3简谐运动的回复力和能量 课后·训练提升 基础巩固 一、选择题（第1~4题为单选题，第5~7题为多选题） 1.关于简谐运动，下列说法正确的是() A.简谐运动是匀变速运动 B.简谐运动的回复力总是指向平衡位置 C.简谐运动的回复力可以是恒力 D.水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此机械能一定为零 答案B 解析简谐运动中加速度不断变化，是非匀变速运动，选项A错误；简谐运动的回复力总是与位 移反向，即指向平衡位置，选项B正确：简谐运动的回复力满足F=-G则一定是变力，选项C错 误，水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，但是速度最大，因此机械能不为零，选项D 错误。 2.做简谐运动的弹簧振子中振动物体质量为0.2kg,当它运动到平衡位置左侧20cm时受到 的回复力是4N,当它运动到平衡位置右侧40cm时，它的加速度为 （) A.20m/s2,向右 B.20m/s2,向左 C.40m/s2,向右 D.40m/s2,向左 答案D 解析因为振动物体运动到平衡位置左侧20cm时受到的回复力是4N,根据F=-:可知，当它 运动到平衡位置右侧40cm时回复力F-8N,方向向左，根据牛顿第二定律可知加速度 m=02m/s=40m/S,方向向左，选项D正确。 3.一弹簧振子在水平方向振动，则当振子远离中心位置时，逐渐增大的是() A弹性势能 B.重力势能 C动能 D机械能 答案A 解析当振子远离中心位置时，弹簧振子的形变量增大，因此弹性势能增大，选项A正确；弹簧振 子在水平方向振动，竖直高度不变，因此重力势能不变，选项B错误；当振子远离中心位置时，速 度减小，动能减小，选项C错误；由于只有弹簧弹力做功，系统的机械能守恒，选项D错误。 4.图甲为某个质点做简谐运动的x1图像，对图乙的下列判断正确的是() 2) (3) A.图(1)可作为-1图像 B.图(2)可作为F-1图像 C.图(3)可作为F-1图像 D.图(4)可作为a-1图像 答案C
3 简谐运动的回复力和能量 课后· 基础巩固 一、选择题(第 1~4 题为单选题,第 5~7 题为多选题) 1.关于简谐运动,下列说法正确的是( ) A.简谐运动是匀变速运动 B.简谐运动的回复力总是指向平衡位置 C.简谐运动的回复力可以是恒力 D.水平弹簧振子运动到平衡位置时,回复力为零,因此机械能一定为零 答案 B 解析简谐运动中加速度不断变化,是非匀变速运动,选项 A 错误;简谐运动的回复力总是与位 移反向,即指向平衡位置,选项 B 正确;简谐运动的回复力满足 F=-kx,则一定是变力,选项 C 错 误; 水平弹簧振子运动到平衡位置时,回复力为零,但是速度最大,因此机械能不为零,选项 D 错误。 2.做简谐运动的弹簧振子中振动物体质量为 0.2 kg,当它运动到平衡位置左侧 20 cm 时受到 的回复力是 4 N;当它运动到平衡位置右侧 40 cm 时,它的加速度为 ( ) A.20 m/s2 ,向右 B.20 m/s2 ,向左 C.40 m/s2 ,向右 D.40 m/s2 ,向左 答案 D 解析因为振动物体运动到平衡位置左侧 20 cm 时受到的回复力是 4 N,根据 F=-kx 可知,当它 运动到平衡位置右侧 40 cm 时回复力 F=8 N,方向向左,根据牛顿第二定律可知加速度 a= 𝐹 𝑚 = 8 0.2 m/s2=40 m/s2 ,方向向左,选项 D 正确。 3.一弹簧振子在水平方向振动,则当振子远离中心位置时,逐渐增大的是( ) A.弹性势能 B.重力势能 C.动能 D.机械能 答案 A 解析当振子远离中心位置时,弹簧振子的形变量增大,因此弹性势能增大,选项 A 正确;弹簧振 子在水平方向振动,竖直高度不变,因此重力势能不变,选项 B 错误;当振子远离中心位置时,速 度减小,动能减小,选项 C 错误;由于只有弹簧弹力做功,系统的机械能守恒,选项 D 错误。 4.图甲为某个质点做简谐运动的 x-t 图像,对图乙的下列判断正确的是( ) 甲 乙 A.图(1)可作为 v-t 图像 B.图(2)可作为 F-t 图像 C.图(3)可作为 F-t 图像 D.图(4)可作为 a-t 图像 答案 C
