8.4三元一次方程组的解法 【教学目标】 1.理解三元一次方程组的含义 会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组. 3.掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路 【教学重点与难点】 1.使学生会解简单的三元一次方程组 2.通过本节学习,进一步体会“消元”的基本思想 3.针对方程组的特点,灵活使用代入法、加减法等重要方法 【教学过程】 导入新课 前面我们学习了二元一次方程组的解法.有些问题,可以设出两个未知数,列出二元一 次方程组来求解.实际上,有不少问题中含有更多的未知数.大家看下面的问题 二、推进新课 出示引入问题 小明手头有12张面额分别为1元,2元,5元的纸币,共计22元,其中1元纸币的数 量是2元纸币数量的4倍,求1元,2元,5元纸币各多少张. 1.题目中有几个未知数,你如何去设? 2.根据题意你能找到等量关系吗? 3.根据等量关系你能列出方程组吗? 请大家分组讨论上述问题 (教师对学生进行巡回指导) 学生成果展示: 1.设1元,2元,5元各x张,y张,z张.(共三个未知数) 2.三种纸币共12张;三种纸币共22元;1元纸币的数量是2元纸币的4倍 x+y+z=12, 3.上述三种条件都要满足,因此可得方程组{x=Ay 师:这个方程组有三个相同的未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且 共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组 怎样解这个方程组呢?能不能类比二元一次方程组的解法,设法消去一个或两个未知 数,把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢? (学生小组交流,探索如何消元.) 可以把③分别代入①②,便消去了x,只包含y和z二元了: x=8, 4+y+2=12即{5y+=12解得 4y+2y+5z=22,|6y+5 2 解此二元一次方程组得出y、z,进而代回原方程组可求x 教师对学生的想法给予肯定并总结解三元一次方程组的基本思路:通过“代入”或“加 减”进行消元,把“三元”化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组 进而转化为解一元一次方程
*8.4 三元一次方程组的解法 【教学目标】 1．理解三元一次方程组的含义． 2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组． 3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路． 【教学重点与难点】 1．使学生会解简单的三元一次方程组． 2．通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想． 3. 针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法． 【教学过程】 一、导入新课 前面我们学习了二元一次方程组的解法．有些问题，可以设出两个未知数，列出二元一 次方程组来求解．实际上，有不少问题中含有更多的未知数．大家看下面的问题． 二、推进新课 出示引入问题 小明手头有 12 张面额分别为 1 元，2 元，5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数 量是 2 元纸币数量的 4 倍，求 1 元，2 元，5 元纸币各多少张． 1．题目中有几个未知数，你如何去设？ 2．根据题意你能找到等量关系吗？ 3．根据等量关系你能列出方程组吗？ 请大家分组讨论上述问题． （教师对学生进行巡回指导） 学生成果展示： 1．设 1 元，2 元，5 元各 x 张，y 张，z 张．（共三个未知数） 2．三种纸币共 12 张；三种纸币共 22 元；1 元纸币的数量是 2 元纸币的 4 倍． 3．上述三种条件都要满足，因此可得方程组 12, 2 5 22, 4 . x y z x y z x y + + = + + = = 师：这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一 共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知 数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？ （学生小组交流，探索如何消元．） 可以把③分别代入①②，便消去了 x，只包含 y 和 z 二元了： 8, 4 12, 5 12, 2, 4 2 5 22, 6 5 22. 2. x y y z y z y y y z y z z = + + = + = = + + = + = = 即 解得 解此二元一次方程组得出 y、z，进而代回原方程组可求 x． 教师对学生的想法给予肯定并总结解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加 减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组， 进而转化为解一元一次方程．
