*第2课时一元一次不等式组的应用 【教学目标】 1.通过由学生动手操作:用各种不同长度的木棒去拼三角形,归纳出能拼出三角形的各 边长之间的关系和不能拼成三角形的三边的特征,目的是归纳出同时符合几不同条件的不 等式的公共范围,即不等式组的解集 2.通过确定不等式组的解集与确定方程组的解集进行比较,抽象出这二者中的异同,由 此理解不等式组的公共解集 3.通过由一元一次不等式,一元一次不等式的解集、解不等式的概念来类推学习一元 次不等式组,一元一次不等式组的解集,解不等式组这些概念,发展学生的类比推理能力 【教学重点与难点】 1、难点:一元一次不等式组解集的理解 2、重点:一元一次不等式组的解集和解法 【教学过程】 、创设情境,导入新课 在上课之前,老师请大家来帮一个忙,帮老师来解决一道难题:老师有一个熟人姓王,他 有一个哥哥和一个弟弟,哥哥的年龄是20岁,小王的年龄的2倍加上他弟弟年龄的5倍等于 97.现在小王要老师猜猜他和他弟弟的年龄各是多少?俗话说三个臭皮匠,可抵一个诸葛亮, 现在我们全班同学可抵得上很多诸葛亮,所以老师相信大家一定有办法的 在上述已知条件中只有一个等量关系式:小王年龄的2倍+弟弟年龄的5倍=97,而小王及 弟弟的年龄是未知的,他们年龄之间的等量关系也没有说出,在一个等式中有两个未知数是 无法确定未知数的值,还必须再找出另一个关系式,还有已知条件即是哥哥的年龄为20岁 如何利用这个已知条件呢?只有利用一个隐含的条件哥哥、小王、弟弟三者的年龄是逐渐减 小的,即是20》小王的年龄》弟弟的年龄,若设小王有x岁,弟弟为y岁,则有y<x<20,这是一 个不等量,在等式中可划F97-5y,代入不等式中得y2(20,怎么样?得到一个不等 97-5 式组了!从而得出115y135,而x、y为正整数,故y=13,x=16,也就是说不等式组也是解 决实际问题的一种工具.所以学习解不等式组是为了更好地解决实际问题 师生互动,课堂探究 (一)提出问题,引发讨论 当一个未知数同时满足几个不等关系时,我们就按这些关系分别列几个不等式,这样就 得到不等式组,用不等式组解决实际问题时,其公共解是否一定为实际问题的解呢?请举例 说明. 例:甲以5km/时的速度进行跑步锻炼,2小时后,乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶 甲.但他们两人约定,乙最快不早于1小时追上甲,最慢不晚于1小时15分追上甲.你能确定 乙骑车的速度应当控制在什么范围吗? 分析:甲以5km/时的速度前进,2小时后,甲前进了10km,此时,乙再开始骑自行车追赶甲, 但乙追上甲的时间不早于1小时即是不能比1小时少,故乙追上甲的最少时间应多于1小时, 而这段时间甲仍在前进,乙追上甲时所走的路程不止他1小时的路程,故有不等式V21≤ (2+1)×5,由此得v2≤15;又因为乙追上甲的时间不晚于1小时15分(1-小时),也就是乙追
*第 2 课时 一元一次不等式组的应用 【教学目标】 1.通过由学生动手操作:用各种不同长度的木棒去拼三角形,归纳出能拼出三角形的各 边长之间的关系和不能拼成三角形的三边的特征,•目的是归纳出同时符合几不同条件的不 等式的公共范围,即不等式组的解集. 2.通过确定不等式组的解集与确定方程组的解集进行比较,•抽象出这二者中的异同,由 此理解不等式组的公共解集. 3.通过由一元一次不等式,一元一次不等式的解集、解不等式的概念来类推学习一元一 次不等式组,一元一次不等式组的解集,解不等式组这些概念,•发展学生的类比推理能力. 【教学重点与难点】 1、 难点：一元一次不等式组解集的理解 2、重点：一元一次不等式组的解集和解法。 【教学过程】 一、创设情境,导入新课 在上课之前,老师请大家来帮一个忙,帮老师来解决一道难题:•老师有一个熟人姓王,他 有一个哥哥和一个弟弟,哥哥的年龄是 20 岁,小王的年龄的 2 倍加上他弟弟年龄的 5 倍等于 97.