解析=0时刻，振子在平衡位置，速度最大且沿x轴的正方向，选项A错误。根据回复力F= 你和牛顿第二定律，加速度和回复力总与位移方向相反，且与位移大小成正比，所以选项C正 确B、D错误。 5.一质点做简谐运动的振动图像如图所示，则该质点( x/cm 345t/102s -2 A.在00.01s内，速度与加速度同向 B.在0.010.02s内，速度与回复力同向 C.在0.025s时，速度为正，加速度为正 D.在0.04s时，速度最大，回复力为零 答案AC 解析回复力、加速度与位移x始终反向，所以由x的正负就能确定加速度的正负。在x-1图 像上，图线各点切线的斜率表示该点的速度，由斜率的正负又可确定速度的正负，由此判断选 项A、C正确，B错误。在0.04s时，速度为零，加速度最大，选项D错误。 6如图所示，弹簧上面固定一质量为m的小球，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当 小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则在振动过程中( t000000000000 777777 A.小球最大动能应小于mgA B.弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变 C.弹簧最大弹性势能等于2mg4 D.小球在最低点时的弹力大于2mg 答案AC 解析小球到达平衡位置时动能最大，有mgA-m2+Ep,故小球的最大动能小于mg4,选项A正 确。简谐运动过程中机械能守恒，因此动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，选项B错 误。从最高点到最低点，重力势能全部转化为弹性势能，Epm=2mgA,选项C正确。最低，点加速 度等于最高点加速度g,据牛顿第二定律得F-mg=mg,解得F=2mg,选项D错误。 7弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，可以判定 () X A1到2时间内系统的动能不断增大，势能不断减小 B.2到3时间内动能先增大再减小 C.3时刻振子处于平衡位置处，动能最大 D.1、4时刻振子的动能、速度都相同 答案AC 解析1到2时间内，x减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，选项A正确；2到 3时间内，动能先减小后增大，选项B错误；3时刻振子位移为零，处于平衡位置，速度最大，动能 最大，选项C正确：11和4时刻振子的位移相同，即位于同一位置，其速度等大反向，动能相同，选 项D错误。 二、非选择题
解析 t=0 时刻,振子在平衡位置,速度最大且沿 x 轴的正方向,选项 A 错误。根据回复力 F=- kx 和牛顿第二定律,加速度和回复力总与位移方向相反,且与位移大小成正比,所以选项 C 正 确,B、D 错误。 5.一质点做简谐运动的振动图像如图所示,则该质点( ) A.在 0~0.01 s 内,速度与加速度同向 B.在 0.01~0.02 s 内,速度与回复力同向 C.在 0.025 s 时,速度为正,加速度为正 D.在 0.04 s 时,速度最大,回复力为零 答案 AC 解析回复力、加速度与位移 x 始终反向,所以由 x 的正负就能确定加速度的正负。在 x-t 图 像上,图线各点切线的斜率表示该点的速度,由斜率的正负又可确定速度的正负,由此判断选 项 A、C 正确,B 错误。在 0.04 s 时,速度为零,加速度最大,选项 D 错误。 6.如图所示,弹簧上面固定一质量为 m 的小球,小球在竖直方向上做振幅为 A 的简谐运动,当 小球振动到最高点时弹簧正好为原长,则在振动过程中( ) A.小球最大动能应小于 mgA B.弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变 C.弹簧最大弹性势能等于 2mgA D.小球在最低点时的弹力大于 2mg 答案 AC 解析小球到达平衡位置时动能最大,有 mgA=1 2 mv2+Ep,故小球的最大动能小于 mgA,选项 A 正 确。简谐运动过程中机械能守恒,因此动能、重力势能和弹性势能之和保持不变,选项 B 错 误。从最高点到最低点,重力势能全部转化为弹性势能,Epm=2mgA,选项 C 正确。最低点加速 度等于最高点加速度 g,据牛顿第二定律得 F-mg=mg,解得 F=2mg,选项 D 错误。 7.弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示,可以判定 ( ) A.t1 到 t2 时间内系统的动能不断增大,势能不断减小 B.t2 到 t3 时间内动能先增大再减小 C.t3 时刻振子处于平衡位置处,动能最大 D.t1、t4 时刻振子的动能、速度都相同 答案 AC 解析 t1 到 t2 时间内,x 减小,弹力做正功,系统的动能不断增大,势能不断减小,选项 A 正确;t2 到 t3 时间内,动能先减小后增大,选项 B 错误;t3 时刻振子位移为零,处于平衡位置,速度最大,动能 最大,选项 C 正确;t1 和 t4 时刻振子的位移相同,即位于同一位置,其速度等大反向,动能相同,选 项 D 错误。 二、非选择题
8.有一个弹簧的劲度系数为100Nm、小球的质量为0.5kg的弹簧振子，让其在水平方向上 的B、C之间做简谐运动。己知B、C间的距离为20cm,振子在2s内完成了10次全振 动。求 (1)振子的振幅和周期： (2)振子振动过程中处于最大位移处的加速度大小。 答案1)10cm0.2s(2)20m/s2 解标1)振子的振幅A之c=l0cm 周期7片=品s02s (2)振子振动过程中处于最大位移处的加速度大小 a共-1002m3-20m. 0.5 拓展提高 选择题（第1~4题为单选题，第5~7题为多选题） 1.如图所示，质量为m的物体A放置在质量为m的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光 滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动。设弹簧劲度系数为k,当物体离 开平衡位置的位移为x时，A受到的回复力的大小等于() B 44444404446 A.0 B.kx C.m1k D.mikx m2十m1 'm2 答案 解桐物体A和B整体做简谐运动，当物体离开平衡位置的位移为x时，回复力即为弹簧的弹 力，大小为低则以整体为研究对象有=(m1+m2a,则整体的加速度am以物体A为 研究对象，使其产生加速度的力即为物体B对物体A的静摩擦力F6因此由牛顿第二定律可 知Ff=m1a= m1:,选项A、B、D错误，C正确。 m2+m1 2.如图所示，竖直悬挂的弹簧振子做振幅为A的简谐运动，当物体到达最低点时，物体恰好掉 下一半（即物体质量减少一半），此后振动系统的振幅的变化为() 2222828482824821221 A振幅不变 B.振幅变大 C振幅变小 D.条件不够，不能确定 答案B 解析当物体到达最低点时掉下一半（即物体质量减少一半）后，新的系统将继续做简谐运动，机 械能也是守恒的，所以还会到达原来的最低点。但是，由于振动物体的质量减少，新的平衡位 置将比原来的平衡位置高，所以振幅变大，选项B正确。 3.如图所示，弹簧的一端固定，另一端与质量为m的物体B相连，质量为m1的物体A放在B 上，m2=2m1。A、B两物体一起在光滑水平面上的N、M之间做简谐运动，运动过程中A、B 之间无相对运动，O是平衡位置。已知当两物体运动到N时，弹簧的弹性势能为E,则它们由 N运动到O的过程中，摩擦力对A做的功等于( B
8.有一个弹簧的劲度系数为 100 N/m、小球的质量为 0.5 kg 的弹簧振子,让其在水平方向上 的 B、C 之间做简谐运动。已知 B、C 间的距离为 20 cm,振子在 2 s 内完成了 10 次全振 动。求: (1)振子的振幅和周期; (2)振子振动过程中处于最大位移处的加速度大小。 答案(1)10 cm 0.2 s (2)20 m/s2 解析(1) 振子的振幅 A=1 2 lBC=10 cm 周期 T=𝑡 𝑛 = 2 10 s=0.2 s。 (2) 振子振动过程中处于最大位移处的加速度大小 am= 𝑘𝐴 𝑚 = 100×0.1 0.5 m/s2=20 m/s2。 拓展提高 选择题(第 1~4 题为单选题,第 5~7 题为多选题) 1.如图所示,质量为 m1 的物体 A 放置在质量为 m2 的物体 B 上,B 与弹簧相连,它们一起在光 滑水平面上做简谐运动,振动过程中 A、B 之间无相对运动。设弹簧劲度系数为 k,当物体离 开平衡位置的位移为 x 时,A 受到的回复力的大小等于( ) A.0 B.kx C. 𝑚1 𝑚2+𝑚1 kx D. 