动过程中，拉力的峰值越来越小，说明摆球在最低，点的速度越来越小 则机械能越来越小，选项C错误：摆球摆动的一个周期中经过两次最低点，从题图上看就是一 个周期中有两个波峰.所以，单摆的周期是T=1.4s0.2s=1.2s.选项D正确。 5如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平 衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10/s2,下列说法正确 的是()
3.质量相同的甲、乙两小球用细线系于同一根水平杆上,两小球做简谐运动的图像如图所示, 则( ) A.两小球经过平衡位置时速度一样大 B.运动过程中甲的最大回复力较大 C.两小球摆动过程中乙的最大摆角较大 D.运动过程中甲的机械能小于乙的机械能 答案 B 解析由题图可知,甲、乙周期之比 𝑇甲 𝑇乙 = 1 2 ,甲、乙的振幅之比 𝐴甲 𝐴乙 = 5 2 ,根据单摆周期公式 T=2π√ 𝑙 𝑔 可知,甲、乙的摆长之比 𝑙甲 𝑙乙 = 𝑇甲 2 𝑇乙 2 = 1 4 ,甲球摆长小,振幅大,所以摆动过程中甲的最大 摆角较大,故选项 C 错误;由题图可知,甲图线在平衡位置处的斜率的绝对值较大,所以两小球 经过平衡位置时甲的速度大,故选项 A 错误;单摆振动的回复力 F=- 𝑚𝑔 𝑙 x,因甲的振幅大,摆长 小,所以甲的最大回复力较大,故选项 B 正确;因为甲的摆长小,最大摆角大,所以甲速度为 0 时,位置更高,重力势能更大,机械能更大,故选项 D 错误。 4.将一个力传感器接到计算机上,就可以测量快速变化的力,用这种方法测得的某单摆摆动时 悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示。某同学由此图像提供的信息作出的下列判 断正确的是( ) A.t=0.2 s 时摆球正经过最低点 B.t=1.1 s 时摆球正经过最低点 C.摆球摆动过程中机械能不变 D.摆球摆动的周期是 T=1.2 s 答案 AD 解析单摆在最低点悬线拉力最大,最高点拉力最小,t=0.2 s 时拉力最大,摆球正经过最低点,选 项 A 正确,B 错误;摆球摆动过程中,拉力的峰值越来越小,说明摆球在最低点的速度越来越小, 则机械能越来越小,选项 C 错误;摆球摆动的一个周期中经过两次最低点,从题图上看就是一 个周期中有两个波峰,所以,单摆的周期是 T=1.4 s-0.2 s=1.2 s,选项 D 正确。 5.如图甲所示,一个单摆做小角度摆动,从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时,相对平 衡位置的位移 x 随时间 t 变化的图像如图乙所示。不计空气阻力,g 取 10 m/s2 ,下列说法正确 的是( )
↑x/cm f/c 甲 乙 A.单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=8sinπ(cm) B.单摆的摆长约1m C.从1=2.5s到1=3s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D.从1=2.5s到1=3s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小 答案AB 解韧由题图乙可知，单摆周期为T-2、则@-πrads,所以单摆的位移x随时间1变化的关 系式为x=8sinπ1(cm),故选项A正确；由单摆的周期公式T-2π 仁解得单摆的摆长为=1m, 故选项B正确：由题图乙可知，从1=2.5s到1=3s的过程中，摆球在靠近平衡位置，所以摆球的 重力势能减小，故选项C错误；由于从1=2.5s到1=3s的过程中，摆球在靠近平衡位置，所以摆 球的速度在增大，设绳子与竖直方向夹角为0，则其所受绳子的拉力为FT=Gcos+一，可见， 在此过程中0减小，V增大，所以拉力增大，故选项D错误。 6.有一摆长为I的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置时，摆线上部被小钉挡 住，使摆长发生变化。