164角的平分线 教学目标 使学生掌握角平分线定理及其逆定理,培养学生探索知识的能力 2使学生了解能利用角平分线定理及其逆定理证明角或线段相等。 3渗透点的集合的数学思想。从事物特殊性入手,总结归纳事物的一般性。体现在研究问 题时注意纯粹性与完备性,准确、全面地思考问题。 教学重点和难点 1.重点:(1)角平分线的性质和判定。(2)点到角的边的距离要强调垂直关系 2.难点:(1)分清文字命题中的题设(已知)和结论,掌握证明题格式。(2)把角平分 线看作点的集合。 教学方法 引导学生发现、探索、研究问题,归纳结论的方法 四、教学手段 利用投影仪、教具(等腰三角形纸片)使教学反馈速度快、直观
16.4 角的平分线 一、教学目标 1.使学生掌握角平分线定理及其逆定理，培养学生探索知识的能力。 2.使学生了解能利用角平分线定理及其逆定理证明角或线段相等。 3.渗透点的集合的数学思想。从事物特殊性入手，总结归纳事物的一般性。体现在研究问 题时注意纯粹性与完备性，准确、全面地思考问题。 二、教学重点和难点 1.重点：（1）角平分线的性质和判定。（2）点到角的边的距离要强调垂直关系。 2.难点：（1）分清文字命题中的题设（已知）和结论，掌握证明题格式。（2）把角平分 线看作点的集合。 三、教学方法 引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法。 四、教学手段 利用投影仪、教具（等腰三角形纸片）使教学反馈速度快、直观
五、教学过程 复习提问 1角平分线的概念,角平分线与三角形的角平分线的区别和联系。 2点到直线(或射线)距离的意义。 (二)引入新课 第一册已经介绍过角的平分线的概念,那么它有什么重要性质呢?怎样找到这个角的平分 线?同学们首先看(教具) (1)有一张剪好的纸片,怎样找这个角的平分线?(引导学生回答)。 (2)大家知道,只要把纸片对折,使角的两边叠合在一起,把纸片展开后的折痕就是这 个角的平分线,如图3-48。如果我们把对折的纸片继续折一次,然后把纸片展开,就会 出现两条折痕,如图3-49中的PM和PN,不难发现,这两条折痕的长相等,而且这种等 长的折痕我们可以找出无数对。由此可见,角的平分线除了有平分角的性质,还有其它的 性质,这节我们就来研究这个问题
五、教学过程 （一）复习提问 1.角平分线的概念，角平分线与三角形的角平分线的区别和联系。 2.点到直线（或射线）距离的意义。 （二）引入新课 第一册已经介绍过角的平分线的概念，那么它有什么重要性质呢？怎样找到这个角的平分 线？同学们首先看（教具）。 （1）有一张剪好的纸片，怎样找这个角的平分线？（引导学生回答）。 （2）大家知道，只要把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把纸片展开后的折痕就是这 个角的平分线，如图3－48。如果我们把对折的纸片继续折一次，然后把纸片展开，就会 出现两条折痕，如图3－49中的PM和PN，不难发现，这两条折痕的长相等，而且这种等 长的折痕我们可以找出无数对。由此可见，角的平分线除了有平分角的性质，还有其它的 性质，这节我们就来研究这个问题
(三)讲解新课 定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 要向学生讲明,证明这个定理,首先要分清题设和结论,既为写已知、求证做准备,又为 引入逆命题及讨论原、逆命题的关系打基础,然后把条件和结论具体化,符号化,写出已 知、求证和证明。 题设:一个点在一个角的平分线上。 结论:它到角的两边的距离相等。 已知:OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥⊥OB,垂足分别是D、E, 如图3-50) 图3-50
（三）讲解新课 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 要向学生讲明，证明这个定理，首先要分清题设和结论，既为写已知、求证做准备，又为 引入逆命题及讨论原、逆命题的关系打基础，然后把条件和结论具体化，符号化，写出已 知、求证和证明。 题设：一个点在一个角的平分线上。 结论：它到角的两边的距离相等。 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥⊥OB，垂足分别是D、E，（ 如图3－50）
求证:PD=PE。 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB(已知), ∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)。 在△PDO和△PEO中, PDO=∠PEO(已知), ∠AOC=∠BOC(已知), OP=OP(公共边), △PDO≌△PEO(AAS)。 图3-51 ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)。 定理应用所具备的条件和定理的作用:条件有三个,角的平分线,点在该平分线上,垂直 距离。作用是证明线段相等。 如图3-51,填写使BC=BD成立所需的条件 BC=BD