现在小王要老师猜猜他和他弟弟的年龄各是多少?•俗话说三个臭皮匠,可抵一个诸葛亮, 现在我们全班同学可抵得上很多诸葛亮,•所以老师相信大家一定有办法的. 在上述已知条件中只有一个等量关系式:小王年龄的2倍+弟弟年龄的5倍=97,而小王及 弟弟的年龄是未知的,他们年龄之间的等量关系也没有说出,在一个等式中有两个未知数是 无法确定未知数的值,还必须再找出另一个关系式,还有已知条件即是哥哥的年龄为 20 岁, 如何利用这个已知条件呢?只有利用一个隐含的条件哥哥、小王、弟弟三者的年龄是逐渐减 小的，即是 20>小王的年龄>弟弟的年龄,若设小王有 x 岁,弟弟为 y 岁,则有 y<x<20,这是一 个不等量,在等式中可知 x= 97 5 2 − y ,代入不等式中得 y< 97 5 2 − y <20,怎么样?得到一个不等 式组了!从而得出 11 5 2 <y<13 6 7 ,而 x、y 为正整数,故 y=13,x=16,•也就是说不等式组也是解 决实际问题的一种工具.•所以学习解不等式组是为了更好地解决实际问题. 二、师生互动,课堂探究 (一)提出问题,引发讨论 当一个未知数同时满足几个不等关系时,我们就按这些关系分别列几个不等式,这样就 得到不等式组,用不等式组解决实际问题时,•其公共解是否一定为实际问题的解呢?请举例 说明. 例:甲以 5km/时的速度进行跑步锻炼,2 小时后,乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶 甲.但他们两人约定,乙最快不早于 1 小时追上甲,最慢不晚于 1 小时 15•分追上甲.你能确定 乙骑车的速度应当控制在什么范围吗? 分析:甲以 5km/时的速度前进,2 小时后,甲前进了 10km,此时,乙再开始骑自行车追赶甲, 但乙追上甲的时间不早于 1 小时即是不能比1 小时少,故乙追上甲的最少时间应多于1 小时, 而这段时间甲仍在前进,乙追上甲时所走的路程不止他 1 小时的路程,•故有不等式:v2·1≤ (2+1)×5,由此得 v2≤15;又因为乙追上甲的时间不晚于 1 小时 15 分(1 1 4 小时),也就是乙追
上甲的时间不能超过14小时,即比14小时要少,实际上乙追上甲所走的路程要比他在 1小时所走的路程少在乙开始追甲时,甲也在以原来的速度继续前进,实际上甲走的总 时间应比(2+1-)小时少,故又有不等式:V2·1≥(2+1-)×5即v2≥×5,故v2≥13. 4 V≤(2+1)×5 同一个人的速度,既要比13大又要比15小,故它的速度就是不等式组 v2≥(2+1)x5 的公共解集:13≤v2≤15.由于速度是一个正数,既可以是整数,也可以是分数,因此,乙的速 度就是根据题意所列不等式组的公共解集 但由此一例,不能代表全体,实际上也有方程的解不全是不等式组的解的时候 (二)导入知识,解释疑难 1.教材内容讲解 如课本例2(P145)(请同学自己阅读,动手列不等式组进行求解,再将自己答案与课本答 案进行比较)不等式组的解集为15二<x<16,但x表示的是生产的产品件数,不能为分数, 故需取整,即x=16 又如:将若干只鸡放入若干个笼,若每个笼里放4只,则有1只鸡无笼可放;若每个笼里放 5只,则有1笼无鸡可放,那么至少有多少只鸡,多少个笼? 分析:根据若每个笼里放4只鸡,则有1只鸡无笼可放这句话可得“鸡的数量为4×笼的 数量+1”,若每个笼里放5只,则有一笼无鸡可放,是否有鸡可放的笼里都放满了呢?这就有 两种可能,可能最后一笼没有5只,也可能最后一笼恰好也有5只,因此可知“4×笼的数量 1”小于或等于“5×(笼的数量-1)”,但“4×笼的数量+1”肯定比“5×(笼的数量-2)” 要多,于是 设有x只鸡,y个笼,根据题意 5(y-2)<x≤5(y-1) ∴5(y-2)<4y+1≤5(y-1) 解此不等式组得:y≥6,x<11故6≤y<11 此不等式组的解中包括整数和分数,但y表示鸡的笼子不可能为分数,故y只能取6、7、 8、9、10这五个数.