即三元一次方程组消元 二元一次方程组消元 一元一次方程 三、例题讲解 3x+4==7, 2x+3y+2=9, 例1:解三元一次方程组5x-9y+7=8 (让学生独立分析、解题,方法不唯一,可分别让学生板演后比较.) 解:②×3+③,得11x+10z=35 ①与④组成方程组1+10=3解/ 3x+4==7, 把x=5,z=-2代入②,得y=3 因此,三元一次方程组的解为 归纳:此方程组的特点是①不含y,而②③中y的系数为整数倍关系,因此用加减法从 ②③中消去y后,再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理.反之用代入法 运算较烦琐. 例2:在等式y=ax2+bx+中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3:当x=5时,y=60,求 b,c的值 (师生一起分析,列出方程组后交由学生求解.) 4a+2b+c=3 解:由题意,得三元一次方程组 25a+5b+c=60 ③-①,得4a+b=10 b=1, ④与⑤组成二元一次方程组 4a+b=10 解得 b=-2 把a=3,b=2代入①,得C=5 因此 答
即三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程 三、例题讲解 例 1：解三元一次方程组 3 4 7, 2 3 9, 5 9 7 8. x z x y z x y z + = + + = − + = （让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生板演后比较．） 解：②×3+③，得 11x+10z=35． ①与④组成方程组 3 4 7, 5, 11 10 35. 2. x z x x z z + = = + = = − 解得 把 x=5，z=-2 代入②，得 y= 1 3 ． 因此，三元一次方程组的解为 5, 1 , 3 2. x y z = = = − 归纳：此方程组的特点是①不含 y，而②③中 y 的系数为整数倍关系，因此用加减法从 ②③中消去 y 后，再与①组成关于 x 和 z 的二元一次方程组的解法最合理． 反之用代入法 运算较烦琐． 例 2：在等式 y=ax2+bx+c 中，当 x=-1 时，y=0；当 x=2 时，y=3；当 x=5 时，y=60，求 a，b，•c 的值． （师生一起分析，列出方程组后交由学生求解．） 解：由题意，得三元一次方程组 0, 4 2 3, 25 5 60. a b c a b c a b c − + = + + = + + = ②-①，得 a+b=1， ④ ③-①，得 4a+b=10． ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 1, 4 10. a b a b + = + = ． 解得 3, 2 a b = = − 把 a=3，b=-2 代入①，得 c=-5． 因此 3, 2, 5. a b c = = − = − ， 答：a=3，b=-2，c=-5．
四、知能训练 1.解下列三元一次方程组 x-2y=-9, 3x-y+z=4, (1 (2)2x+3y-z=12, 2二+x=47; 2 解()y=155,(2){y=3 12.5 2 2.甲、乙、丙三个数的和是35,甲数的2倍比乙数大,乙数的3等于丙数的2,求这 三个数 2x-y=5,解得{y=15 z=10 解:设甲、乙、丙三个数分别为x、y、2,则(32 即甲、乙、丙三数分别为10、15、10 五、课堂小结 1.学会三元一次方程组的基本解法 2.掌握代入法,加减法的灵活选择,体会“消元”思想 六、布置作业 七、活动与探究 拓广探索 -2=a+b+C, 20=a-b+C, 解:由已知,得(42eb 93 ②一①,得b=-11 由③得36 ④代入⑤,得a=6. 6, 把 b 代入①,得c=3,因此 答:a=6,b=-11,c=3
四、知能训练 1．解下列三元一次方程组： 2 9, 3 4, (1) 3, (2) 2 3 12, 2 47; 6. 22, 2, : (1) 15.5, (2) 3, 12.5; 1. x y x y z y z x y z z x x y z x x y y z z − = − − + = − = + − = + = + + = = = = = = = 解 2．甲、乙、丙三个数的和是 35，甲数的 2 倍比乙数大，乙数的 1 3 等于丙数的 1 2 ，求这 三个数． 解：设甲、乙、丙三个数分别为 x、y、z，则 35, 10, 2 5, 15, 10. , 3 2 x y z x x y y y z z + + = = − = = = = 解得 即甲、乙、丙三数分别为 10、15、10． 五、课堂小结 1．学会三元一次方程组的基本解法． 2．掌握代入法，加减法的灵活选择，体会“消元”思想． 六、布置作业 七、活动与探究 拓广探索 解：由已知，得 2 , 20 , 9 3 . 4 2 9 3 abc a b c a b a b c c − = + + = − + + + = + + ②－①，得 b=-11， ④ 由③得 77 7 36 6 a b + =0， ⑤ ④代入⑤，得 a=6． ⑥ 把 6, 11 a b = = − 代入①，得 c=3，因此， 6, 11, 3. a b c = = − = 答：a=6，b=-11，c=3．