求证：PD＝PE。 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）。 在△PDO和△PEO中， ∠PDO＝∠PEO（已知）， ∠AOC＝∠BOC（已知）， OP＝OP（公共边）， ∴△PDO≌△PEO（AAS）。 ∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）。 定理应用所具备的条件和定理的作用：条件有三个，角的平分线，点在该平分线上，垂直 距离。作用是证明线段相等。 如图3－51，填写使BC＝BD成立所需的条件： ， BC＝BD
猜想图3-51中,由BC⊥AC于点C,BD⊥AD于点D,BC=BD,可以得到什么结论? 用文字语言概括上述猜想,并说明这个命题与定理1有什么联系与区别? 定理2到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。 引导学生分析条件、结论,画出图形,写出已知、求证和证明。 已知:PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=PE,如图3-52 求证:点P在∠AOB的平分线上 证明:经过点P作射线OC。 ∵PD⊥OA,PE⊥OB(已知), ∠PDO=∠PEO=90°(垂直定义) 在Rt△PDO和Rt△PEO中, OP=OP(公共边) PD=PE(已知), ∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL) .∠AOC=∠BOC(全等三角形的对应角相等) ∴OC是∠AOB的平分线
猜想图3－51中，由BC⊥AC于点C，BD⊥AD于点D，BC＝BD，可以得到什么结论？ 用文字语言概括上述猜想，并说明这个命题与定理1有什么联系与区别？ 定理2 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 引导学生分析条件、结论，画出图形，写出已知、求证和证明。 已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD＝PE，如图3－52。 求证：点P在∠AOB的平分线上。 证明：经过点P作射线OC。 ∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直定义）。 在Rt△PDO和Rt△PEO中， OP＝OP（公共边）， PD＝PE（已知）， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。 ∴∠AOC＝∠BOC（全等三角形的对应角相等）。 ∴OC是∠AOB 的平分线
想一想 在一个角的内部,除角平分线上的点以外,还能找到“到角的两边距离相等”的点吗?为 什么? 在角平分线上,是否有“到角的两边距离不相等的点”呢?为什么? 由定理1、2可知,在一个角内,到角的两边距离相等的点,都在这个角的平分线上;反过 来,角的平分线上的点到角的两边距离相等。于是得到下面的结论: 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 此结论为以后研究轨迹打下基础。 例:已知:如图3-53,四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥DC,B、D为垂足,线段AC平 分∠C,求证:BC=DC 分析:要证BC=DC,须证点C在∠A平分线上, 须证∠1=∠2,即证90°-∠3=90°-∠4,这由已知条件线段AC平分∠C便可得证(利 用投影仪)
想一想： 在一个角的内部，除角平分线上的点以外，还能找到“到角的两边距离相等”的点吗？为 什么？ 在角平分线上，是否有“到角的两边距离不相等的点”呢？为什么？ 由定理1、2可知，在一个角内，到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上；反过 来，角的平分线上的点到角的两边距离相等。于是得到下面的结论： 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 此结论为以后研究轨迹打下基础。 例：已知：如图3－53，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，B、D为垂足，线段AC平 分∠C，求证：BC＝DC。 分析：要证BC＝DC，须证点C在∠A平分线上， 须证∠1＝∠2，即证90°－∠3＝90°－∠4，这由已知条件线段AC平分∠C便可得证（利 用投影仪）
小结 (1)定理1是角平分线的性质定理,只要证出一射线是某角的平分线,就可知道它上面的 点到角的两边距离相等,利用它可以证明线段相等;定理2是角平分线的判定定理,只要 证出一个点到角的两边距离相等,就可以判定该点与顶点联线是这个角的平分线,利用它 可以证明角相等。 (2)用这两个定理,一定具备两个垂直距离(即点到直线的距离)。证明过程中要直接 应用这两个定理,而不要去寻找全等三角形(这样作实际是重新证了一次定理) (四)作业
小结： （1）定理1是角平分线的性质定理，只要证出一射线是某角的平分线，就可知道它上面的 点到角的两边距离相等，利用它可以证明线段相等；定理2是角平分线的判定定理，只要 证出一个点到角的两边距离相等，就可以判定该点与顶点联线是这个角的平分线，利用它 可以证明角相等。 （2）用这两个定理，一定具备两个垂直距离（即点到直线的距离）。证明过程中要直接 应用这两个定理，而不要去寻找全等三角形（这样作实际是重新证了一次定理）。 （四）作业