排队论 概率论及随机过程回顾 二.排队论的基本知识 三单服务台负指数分布排队系统分析 四多服务台负指数分布排队系统分析 五.一般服务时间M/G/1模型分析 六经济分析排队系统的最优化
排队论 一.概率论及随机过程回顾 二.排队论的基本知识 三.单服务台负指数分布排队系统分析 四.多服务台负指数分布排队系统分析 五.一般服务时间M/G/1模型分析 六.经济分析___排队系统的最优化
概率论及随机过程回顾 1.1、随机变量与概率分布 ■随机变量 ◆离散型随机变量 n概率分布和概率分布图 n数学期望和方差 n常见离散型随机变量的概率分布 二点分布? 二项式分布? Poisson分布?
一、概率论及随机过程回顾 ◼ 随机变量 离散型随机变量 ◼ 概率分布和概率分布图 ◼ 数学期望和方差 ◼ 常见离散型随机变量的概率分布 二点分布? 二项式分布? Poisson分布? 1.1、随机变量与概率分布
来飞机计和有 P(x=1)=p,P=0)=1-p P(2)三元1(k=0,…,n) k=0.1 >0 E(x)=,D(X)=元 常见离散型随机变量的概率分布 二点分布? 二项式分布? Poisson分布?
一、概率论及随机过程复习 ◼ 随机变量 离散型随机变量 ◼ 概率分布和概率分布图 ◼ 数学期望和方差 ◼ 常见离散型随机变量的概率分布 二点分布? 二项式分布? Poisson分布? 一、随机变量与概率分布 P(X =1) = p, P(X = 0) =1− p P(X k) C p q ,(k 0,1, ,n) k k n k = = n − = = = = = = − ( ) , ( ) 0,1, ; 0 ! ( ) E X D X k e k P X k k
删燃删成盐解 密度函数(x)=fn2e,2 密度函数a(x To x20 x∈R!∈Rq>0) (>0 N(u,o 均匀分布 指数分布? 正态分布? k阶爱尔朗分布?
◼ 随机变量 连续型随机变量 ◼ 概率密度函数 ◼ 概率分布函数 ◼ 数学期望和方差 ◼ 常见连续型随机变量的概率分布 均匀分布 指数分布？ 正态分布？ k阶爱尔朗分布？ 一、随机变量与概率分布 2 ( ) 1/ , ( ) 1/ ( 0) 0, 0 , 0 ( ) = = = − E X D X x e x a x x 随机变量X为时间间隔，如顾客到达的 时间间隔、电话呼叫的时间、产品的寿命等。 密度函数 ~ ( , ) ( ) , ( ) ,( , 0) 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 X N E X D X x R R a x e x = = = − − 随机变量X为时间(长度），如产品的尺寸、 重量、测量误差等。 密度函数
?爱尔朗分布 X1,X2…X为k个相互独立的随机变量; 服从相同参数k舶负指数分布; 设T=X1+X2+则T的密度函数为 b(1) uk ukt) k-1 e k. t>o (k-1) E(T) D(T)F l 如k个服务台串联(k个服务阶段), 个顾客接受k个服务共需的服务时间T 爱尔朗分布
? 爱尔朗分布 2 1 1 , ( ) 1 ( ) , 0 ( 1)! ( ) ( ) k E T D T e t k k k t b t kt k k = = − = − − X X Xk , , , 1 2 k 为k个相互独立的随机变量； 服从相同参数 的负指数分布； 设 T = X1 + X2 + ，则 + Xk T的密度函数为 如k个服务台串联（k个服务阶段）， 一个顾客接受k个服务共需的服务时间T， T爱尔朗分布
1.2随机过程的有关概念 n随机过程( Random process)的定义 设{X(t)是一族随机变量 T是一个实数集,对∈T,是个 随机变量,则称{X(),为机过程。 T:参数集合 ·当T={0,1…,n,}时,称为随机序列 X(1)=随机过程的一个状态 状态空间E=(t)全体可能取值,t∈Y
1.2 随机过程的有关概念 ◼ 随机过程(Random process)的定义 设 {X (t ，是一族随机变量， ),t T} T是一个实数集，对 是一个 随机变量，则称 为随机过程。 t T , X(t) {X (t),t T} t T • T：参数集合 • 当T={0,1,…,n,…}时，称为随机序列 • ：随机过程的一个状态 • 状态空间E={X(t)全体可能取值， } X (t) = k
1.2随机过程的有关概念 随机过程的基本类型 ◆二阶矩过程 ◆平稳过程 ◆平稳独立增量过程 ◆常见随机过程 马尔可夫过程? Poisson过程? 生灭过程?
◼ 随机过程的基本类型 二阶矩过程 平稳过程 平稳独立增量过程 常见随机过程 马尔可夫过程？ Poisson过程？ 生灭过程？ 1.2 随机过程的有关概念
马尔可夫过程散 马尔可夫链 现在将来 就, ()=X(4)=1,X(2)=b2,X()=i =P(X()=X()=} X(n) X(将来”的情况与“过去”无关 只是通过“现在”与“过去”发生联系,若 “现在”已知,“将来”与“过去”无关
◼ 定义： 若满足如下性质： 对任意非负整数 ，只 要 就有 则称 具有马尔可夫性，或无后效性。 马尔可夫过程 马尔可夫链 离散 {X (n), n = 0,1,2,...} t t t t 1 2 ... r { ( ) ( ) } { ( ) ( ) , ( ) ,..., ( ) } 1 1 2 2 r r r r P X t j X t i P X t j X t i X t i X t i = = = = = = = { ( ) , ( ) ,..., ( ) } 0 P X t 1 = i 1 X t 2 = i 2 X t r = i r {X (n)} 1 t 2 t r t r−1 t t 过去 现在 将来 “将来”的情况与“过去”无关， 只是通过“现在”与“过去”发生联系，若 “现在”已知，“将来”与“过去”无关。 {X (n)}
时齐的马氏链:马氏链{X(m)n=01,2…} 若满足:Px, X n+m n P2(m) 则称{X(m),n=0,2}为时齐马尔可夫链 P(m)一系统由状态图经过m个时间间隔 (或m步)转移到状态的转移概率
◼ 时齐的马氏链：马氏链 若满足： 则称 为时齐马尔可夫链 P{X j X i} P (m) n+m = n = = i j {X (n), n = 0,1,2,...} {X (n), n = 0,1,2,...} P (m) ij — 系统由状态i经过m 个时间间隔 （或m 步）转移到状态j 的转移概率
Poisson过程 定义:设N(t时间[,到达系统的顾客数,若 满足下面三个条件: (1)只与区间长度与 n独立性:在任意两个不相起点无关。 达的情况相互犭(2)单位时间内一个 概率为+Om1为2N的概率 平稳性:在[;+△]F顾客 n普通性:在[,t'+△]内多于一个顾客到达 的率为o(△t)。 则称{N(t),t≥0}为Poon过程
Poisson过程 ◼ 定义：设 为时间 内到达系统的顾客数，若 满足下面三个条件： ◼ 独立性：在任意两个不相交的区间内顾客到 达的情况相互独立； ◼ 平稳性：在 内有一个顾客到达的 概率为 ◼ 普通性：在 内多于一个顾客到达 的率为 。 则称 为Poisson过程。 N(t) 0,t {N(t),t 0} t' ,t'+t t +(t); (t) t' ,t'+t （1）只与区间长度与 起点无关。 （2）单位时间内一个 顾客到达的概率 为 。