现使摆球做小幅度摆动，摆球从一端最高点摆到另一端最高点过程的闪 光照片如图所示（悬点和小钉未被摄入），P点为摆动的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间 隔相等，由此可知() A.P点左方为摆线碰到钉子后的摆动 B.P点右方为摆线碰到钉子后的摆动 C小钉与悬点的距离为好 D.每相邻两次闪光的时间间隔为5 答案AD 解析假设相邻两次闪光的时间间隔为1，在P点左方运动时的摆长设为山，在P点右方运动时 的摆长设为2，则 巨-2以5，臣4红，所以b=4h=故P点左方为摆线碰到钉子后的摆动，小红 与悬点的距离为k-h1日 ,选项A、D正确，B、C错误。 挑战创新 如图所示，小球甲自A点以指向AD方向的初速度ⅴ逐渐接近固定在D点的小球乙，己知 AB=0.8m,AB圆弧半径R-10m,lHD=10m,A、B、C、D在同一水平面上，忽略一切摩擦和空 气阻力，则v为多大时，才能使甲恰好碰到小球乙？(g取10m/s2) >D
A.单摆的位移 x 随时间 t 变化的关系式为 x=8sinπt(cm) B.单摆的摆长约 1 m C.从 t=2.5 s 到 t=3 s 的过程中,摆球的重力势能逐渐增大 D.从 t=2.5 s 到 t=3 s 的过程中,摆球所受绳子拉力逐渐减小 答案 AB 解析由题图乙可知,单摆周期为 T=2 s,则 ω= 2π 𝑇 =π rad/s,所以单摆的位移 x 随时间 t 变化的关 系式为 x=8sin πt(cm),故选项 A 正确;由单摆的周期公式 T=2π√ 𝑙 𝑔 ,解得单摆的摆长为 l=1 m, 故选项 B 正确;由题图乙可知,从 t=2.5 s 到 t=3 s 的过程中,摆球在靠近平衡位置,所以摆球的 重力势能减小,故选项 C 错误;由于从 t=2.5 s 到 t=3 s 的过程中,摆球在靠近平衡位置,所以摆 球的速度在增大,设绳子与竖直方向夹角为 θ,则其所受绳子的拉力为 FT=Gcos θ+m𝑣 2 𝑙 ,可见, 在此过程中 θ 减小,v 增大,所以拉力增大,故选项 D 错误。 6.有一摆长为 l 的单摆,悬点正下方某处有一小钉,当摆球经过平衡位置时,摆线上部被小钉挡 住,使摆长发生变化。现使摆球做小幅度摆动,摆球从一端最高点摆到另一端最高点过程的闪 光照片如图所示(悬点和小钉未被摄入),P 点为摆动的最低点,已知每相邻两次闪光的时间间 隔相等,由此可知( ) A.P 点左方为摆线碰到钉子后的摆动 B.P 点右方为摆线碰到钉子后的摆动 C.小钉与悬点的距离为𝑙 4 D.每相邻两次闪光的时间间隔为π 8 √ 𝑙 𝑔 答案 AD 解析假设相邻两次闪光的时间间隔为 t,在 P 点左方运动时的摆长设为 l1,在 P 点右方运动时 的摆长设为 l2,则 π 2 √ 𝑙1 𝑔 =2t, π 2 √ 𝑙2 𝑔 =4t,所以 l2=4l1=l,故 P 点左方为摆线碰到钉子后的摆动,小钉 与悬点的距离为 l2-l1= 3 4 l,t= π 8 √ 𝑙 𝑔 。选项 A、D 正确,B、C 错误。 挑战创新 如图所示,小球甲自 A 点以指向 AD 方向的初速度 v 逐渐接近固定在 D 点的小球乙,已知 𝐴𝐵⏜=0.8 m,AB 圆弧半径 R=10 m,lAD=10 m,A、B、C、D 在同一水平面上,忽略一切摩擦和空 气阻力,则 v 为多大时,才能使甲恰好碰到小球乙?(g 取 10 m/s2 )
鉴塞msk12,3 解析小球甲的运动是由两个分运动合成的。这两个分运动分别是以速度ⅴ在AD方向的匀 速运动和在圆孤面上的往复滑动。因为孤AB的长度远小于R,所以小球在圆孤面上的往复 滑动具有等时性，其周期为T=2元 Vg 设小球甲恰好能碰到小球乙，则有14D=1,且满足1=kTk=1,2,3,…)。联立解得v=5 n m/s(k=1,2,3,…）
答案 5 𝑘π m/s(k=1,2,3,…) 解析小球甲的运动是由两个分运动合成的。这两个分运动分别是以速度 v 在 AD 方向的匀 速运动和在圆弧面上的往复滑动。因为弧 AB 的长度远小于 R,所以小球在圆弧面上的往复 滑动具有等时性,其周期为 T=2π√ 𝑅 𝑔 设小球甲恰好能碰到小球乙,则有 lAD=vt,且满足 t=kT(k=1,2,3,…)。联立解得 v= 5 𝑘π m/s(k=1,2,3,…)