而题中问至少有多少只鸡,多少个笼子,故y只能为6,允的只数为4 6+1=25只 2.探究活动 把16根火柴首尾相接,围成一个长方形(不包括正方形),怎样找到围出不同形状的长方 形个数最多的办法呢?最多个数又是多少呢? 分析:不妨假设每根火柴长为1,则16根火柴长为16,围成长方形,则相邻两边的和为 8,如果一边长为x,另一边长则为8-x,且8-x必须大于x.又x必须为大于1的数最小等于 x≥1 1,于是得不等式组 解不等式组得1≤x<4,因为x为正整数,所以x所取的值为 1,2,3.由此只要分别取1根火柴,2根火柴,3根火柴作相邻两边中较短的一条边,对应的邻边 也分别取7根火柴,6根火柴,5根火柴,就能围成所有不同形状的长方形,这样的长方形一共
上甲的时间不能超过 1 1 4 小时,即比 1 1 4 小时要少,•实际上乙追上甲所走的路程要比他在 1 1 4 小时所走的路程少,在乙开始追甲时,•甲也在以原来的速度继续前进,实际上甲走的总 时间应比(2+1 1 4 )小时少,故又有不等式:v2·1 1 4 ≥(2+1 1 4 )×5 即 5 4 v2≥ 13 4 ×5,故 v2≥13. 同一个人的速度,既要比 13 大又要比 15 小,故它的速度就是不等式组 2 2 1 (2 1) 5 1 1 1 (2 1 ) 5 4 4 v v + + 的公共解集:13≤v2≤15.由于速度是一个正数,既可以是整数,也可以是分数,因此,乙的速 度就是根据题意所列不等式组的公共解集. 但由此一例,不能代表全体,实际上也有方程的解不全是不等式组的解的时候. (二)导入知识,解释疑难 1.教材内容讲解 如课本例 2(P145)(请同学自己阅读,动手列不等式组进行求解,再将自己答案与课本答 案进行比较)不等式组的解集为 15 2 3 <x<16 2 3 ,但 x 表示的是生产的产品件数,•不能为分数, 故需取整,即 x=16. 又如:将若干只鸡放入若干个笼,若每个笼里放4只,则有1只鸡无笼可放;若每个笼里放 5 只,则有 1 笼无鸡可放,那么至少有多少只鸡,多少个笼? 分析:根据若每个笼里放 4 只鸡,则有 1•只鸡无笼可放这句话可得“鸡的数量为 4×笼的 数量＋1”,若每个笼里放 5 只,则有一笼无鸡可放,•是否有鸡可放的笼里都放满了呢?这就有 两种可能,可能最后一笼没有 5 只,也可能最后一笼恰好也有 5 只,因此可知“4×笼的数量＋ 1”小于或等于“5×(笼的数量－1)”，但“4•×笼的数量＋1”肯定比“5×(笼的数量－2)” 要多，于是: 设有 x 只鸡,y 个笼,根据题意 4 1 5( 2) 5( 1) y x y x y + = − − ∴5(y-2)<4y+1≤5(y-1) 解此不等式组得:y≥6,x<11 故 6≤y<11 此不等式组的解中包括整数和分数,但 y 表示鸡的笼子不可能为分数,故 y 只能取 6、7、 8、9、10 这五个数.而题中问至少有多少只鸡,多少个笼子,故 y 只能为 6,允的只数为 4× 6+1=25 只 2.探究活动 把 16 根火柴首尾相接,围成一个长方形(不包括正方形),怎样找到围出不同形状的长方 形个数最多的办法呢?最多个数又是多少呢? 分析:不妨假设每根火柴长为 1,则 16 根火柴长为 16,围成长方形,•则相邻两边的和为 8,如果一边长为 x,另一边长则为 8-x,且 8-x 必须大于 x.又 x 必须为大于 1•的数最小等于 1,于是得不等式组 1 8 x x x − ,解不等式组得 1≤x<4,因为 x 为正整数,所以 x 所取的值为 1,2,3.由此只要分别取1根火柴,2根火柴,3根火柴作相邻两边中较短的一条边,对应的邻边 也分别取7根火柴,6根火柴,5根火柴,就能围成所有不同形状的长方形,•这样的长方形一共
