第6章↓ 点的运动学 ★矢量法 ★ 直角坐标法 ★ 自然（弧坐标)法 ★ 应用举例
第6章 点的运动学 ★ 矢量法 ★ 直角坐标法 ★ 自然（弧坐标)法 ★ 应用举例
例 已知点的运动方程为xc=2sin4tm,y=2c0s4tm, z=4tm。 求：点的速度和加速度及运动轨迹的曲率半径p。 解：由点M的运动方程，得 v,==8cos4t,a,==-32sin 4t v==-8sin 4t,a,=j=-32cos4t y2=2=4,a=z=0 从而v=Vy:+2+v=v80m/小s,a=Va+a+a=32m/s2 而 dv a,= =0,an=a=32m/s2 dt 故 p= =2.5m An
例 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m， z=4t m。 求：点的速度和加速度及运动轨迹的曲率半径ρ。 解：由点M的运动方程，得 v x t a x t x = = 8cos 4 , x = = −32sin 4 v y t a y t y = = −8sin 4 , y = = −32cos 4 v = z = 4, a = z = 0 z z 2 2 2 2 2 2 2 = + + + = 80m s, = + + = 32m s x y z a ax ay az 从而 v v v v 2 m s d d = = 0, a = a = 32 t v 而 a n 2.5m 2 = = an v 故
三自然法 设动点M沿已知的轨迹曲线运动时，在轨迹上任选一点 O作为参考点，并设点O的某一侧为正向，则动点M的位 置标量-弧坐标s来表示，s将随时间而变，并可以 表示为时间t的单值连续函数： M (牛) 1、点的运动方程 s=s(t)
三 自然法 设动点M 沿已知的轨迹曲线运动时，在轨迹上任选一点 O作为参考点，并设点O的某一侧为正向，则动点M 的位 置标量-弧坐标s来表示，s将随时间而变，并可以 表示为时间t 的单值连续函数： s = s(t) 1、点的运动方程 M s (+) (-) O
0 孤坐标要素与运动方程 孤坐标具有以下要素： 1、有坐标原点（一般在轨迹上 任选一参考点作为坐标原点)： 2、有正、负方向（一般以点的 运动方向作为正向)： 3、有相应的坐标系（自然轴系）
弧坐标要素与运动方程 弧坐标具有以下要素： 1、有坐标原点(一般在轨迹上 任选一参考点作为坐标原点)； 2、有正、负方向(一般以点的 运动方向作为正向)； 3、有相应的坐标系(自然轴系)
2.自然轴系 副法线 密切面 法平面 题自然坐标轴 主法线 的几何性质 令 切向单位矢量 切线 主法向单位矢量 副法线单位矢量b=元×n
自然坐标轴 的几何性质 副法线单位矢量 b = n 2. 自然轴系 主法向单位矢量 n 切向单位矢量
自然轴系 自然轴系P一TNB 法平面 B(副法线) P一空间曲线上的动点； N主法线)S+ T一 过动点P的密切面内 的切线，其正向指向 弧坐标正向； N一密切面内垂直于切线 S T(切线) 的直线，其正向指向 曲率中心； B一过动点P垂直于切线 密切面 和主法线的直线，其 跟随动点在轨 正向由B=TxN确定。 迹上作空间曲线 右手定则 运动
s - s + P T(切线) N(主法线) 自然轴系 B(副法线) 自然轴系P－TNB P－空间曲线上的动点； T－ 过动点P的密切面内 的切线，其正向指向 弧坐标正向； N－ 密切面内垂直于切线 的直线，其正向指向 曲率中心； B－ 过动点P垂直于切线 和主法线的直线，其 跟随动点在轨 正向由B＝TN确定。 迹上作空间曲线 运动。 密切面 法平面 右手定则
●曲率和曲率半径（定义） 曲率圆 do K 二 lim △型 C ds △00 △s (什△) 轨迹 b M() △S 1 p= lim s=s(t) 二 90△0 K M
(t+Dt) M (t) 轨迹 曲率圆 Df (＋) n b C Df D s 1 lim 0 = D D = D → s 曲率和曲率半径(定义) ds d = Ds D = D → 0 lim M n b s = s(t)
正 @单位切向量 △产 dr lim 二 T ds △5→0 A
单位切向量 0 lim s d ds s D → D = = D r r τ M ' M ' ' Ds ' v o r' r'' r D
3.速度 点的速度在切线轴上的投影等于 孤坐标对时间的一阶导数。 dr dr ds ds v- = -v7 dt ds di dt 4.加速度 a=v,T +v,i T=? d dt do ds dt do ds dt 0 0 ↓ 1 7 =Vt 0
3. 速度 v t s t s s r t r v = = = = d d d d d d d d 4. 加速度 点的速度在切线轴上的投影等于 弧坐标对时间的一阶导数。 a τ ττ v v = τ + t s t s d d d d d d τ d d τ τ = = τ = ? 1 τ ? s = v
。单位法向量 dr △t do △0>0 △0 2ャ小sn △ 2 lim △P △00 △0 △0 当回回0时，回和回以及 回回 sin 同处于P点的密切面内，这时， 2 回回的极限方向垂直于回，亦即n △0-→0 △p 方向。 2 n 法向量n与垂直， do 指向曲率中心
1 2 2 sin lim 0 = D D = D → 当 →0时， 和 ´以及 同处于P点的密切面内，这时， 的极限方向垂直于 ，亦即n 方向。 n d d τ = D D = D → τ τ 0 lim d d D D = D → 2 2 sin lim 0 τ 单位法向量 指向曲率中心 法向量 与垂直， n