𝑚1 𝑚2 kx 答案 C 解析物体 A 和 B 整体做简谐运动,当物体离开平衡位置的位移为 x 时,回复力即为弹簧的弹 力,大小为 kx,则以整体为研究对象有 kx=(𝑚1 + 𝑚2 )a,则整体的加速度 a= 𝑘𝑥 𝑚1+𝑚2 ;以物体 A 为 研究对象,使其产生加速度的力即为物体 B 对物体 A 的静摩擦力 Ff,因此由牛顿第二定律可 知 Ff=m1a= 𝑚1 𝑚2+𝑚1 kx,选项 A、B、D 错误,C 正确。 2.如图所示,竖直悬挂的弹簧振子做振幅为 A 的简谐运动,当物体到达最低点时,物体恰好掉 下一半(即物体质量减少一半),此后振动系统的振幅的变化为( ) A.振幅不变 B.振幅变大 C.振幅变小 D.条件不够,不能确定 答案 B 解析当物体到达最低点时掉下一半(即物体质量减少一半)后,新的系统将继续做简谐运动,机 械能也是守恒的,所以还会到达原来的最低点。但是,由于振动物体的质量减少,新的平衡位 置将比原来的平衡位置高,所以振幅变大,选项 B 正确。 3.如图所示,弹簧的一端固定,另一端与质量为 m2 的物体 B 相连,质量为 m1 的物体 A 放在 B 上,m2=2m1。A、B 两物体一起在光滑水平面上的 N、M 之间做简谐运动,运动过程中 A、B 之间无相对运动,O 是平衡位置。已知当两物体运动到 N 时,弹簧的弹性势能为 Ep,则它们由 N 运动到 O 的过程中,摩擦力对 A 做的功等于( )
A.Ep B.Ep C-Eo D., 答案 解析整体做简谐运动，则弹簧在W点的弹性势能等于整体运动到O点的动能，即 Epm1+m),而此过程中摩擦力对A做的功等于m1,因m-2m,所以摩擦力对A做的功 为号，选项C正确。 4.如图所示弹簧下面挂一质量为m的物体物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动。当物 体振动到最高点时，弹簧正好处于原长，则物体在振动过程中() 0Tmmm00m00000m! A弹簧的弹性势能和物体动能总和不变 B.物体在最低点时的加速度大小应为2g C.物体在最低点时所受弹簧的弹力大小应为g D.弹簧的最大弹性势能等于2mgA 答案D 解析系统机械能守恒，动能、重力势能、弹性势能总量不变，振动过程中重力势能一直变化， 弹簧的弹性势能和物体动能总和一直变化，故选项A错误：根据振动对称性，最低点与最高点 关于平衡位置对称，最低，点时弹簧形变量为2A,弹力为k2A,弹力与重力的合力为k2A- mg=mg,方向向上，加速度为8，故选项B错误；最低点时弹簧形变量为24A,弹力为k2A=2mg,故 选项C错误：振动最低点，弹簧的弹性势能最大，系统机械能守恒，重力势能转化为弹性势 能，Ep=2mgA,故选项D正确。 5.如图所示，一竖直放置的轻弹簧下端固定在水平地面上，质量为m的小球从弹簧正上方高为 h处自由下落到弹簧上端A点.，然后压缩弹簧到最低点C。若小球放在弹簧上可静止在B点 (B点未画出)，小球运动过程中空气阻力忽略不计，则下列说法正确的是 () A A.B点位于AC连线中点的上方 B.B点位于AC连线中点的下方 C.小球在A点的回复力等于g D.小球在C点的回复力大于mg 答案ACD 解析小球放在弹簧上，可以静止于B点，则B点为平衡位置；若小球从A点由静止释放，压缩弹 簧到最低点C,平衡位置在A点和C点的中点：而小球从弹簧的正上方自由下落，C点需下移， 但是平衡位置不变，可知B点位于AC连线中点的上方，故选项A正确B错误。小球在A点 所受弹力为零，则小球在A点所受的合力为mg,即回复力为mg,故选项C正确。若小球从A 点静止释放，到达C点时，加速度与A点对称，大小为g,但是C点所处的位置在A点关于平衡 位置对称点的下方，则小球在C点的回复力大于mg,故选项D正确。 6.如图所示，物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为%和2，且k=k,k=2k两弹簧均处于 自然状态。现在向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置（不计阻力）。设 向右为正方向，物体相对O点的位移为x,则下列判断正确的是()
