第12章质点系动量矩定理 口动量矩 D 口动量矩定理 D 口刚体定轴转动微分方程 D 口质点系相对质心的动量矩定理 ☒ 口刚体平面运动微分方程 口讨论 周
第12章 质点系动量矩定理 □ 动量矩定理 □ 刚体定轴转动微分方程 □ 讨论 □质点系相对质心的动量矩定理 □ 刚体平面运动微分方程 □ 动量矩
§3.刚体定轴转动的微分方程 将质点系的动量矩定理 dHz=氵 Mz dt 及定轴转动的动量矩 H.=J0 应用于刚体定轴转动的情形，有： d(J2)=>M dt J,e=M2或J0=∑M 即为刚体定轴转动的微分方程。 与质心运动定理 Mac=∑F 比较之
§3. 刚体定轴转动的微分方程 将质点系的动量矩定理 z z dt d M H = 应用于刚体定轴转动的情形，有： 及定轴转动的动量矩 Hz = J z z z dt d( ) M J = z z z z J = M 或 J = M 即为刚体定轴转动的微分方程。 与质心运动定理 a = F 比较之。 M C
§4.刚体平面运动的微分方程 刚体的平面运动可以分解为随任选基点的平动和绕该基点的 转动。这里，以质点系的质心C为基点，则随质心C的平动用质心 运动定理、绕质心C的转动用相对于质心的动量矩定理，即得刚体 平面运动的微分方程： Mao=ΣF dHc=ZMc dt 其投影式为： M。=∑X Ma=∑F M。=∑Y 或： Mad=∑F, Jc&=∑MC Jc&=∑MC
§4. 刚体平面运动的微分方程 刚体的平面运动可以分解为随任选基点的平动和绕该基点的 转动。 这里，以质点系的质心C为基点，则随质心C的平动用质心 运动定理、绕质心C的转动用相对于质心的动量矩定理，即得刚体 平面运动的微分方程： = MC = = C C C J My Y Mx X C C n J = M = = Ma F Ma F c n c MaC = F C C dt d M H = 其投影式为： 或：
例：如图所示，两均质圆轮半径分别为ra和rB,重为P和PB,鼓轮 B上作用主动力偶矩M,求B轮从静止开始转过φ角时的角速度Q及 支座B处的反力。 解：①、分析所给系统的构成及各部分作何种运 M 动，一般应拆开分别研究。 ②、先研究B,作受力图： 作定轴转动，列动力学 方程： =∑MB A B =M-T-IB (1) ③.再研究A,作受力图 作平面运动，列动力学 方程：M代c=∑X Mc=∑Y Pa-F+T-P sin c (2) Jce=∑Mc --Fr (3)
例：如图所示，两均质圆轮半径分别为rA和rB ，重为PA和PB ，鼓轮 B上作用主动力偶矩M，求B轮从静止开始转过φ角时的角速度ωB及 支座B处的反力。 α B A M PA PB 解：①、分析所给系统的构成及各部分作何种运 动，一般应拆开分别研究。 ②、先研究B，作受力图： YB XB T 作定轴转动，列动力学 方程： B = MB B J B = M −Tr （1） εB ③.再研究A，作受力图： N T F εA 作平面运动，列动力学 方程： = MC = = C C C J My Y Mx X a = F + T − P sin g P A A A A A FrA J = − （2） （3） x y
再列补充方程一一般为运动学关系： TAEA -aA (4) TAEA TBEB (5) 以上5个未知量均可求解。从中解出为常量，则有： @o+28p M 欲求支座反力，则需对轮B列质心运动定理T M优c=∑X PE0=Xn-Tcosa. (6) 8 Mc=ΣY BA0=卫2P。-Tsm0 (7) X