有3个 (三)归纳总结知识回顾 应用不等式组解决实际问题的步骤:1.审清题意;2.设未知数,根据所设未知数列出不 等式组;3.解不等式组;4.由不等式组的解确立实际问题的解;5.作答.(与列方程组解应用 题进行比较) 三、作业设计 (一)双基练习 1.已知方程组 2x+hy= 4 有正整数解,则k的取值范围是 y= 2若不等式组{2x-1,无解求a的取值范围 3.￥2(m-3)<10-m时,求关于x的不等式mx=5)xm的解集 4 4某学校为学生安排宿舍,现有住房若干间,若每间5人还有14人安排不下,若每间7 人,则有一间还余一些床位,问学校有几间房可以安排学生住宿?可以安排住宿的学生多少 人 (二)创新提升 某商场为了促销,开展对顾客赠送礼品活动,准备了若干件礼品送给顾客,在一次活 动中,如果每人送5件,则还余8件,如果每人送7件,则最后一人还不足3件.设该商场准备 了m件礼品,有x名顾客获赠,请回答下列问题 (1)用含x的代数式表示m (2)求出该次活动中获赠顾客人数及所准备的礼品数 (三)探究拓展 6.乘某城市的一种出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内都需付10元车费),达 成或超过5km后,每增加1km,加价1.2元(不足1km部分按1km计).现在某人乘这种出租汽 车从甲地到乙地,支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程大约是多少? 上述问题,在讨论、交流的基础上,由学生自己解决,教师可适当点评。 四、总结归纳 学习一元一次不等式组是数学知识拓展的需要,也是现实生活的需要;学习不等式组 时,我们可以类比方程组、方程组的解来理解不等式组、不等式组的解集的概念:求不等 式组的解集时,利用数轴很直观,也很快捷,这是一种数与形结合的思想方法,不仅现在 有用,今后我们还会有更深的体验
有 3 个. (三)归纳总结,知识回顾 应用不等式组解决实际问题的步骤:1.审清题意;2.设未知数,•根据所设未知数列出不 等式组;3.解不等式组;4.由不等式组的解确立实际问题的解;5.作答.(•与列方程组解应用 题进行比较) 三、 作业设计 (一)双基练习 1.已知方程组 2 4 2 0 x ky x y + = − = 有正整数解,则 k 的取值范围是_________. 2.若不等式组 2 1 1 3 x a x − 无解,求 a 的取值范围. 3.当 2(m-3)x-m 的解集. 4.某学校为学生安排宿舍,现有住房若干间,若每间 5 人还有 14 人安排不下,若每间 7 人,则有一间还余一些床位,问学校有几间房可以安排学生住宿?可以安排住宿的学生多少 人? (二)创新提升 5.某商场为了促销,开展对顾客赠送礼品活动,准备了若干件礼品送给顾客,•在一次活 动中,如果每人送 5 件,则还余 8 件,如果每人送 7 件,则最后一人还不足3 件.•设该商场准备 了 m 件礼品,有 x 名顾客获赠,请回答下列问题: (1)用含 x 的代数式表示 m. (2)求出该次活动中获赠顾客人数及所准备的礼品数. (三)探究拓展 6.乘某城市的一种出租汽车起价是 10 元(即行驶路程在 5km 以内都需付 10 元车费),达 成或超过 5km 后,每增加 1km,加价 1.2 元(不足 1km 部分按 1km 计).现在某人乘这种出租汽 车从甲地到乙地,支付车费 17.2 元,从甲地到乙地的路程大约是多少? 上述问题，在讨论、交流的基础上，由学生自己解决，教师可适当点评。 四、总结归纳 学习一元一次不等式组是数学知识拓展的需要，也是现实生活的需要；学习不等式组 时，我们可以类比方程组、方程组的解来理解不等式组、不等式组的解集的概念；求不等 式组的解集时，利用数轴很直观，也很快捷，这是一种数与形结合的思想方法，不仅现在 有用，今后我们还会有更深的体验．