A.Ep B. 1 2 Ep C. 1 3 Ep D. 1 4 Ep 答案 C 解析整体做简谐运动,则弹簧在 N 点的弹性势能等于整体运动到 O 点的动能,即 Ep= 1 2 (m1+m2)v 2 ,而此过程中摩擦力对 A 做的功等于1 2 m1v 2 ,因 m2=2m1,所以摩擦力对 A 做的功 为 𝐸p 3 ,选项 C 正确。 4.如图所示,弹簧下面挂一质量为 m 的物体,物体在竖直方向上做振幅为 A 的简谐运动。当物 体振动到最高点时,弹簧正好处于原长,则物体在振动过程中( ) A.弹簧的弹性势能和物体动能总和不变 B.物体在最低点时的加速度大小应为 2g C.物体在最低点时所受弹簧的弹力大小应为 mg D.弹簧的最大弹性势能等于 2mgA 答案 D 解析系统机械能守恒,动能、重力势能、弹性势能总量不变,振动过程中重力势能一直变化, 弹簧的弹性势能和物体动能总和一直变化,故选项 A 错误;根据振动对称性,最低点与最高点 关于平衡位置对称,最低点时弹簧形变量为 2A,弹力为 k·2A,弹力与重力的合力为 k·2Amg=mg,方向向上,加速度为 g,故选项 B 错误;最低点时弹簧形变量为 2A,弹力为 k·2A=2mg,故 选项 C 错误;振动最低点,弹簧的弹性势能最大,系统机械能守恒,重力势能转化为弹性势 能,Ep=2mgA,故选项 D 正确。 5.如图所示,一竖直放置的轻弹簧下端固定在水平地面上,质量为 m 的小球从弹簧正上方高为 h 处自由下落到弹簧上端 A 点,然后压缩弹簧到最低点 C。若小球放在弹簧上可静止在 B 点 (B 点未画出),小球运动过程中空气阻力忽略不计,则下列说法正确的是 ( ) A.B 点位于 AC 连线中点的上方 B.B 点位于 AC 连线中点的下方 C.小球在 A 点的回复力等于 mg D.小球在 C 点的回复力大于 mg 答案 ACD 解析小球放在弹簧上,可以静止于 B 点,则 B 点为平衡位置;若小球从 A 点由静止释放,压缩弹 簧到最低点 C,平衡位置在 A 点和 C 点的中点;而小球从弹簧的正上方自由下落,C 点需下移, 但是平衡位置不变,可知 B 点位于 AC 连线中点的上方,故选项 A 正确,B 错误。小球在 A 点 所受弹力为零,则小球在 A 点所受的合力为 mg,即回复力为 mg,故选项 C 正确。若小球从 A 点静止释放,到达 C 点时,加速度与 A 点对称,大小为 g,但是 C 点所处的位置在 A 点关于平衡 位置对称点的下方,则小球在 C 点的回复力大于 mg,故选项 D 正确。 6.如图所示,物体系在两弹簧之间,弹簧劲度系数分别为 k1 和 k2,且 k1=k,k2=2k,两弹簧均处于 自然状态。现在向右拉动物体,然后释放,物体在 B、C 间振动,O 为平衡位置(不计阻力)。设 向右为正方向,物体相对 O 点的位移为 x,则下列判断正确的是( )
P00000000H 00000000 7777 A.物体做简谐运动，loC=loB B.物体做简谐运动，loc≠loB C.物体所受合力F=-kc D.物体所受合力F=-3kx 答案AD 解析物体的位移为x,则物体所受的合力F=-k1x-kx=-(+k)x=-3k,选项D正确，C错误；可见 物体做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可知l0C=lOB,选项A正确，B错误。 7.如图所示，一个质量为m=1kg的小球连接在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定在天花板 上，该弹簧的劲度系数k-100N/m,弹簧的弹性势能与弹簧形变量的关系为E-x2。用手把 小球向上托起，弹簧恢复原长时，由静止释放小球，忽略空气阻力，g取10m/s2,小球会在竖直方 向上来回振动。下列说法正确的是( ○W G-0 -M A.小球速度最大时，弹簧处于原长 B.小球运动到最低点时，弹簧弹性势能是1J C.以最低点为重力势能的零势能点，小球运动到最高点时重力势能为2J D.小球的最大速度是1m/s 答案CD 解析小球速度最大时，弹簧的弹力等于小球的重力，则弹簧不处于原长位置，选项A错误；小球 在平衡位置时弹簧的伸长量x吧=品m0.1m,小球运动到最低点，弹性势能等手重力势 能的减小量，即E=mg2x=10×0.2J=2J,选项B错误；以最低点为重力势能的零势能点，小球 运动到最高点时重力势能为Ep=mg2x=10×0.2J=2J,选项C正确；小球在平衡位置速度最大， 则由能量守恒得mgr=E'+之mm2,其中E'E=0.5J,解得小球的最大速度是m-lm/s, 选项D正确。 