再列补充方程—— 一般为运动学关系： A A A r = a A A B B r = r （4） （5） 以上5个未知量均可求解。从中解出εB为常量，则有： = + B 2 0 2 B 2 欲求支座反力，则需对轮B列质心运动定理： My Y Mx X C C = = = − − = − P Tsin Tcos B B B B B 0 Y g P 0 X g P （6） （7） B M PB YB XB T x y
实际上，动量矩定理除了对固定点O、固定轴z、质心C可以取 矩外，还可以对瞬心P取矩，但是要求瞬心P到质心C的距离保持为 常量，其公式的形式不变。 oB=∑M 固定点 JE=∑M Z: 固定轴 JC8=∑M C: 质心 JpB=∑Mp P. 瞬心，要求PC=常量 在圆轮作纯滚动及椭圆规机构中， 此式显得特别方便
实际上，动量矩定理除了对固定点O、固定轴z、质心C可以取 矩外，还可以对瞬心P取矩，但是要求瞬心P到质心C的距离保持为 常量，其公式的形式不变。 JO = MO Jz = Mz JC = MC JP = MP O： 固定点 z： 固定轴 C： 质心 P： 瞬心，要求PC=常量 在圆轮作纯滚动及椭圆规机构中， 此式显得特别方便
例题 水平杆AB长为2，可绕铅垂轴z 转动，其两端各用铰链与长为L 的杆AC及BD相连，杆端各联 结重为P的小球C和D。起初两 Aea业a 小球用细线相连，使杆AC与 BD均为铅垂，系统绕z轴的角 速度为®。。如某瞬时此细线 拉断后，杆AC与BD各与铅垂 线成角0，如图所示。不计 各杆重量，求这时系统的角速 度
例 题 水平杆AB长为2a,可绕铅垂轴z 转动，其两端各用铰链与长为l 的杆AC及BD相连，杆端各联 结重为P的小球C和D。起初两 小球用细线相连，使杆AC与 BD均为铅垂，系统绕z 轴的角 速度为 。如某瞬时此细线 拉断后，杆AC与BD各与铅垂 线成角 ，如图所示。不计 各杆重量，求这时系统的角速 度 。 0
解：系统所受外力有小球的重 力及轴承的约束力，这些力对z 轴之矩都等于零。所以系统对z 轴的动量矩守恒。 即∑M,(F)=0,L,=常数 开始时系统的动量矩为 Laagun 2o g 细线拉断后的动量矩为 L2=2(a+1sim0)'0 由L1=L2，有 2营ra-a+liam8re 由此求出细线拉断后的角速度 23 (a+lsin
解：系统所受外力有小球的重 力及轴承的约束力，这些力对z 轴之矩都等于零。所以系统对z 轴的动量矩守恒。 即 ( ) 0 ， = 常数 e M z F = Lz 开始时系统的动量矩为 0 2 1 0 2 2 a g P a a g P Lz = = 细线拉断后的动量矩为 2 2 2 ( a l sin ) g P Lz = + 由 Lz1 = Lz2 ，有 2 0 2 2 2 ( a l sin ) g P a g P = + 由此求出细线拉断后的角速度 2 0 2 ( sin ) a l a + =
练习：求单摆的运动方程（摆角很小） 研究小球 -Σ d(v）=-mglp d[m(pl)! dt dt =-mglo mPo=-mglo 平衡位置 0+op=0 (o=g11)
求单摆的运动方程(摆角很小) 2 ml = −mgl = ( ) d d e O O M F t L d( ) d mvl mgl t = − d[ ( ) ] d m l l mgl t = − o mg T 练习: ( / ) 0 2 2 g l n n = + = 研究小球
例半径为r,质量为m的均质圆轮沿水平 直线滚动，如图所示。设轮的惯性半径为，作用 于轮的力偶矩为M。求轮心的加速度。如果圆轮对 地面的滑动摩擦因数为f问力偶M必须符合什么条 件不致使圆轮滑动？ mg F 23:07 10
例 半径为r，质量为m的均质圆轮沿水平 直线滚动，如图所示。设轮的惯性半径为 ，作用 于轮的力偶矩为M。求轮心的加速度。如果圆轮对 地面的滑动摩擦因数为f，问力偶M必须符合什么条 件不致使圆轮滑动? 23:07 10