8.3实际问题与二元一次方程组 第1课时利用二元一次方程组解决实际问题 学习目标 能根据具体问题的数量关系,会列二元一次方程组解决和差倍分、几何图形、增长率、 盈亏、行程等实际问题.(重点、难点) 教等心程 、情境导入 古算题:“我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.问 有几客几房中?”题目大意:一些客人到李三公的店中住宿,若每间房住7人,就会有7 人没地方住;若每间房住9人,就会空一间房.问有多少间房?多少客人?你能解答这个问 题吗? 二、合作探究 探究点一:利用二元一次方程组解决实际问题 【类型一】和差倍分问题 1某船的载重量为300吨,容积为1200立方米,现有甲、乙两种货物要运,其中甲 种货物每吨体积为6立方米,乙种货物每吨体积为2立方米,要充分利用这艘船的载重和容 积,甲、乙两种货物应各装多少吨? 解析:已知量:(1)甲种货物每吨体积为6立方米:(2)乙种货物每吨体积为2立方米 (3)船的载重量为300吨;(4)船的容积为1200立方米 未知量:甲、乙两种货物应装的质量各为多少吨.若以x、y表示它们的吨数,则甲种 货物的体积为6x立方米,乙种货物的体积为2y立方米 相等关系:“充分利用这艘船的载重量和容积”的意思是“货物的总质量等于船的载重 量”且“货物的体积等于船的容积”.即 甲种货物质量,↓,x)+,)乙种货物质量,↓,y)=,)船的总载重量,+,300) 甲种货物体积,↓,6x)+,)乙种货物体积,↓,2y)=,)船的总容积↓,1200) +y=300, =150, 解:设甲种货物装x吨,乙种货物装y吨.由题意,得 6x+2y=1200 y=150 答:甲、乙两种货物各装150吨 方法总结:列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤 其关键在于审清题意,找相等关系.设未知数时,一般是求什么,设什么,并且所列方程的 个数与未知数的个数相等 【类型二】变化率问题 2为了解决民工子女入学难的问题,我市建立了一套进城民工子女就学的保障机
8．3 实际问题与二元一次方程组 第 1 课时 利用二元一次方程组解决实际问题 能根据具体问题的数量关系，会列二元一次方程组解决和差倍分、几何图形、增长率、 盈亏、行程等实际问题．(重点、难点) 一、情境导入 古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问 有几客几房中？”题目大意：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房住 7 人，就会有 7 人没地方住；若每间房住 9 人，就会空一间房．问有多少间房？多少客人？你能解答这个问 题吗？ 二、合作探究 探究点一：利用二元一次方程组解决实际问题 【类型一】 和差倍分问题 某船的载重量为 300 吨，容积为 1200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲 种货物每吨体积为 6 立方米，乙种货物每吨体积为 2 立方米，要充分利用这艘船的载重和容 积，甲、乙两种货物应各装多少吨？ 解析：已知量：(1)甲种货物每吨体积为 6 立方米；(2)乙种货物每吨体积为 2 立方米； (3)船的载重量为 300 吨；(4)船的容积为 1200 立方米． 未知量：甲、乙两种货物应装的质量各为多少吨．若以 x、y 表示它们的吨数，则甲种 货物的体积为 6x 立方米，乙种货物的体积为 2y 立方米． 相等关系：“充分利用这艘船的载重量和容积”的意思是“货物的总质量等于船的载重 量”且“货物的体积等于船的容积”．即 甲种货物质量,↓,x))＋,)乙种货物质量,↓,y))＝,)船的总载重量,↓,300)) 甲种货物体积,↓,6x))＋,)乙种货物体积,↓,2y))＝,)船的总容积,↓,1200)) 解：设甲种货物装 x 吨，乙种货物装 y 吨．由题意，得 x＋y＝300， 6x＋2y＝1200， 解得 x＝150， y＝150. 答：甲、乙两种货物各装 150 吨． 方法总结：列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤， 其关键在于审清题意，找相等关系．设未知数时，一般是求什么，设什么，并且所列方程的 个数与未知数的个数相等． 【类型二】 变化率问题 为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机
制,其中一项就是免交“借读费”.据统计,去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小 学学习,预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加,其中小学增加 20%,中学增加30%,这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习 (1)如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算,求今年 秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费” (2)如果小学每40名学生配备2名教师,中学每40名学生配备3名教师,按今年秋季 入学后,民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算,一共需配备多少名中小学教师 解析:解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中,小学和初中各有民工子女多少 人.欲求解这个问题,先要求出去年秋季入学的学生中,小学和初中各有民工子女多少人 解:(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x人,在主城区中学学习的民工子 x+y=5000 女有y人,则 y=1600 1000×480=820000元=82(万元) 答:今年秋季新增的1160名中小学生共免收82万元“借读费”; (2)今年秋季入学后,在小学就读的民工子女有3400×(1+20%)=4080(人),在中学就 读的民工子女有1600×(1+30%)=2080(人),需要配备的中小学教师(4080÷40)×2+ (2080÷40)×3=360(名) 答:一共需配备360名中小学教师 方法总结:在解决增长相关的问题中,应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系 增长率=(增长后的量-原量)÷原量 【类型三】行程问题 囹例3A、B两码头相距140km,一艘轮船在其间航行,顺水航行用了7h,逆水航行用 了10h,求这艘轮船在静水中的速度和水流速度 解析:设这艘轮船在静水中的速度为κkmh,水流速度为κm/h,列表如下: 路程 速度 时间 仁顺流14km(x+ykmh 逆流140km (x-y)km/h lOh 解:设这艘轮船在静水中的速度为xkmh,水流速度为ykmh由题意,得 7(x+y)=140,(x 17, 解得 10(x-y)=140 答:这艘轮船在静水中的速度为17km/h,水流速度为3km/h 方法总结:本题关键是找到各速度之间的关系,顺速=静速+水速,逆速=静速-水速 再结合公式“路程=速度×时间”列方程组 探究点二:利用二元一次方程组解决几何问题 4小敏做拼图游戏时发现:8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形, 如图①所示.小颖看见了,也来试一试,结果拼成了如图②所示的正方形,不过中间留下 个边长恰好为2cm的小正方形空白,你能算出每个小长方形的长和宽各是多少吗?