挑战创新 如图所示，倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为 k、自然长度为1的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长 度为时将物块由静止开始释放（物块做简谐运动），且物块在以后的运动中，斜面体始终处于 静止状态。重力加速度为g。 (1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度。 (2)物块做简谐运动的振幅是多少？ (3)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示物块相对于平 衡位置的位移，证明物块做简谐运动。（已知做简谐运动的物体所受的回复力满足F=-) 答案1)l4 ngsina (2严+号(3)见解析 k 解析(I)物块平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力。根据平衡条件，有mgsin a=k△x 解得△m2,故弹黄的长度为149. k
A.物体做简谐运动,lOC=lOB B.物体做简谐运动,lOC≠lOB C.物体所受合力 F=-kx D.物体所受合力 F=-3kx 答案 AD 解析物体的位移为 x,则物体所受的合力 F=-k1x-k2x=-(k2+k1)x=-3kx,选项 D 正确,C 错误;可见 物体做的是简谐运动,由简谐运动的对称性可知 lOC=lOB,选项 A 正确,B 错误。 7.如图所示,一个质量为 m=1 kg 的小球连接在轻质弹簧的一端,弹簧的另一端固定在天花板 上,该弹簧的劲度系数 k=100 N/m,弹簧的弹性势能与弹簧形变量的关系为 E=1 2 kx2。用手把 小球向上托起,弹簧恢复原长时,由静止释放小球,忽略空气阻力,g 取 10 m/s2 ,小球会在竖直方 向上来回振动。下列说法正确的是( ) A.小球速度最大时,弹簧处于原长 B.小球运动到最低点时,弹簧弹性势能是 1 J C.以最低点为重力势能的零势能点,小球运动到最高点时重力势能为 2 J D.小球的最大速度是 1 m/s 答案 CD 解析小球速度最大时,弹簧的弹力等于小球的重力,则弹簧不处于原长位置,选项 A 错误;小球 在平衡位置时弹簧的伸长量 x= 𝑚𝑔 𝑘 = 10 100 m=0.1 m,小球运动到最低点,弹性势能等于重力势 能的减小量,即 E 弹=mg·2x=10×0.2 J=2 J,选项 B 错误;以最低点为重力势能的零势能点,小球 运动到最高点时重力势能为 Ep=mg·2x=10×0.2 J=2 J,选项 C 正确;小球在平衡位置速度最大, 则由能量守恒得 mgx=E 弹'+1 2 𝑚𝑣m 2 ,其中 E 弹'=1 4 E 弹=0.5 J,解得小球的最大速度是 vm=1 m/s, 选项 D 正确。 挑战创新 如图所示,倾角为 α 的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上,斜面顶端与劲度系数为 k、自然长度为 l 的轻质弹簧相连,弹簧的另一端连接着质量为 m 的物块。压缩弹簧使其长 度为3 4 l 时将物块由静止开始释放(物块做简谐运动),且物块在以后的运动中,斜面体始终处于 静止状态。重力加速度为 g。 (1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度。 (2)物块做简谐运动的振幅是多少? (3)选物块的平衡位置为坐标原点,沿斜面向下为正方向建立坐标系,用 x 表示物块相对于平 衡位置的位移,证明物块做简谐运动。(已知做简谐运动的物体所受的回复力满足 F=-kx) 答案(1)l+𝑚𝑔sin𝛼 𝑘 (2)𝑚𝑔sin𝛼 𝑘 + 𝑙 4 (3)见解析 解析(1)物块平衡时,受重力、支持力和弹簧的弹力。根据平衡条件,有 mgsin α=kΔx 解得 Δx= 𝑚𝑔sin𝛼 𝑘 ,故弹簧的长度为 l+𝑚𝑔sin𝛼 𝑘
(2)物块做简谐运动的振幅为 A=Axm严+子 k (3)物块到达平衡位置下方x位置时，弹力为 k(x+Ax)=kx+mgsina k 故合力为 F-mgsin a-k(xmgsina--kx 所以物块做简谐运动
(2)物块做简谐运动的振幅为 A=Δx+1 4 l=𝑚𝑔sin𝛼 𝑘 + 𝑙 4 。 (3)物块到达平衡位置下方 x 位置时,弹力为 k(x+Δx)=k(𝑥 + 𝑚𝑔sin𝛼 𝑘 ) 故合力为 F=mgsin α-k(𝑥 + 𝑚𝑔sin𝛼 𝑘 )=-kx 所以物块做简谐运动