元二次方程 根与系数的关系
一元二次方程 根与系数的关系
元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) 方程的判别式 2 当△>0时,方程才有解,可以角求根公 式写出它的根 求根公式 b±√b2-4ac 2a
一元二次方程的一般形式 方程的判别式 当∆＞０时，方程才有解，可以用求根公 式写出它的根 求根公式 ( ) 2 ax bx c a + + = 0 0 2 = − b ac 4 2 4 2 b b ac x a − − =
X +x MX x2+5x+6=0 55 -99 6 2x2+5x-3=0 2 6x2+x-2=0 2 3 请大家再仔细的观察这张表,能不能发现 x+x2,x1x2与方程的系数有什么关系
1 2 x x + 2 x x + + = 5 6 0 2 2 5 3 0 x x + − = 2 6 2 0 x x + − = 5 5 2 1 6 − − 6 3 2 1 3 − − 5 1 5 2 1 6 − − − − 6 1 3 2 2 6 − − 请大家再仔细的观察这张表,能不能发现 , 与方程的系数有什么关系 1 2 x x + 1 2 x x 1 2 x x
两根之和等于一次项系数除以二次项系数的 商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项 系数所得的商 请根据以上的观察发现进一步猜想:方 程x2+b+c=0(a0)的x+x2xx与 系数a,b,c的关系 r +r xi2 这种关系是这几个方程所特有的还是对 于任意的一元二次方程都适合的呢?
两根之和等于一次项系数除以二次项系数的 商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项 系数所得的商. 请根据以上的观察发现进一步猜想:方 程 ax²+bx+c=0(a≠0)的 , 与 系数a,b,c的关系 . = ― ─ = ─ 这种关系是这几个方程所特有的还是对 于任意的一元二次方程都适合的呢？ a 1 2 b c x x + 1 2 x x + a 1 2 x x 1 2 x x
ax2+bx+c=0(a≠0)中 b+√b2-4ac b-√b2-4ac XI 2a 2a b+√b2-4ac-b-√b2-4ac X +x 2a 2a b+√b2-4ac-b-√b2-4ac 26 b 2a a
2 2 4 4 2 2 b b ac b b ac a a − + − − − − = + 2 ax bx c a + + = 0( 0)中 2 2 4 4 2 b b ac b b ac a − + − − − − = 2 2 b a − = b a = − 1 2 + x x 2 2 1 2 4 4 , 2 2 b b ac b b ac x x a a − + − − − − = =
b+√b2-4aC-b-√b2-4ac 2 2a 2a (-b)2-(√b2-4ac) C \_4ac 4ac 4 2
1 2 x x 2 2 4 4 2 2 b b ac b b ac a a − + − − − − = • 2 2 2 2 ( ) ( 4 ) 4 b b ac a − − − = 2 2 2 ( 4 ) 4 b b ac a − − = 2 4 4 ac a = c a =
对任意的一元二次方程,它的两 根之和与两根之积与方程的系数都有这 样的关系存在,就是 b X+x 2 MiX 此定理是法国数学家 韦达首先发现的,也 称为韦达定理
对任意的一元二次方程，它的两 根之和与两根之积与方程的系数都有这 样的关系存在，就是 b a = − c a 1 2 = x x + 1 2 x x 此定理是法国数学家 韦达首先发现的，也 称为韦达定理
例:已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求 它的另一根及k的值 解:设另一根为x,根据跟与系数的关系可 知 6 2x= 5,得到 3 k 2 55 k=-5(2--)=-7
例：已知方程５x²+kx-6=0的一个根是２，求 它的另一根及 k的值． 解：设另一根为x,根据跟与系数的关系 可 知 ，得到 6 2 5 x = − 3 5 x = − 3 2 5 5 k − = − 3 5(2 ) 7 5 k = − − = −
例2不解方程,求方程2x2+3x-1=0的两 个根的(1)平方和(2)倒数和 解:设方程的两个根是x1x2那么 3 1+x2=-2X1.x2=2 (1)∵(x1+x2)2=x 2+2X1X2+X2 x12+x。2= (x1+x2)2-2x1 32 13 2 4 X1+Ⅹ (2) X1 X X1。Ⅹ
解：设方程的两个根是x1 x2那么 x1+x2 =-— x1.x2 =-—. 3 2 2 1 例2 不解方程，求方程2x 2+3x-1=0的两 个根的（1）平方和 （2）倒数和 （1）∵（x1+x2）2=x1 2+2x1.x2 + x2 2 ∴ x1 2+x2 2 = （x1+x2）2 - 2x1.x2 =（-—）2-2（-—）=— 3 2 2 1 13 4 （2）—+— = ———— = ———1 =3 x1 1 x1.x2 x1+x2 x2 1 2 2 3
小结 元二次方程根与系数的关系 两根之和等于一次项系数除以二次项 系数的商的相反数,两根之积等于常数项除 以二次项系数所得的商 b x1+x2= Kx
小结 一元二次方程根与系数的关系 两根之和等于一次项系数除以二次项 系数的商的相反数,两根之积等于常数项除 以二次项系数所得的商. b a = − c a x x 1 2 + x x1 2 =