制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有 5000 名民工子女进入主城区中小 学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加 20%，中学增加 30%，这样今年秋季将新增 1160 名民工子女在主城区中小学学习． (1)如果按小学每年收“借读费”500 元、中学每年收“借读费”1000 元计算，求今年 秋季新增的 1160 名中小学生共免收多少“借读费”； (2)如果小学每 40 名学生配备 2 名教师，中学每 40 名学生配备 3 名教师，按今年秋季 入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？ 解析：解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中，小学和初中各有民工子女多少 人．欲求解这个问题，先要求出去年秋季入学的学生中，小学和初中各有民工子女多少人． 解：(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有 x 人，在主城区中学学习的民工子 女有 y 人．则 x＋y＝5000， 20%x＋30%y＝1160， 解得 x＝3400， y＝1600. 20%x＝680，30%y＝480，500×680＋ 1000×480＝820000(元)＝82(万元)． 答：今年秋季新增的 1160 名中小学生共免收 82 万元“借读费”； (2)今年秋季入学后，在小学就读的民工子女有 3400×(1＋20%)＝4080(人)，在中学就 读的民工子女有 1600×(1＋30%)＝2080( 人)，需要配备的中小学教师(4080÷40)×2＋ (2080÷40)×3＝360(名)． 答：一共需配备 360 名中小学教师． 方法总结：在解决增长相关的问题中，应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系： 增长率＝(增长后的量－原量)÷原量． 【类型三】 行程问题 A、B 两码头相距 140km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了 7h，逆水航行用 了 10h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度． 解析：设这艘轮船在静水中的速度为 xkm/h，水流速度为 ykm/h，列表如下： 路程 速度 时间 顺流 140km (x＋y)km/h 7h 逆流 140km (x－y)km/h 10h 解：设这艘轮船在静水中的速度为 xkm/h，水流速度为 ykm/h. 由题意，得 7（x＋y）＝140， 10（x－y）＝140. 解得 x＝17， y＝3. 答：这艘轮船在静水中的速度为 17km/h，水流速度为 3km/h. 方法总结：本题关键是找到各速度之间的关系，顺速＝静速＋水速，逆速＝静速－水速； 再结合公式“路程＝速度×时间”列方程组． 探究点二：利用二元一次方程组解决几何问题 小敏做拼图游戏时发现：8 个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形， 如图①所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图②所示的正方形，不过中间留下一 个边长恰好为 2cm 的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各是多少吗？
图① 解析:在图①中大长方形的长有两种表现形式,一种是5个小长方形的宽的和,另一种 是3个小长方形的长的和;在图②中,大正方形的边长也有两种表现形式,一种是1个小长 方形的长和2个小长方形的宽的和,另一种从中间看为2个小长方形的长与小正方形的边长 的和,由此可设未知数列出方程组求解 解:设小长方形的长为xm,宽为ym由题意,得(3x=5y 解得/+=10 12x+2=x+2 答:每个小长方形的长为10cm,宽为6cm 方法总结:本题考查了同学们的观察能力,通过观察图形找等量关系,建立方程组求解, 渗透了数形结合的思想 三、板书设计 一般步骤:审、设、列、解、验、答 列方程组解决问题关键:找等量关系 数学反思 通过“古算题”,把同学们带入实际生活中的数学问题情景,学生体会到数学中的 趣”.进一步强调课堂与生活的联系,突出显示数学教学的实际价值,培养学生的人文精 神,使学生形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识
解析：在图①中大长方形的长有两种表现形式，一种是 5 个小长方形的宽的和，另一种 是 3 个小长方形的长的和；在图②中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是 1 个小长 方形的长和 2 个小长方形的宽的和，另一种从中间看为 2 个小长方形的长与小正方形的边长 的和，由此可设未知数列出方程组求解． 解：设小长方形的长为 xcm，宽为 ycm.由题意，得 3x＝5y， 2x＋2＝x＋2y. 解得 x＝10， y＝6. 答：每个小长方形的长为 10cm，宽为 6cm. 方法总结：本题考查了同学们的观察能力，通过观察图形找等量关系，建立方程组求解， 渗透了数形结合的思想． 三、板书设计 列方程组,解决问题) 一般步骤：审、设、列、解、验、答 关键：找等量关系 通过“古算题”，把同学们带入实际生活中的数学问题情景，学生体会到数学中的 “趣”．进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精 神，使学生形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识