21.2.3二次函数表达式的确定
21.2.3 二次函数表达式的确定
1·用待定系数法求二次函数解析式的步骤: (1)设:设函数的表达式; (2)代:将已知点的坐标代入函数表达式,组成方程(组) (3)本:求出方程(组)的解 (4)写:写出解析式
1．用待定系数法求二次函数解析式的步骤： (1)设：设函数的表达式； (2)代：将已知点的坐标代入函数表达式，组成方程(组)； (3)____：求出方程(组)的解； (4)____：写出解析式． 求 写
2·二次函数的三种表达形式 b (1)一般式:y=ax2+bx+c(a0),对称轴是直线X=2a; (2)顶点式:y=a(x+h)2+k(a≠0),对称轴是直线x=-h (3)交点式:y=a(x-x)(x-x2)(a40)(抛物线与x轴的两交点横坐标是 XI + X2 x1,x2),对称轴是直线X
2．二次函数的三种表达形式． (1)一般式：____________________，对称轴是直线_____________； (2)顶点式：_____________________，对称轴是直线____________； (3)交点式：______________________ (抛物线与 x 轴的两交点横坐标是 x1，x2)，对称轴是直线___________． y＝ax2＋bx＋c(a≠0) x＝－ b 2a y＝a(x＋h) 2＋k(a≠0) x＝－h y＝a(x－x1 )(x－x2 )(a≠0) x＝ x1＋x2 2
1·(4分)已知二次函数的顶点坐标为(2,-3)且与y轴交点的纵坐标是 3,则它的解析式为y=2(x-2)-3
1．(4 分)已知二次函数的顶点坐标为(2，－3)且与 y 轴交点的纵坐标是 3，则它的解析式为____________________ y＝ ． 3 2 (x－2) 2－3
2·(8分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(3,0 且过点C(0,-3) (1)求抛物线的解析式和顶点坐标; (2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x 上,并写出平移后抛物线的解析式 解:(1)设y=a(x-1)(x-3),把C(0,-3)代入得a 1,故y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3,顶 点(2,1)(2)答素不唯一,如:∵y=-x2+4x-3= (x-2)2+1,∴要使平移后抛物线顶点落在y=-x 上,可先将抛物线向左平移2个单位,再向下平糁1 个单位得y=-x2.其顶点为(0,0),在y=-X上
2．(8分)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(3，0) 且过点C(0，－3)． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x 上，并写出平移后抛物线的解析式． 解：(1)设y＝a(x－1)(x－3)，把C(0，－3)代入得a＝ －1，故y＝－(x－1)(x－3)，即y＝－x 2＋4x－3，顶 点(2，1) (2)答案不唯一，如：∵y＝－x 2＋4x－3＝ －(x－2) 2＋1，∴要使平移后抛物线顶点落在y＝－x 上，可先将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1 个单位得y＝－x 2 .其顶点为(0，0)，落在y＝－x上
3·(4分)二次函数y=ax2+bx+c图象过点(1,4),(0,3),(-1,0), 则它的解析式为y=-x2+2x+3 (4分)抛物线y=2x2-12x+16关于x轴对称的抛物线的解析式为 y=-2x2+12x-16 5·(4分)某同学利用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列出部分 数据如下表 0 2 4 0 0 经检査’发现表格中恰好有一组数据有误’请根据上述信息,写出该二次 函数的解析式 y=x2-4x+3
3．(4分)二次函数y＝ax2＋bx＋c图象过点(1，4)，(0，3)，(－1，0)， 则它的解析式为______________． 4．(4分)抛物线y＝2x 2－12x＋16关于x轴对称的抛物线的解析式为 ______________________． y＝－x 2＋2x＋3 y＝－2x2＋12x－16 5．(4分)某同学利用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出部分 数据如下表： x 0 1 2 3 4 y 3 0 －2 0 3 经检查，发现表格中恰好有一组数据有误，请根据上述信息，写出该二次 函数的解析式___________________ y＝x ． 2－4x＋3
6·(4分)抛物线y=ax2+bx+c的顶点在y轴上,且过点(-1,3),(-2, 6),则其解析式为()C A 2B.y=-x2+2 +2D 2
6．(4分)抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在y轴上，且过点(－1，3)，(－2， 6)，则其解析式为( ) A．y＝x 2－2 B．y＝－x 2＋2 C．y＝x 2＋2 D．y＝－x 2－2 C
7·(12分)求符合下列条件的二次函数解析式: (1)二次函数图象经过点(-1,0),(1,2),(0,3); (2)二次函数图象的顶点坐标是(1,-1),且经过原点(0,0) (3)二次函数图象与x轴的交点为(-1,0),(3,0),与y轴交点的纵坐标 为9 解:(1)设二次函颜的解祈式为y=ax2+bx+c,则根据题意得 a-b+c=0, a 2 a+b+c=2’解得{b=1,…∴y=-2x2+x+3(2)设二次画数解析式为y c=3 c=3 =a(x-1)2-1,把(0,0)代入上式得a=1,∴y=x2-2x(3)设二次函数解析 式为y=a(x+1)(x-3),把(0,9)代入上式得a=-3,∴y=-3x2+6x+9
7．(12 分)求符合下列条件的二次函数解析式： (1)二次函数图象经过点(－1，0)，(1，2)，(0，3)； (2)二次函数图象的顶点坐标是(1，－1)，且经过原点(0，0)； (3)二次函数图象与 x 轴的交点为(－1，0)，(3，0)，与 y 轴交点的纵坐标 为 9. 解 ： (1) 设 二 次 函 数 的 解 析 式 为 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ， 则 根 据 题 意 得 a－b＋c＝0， a＋b＋c＝2， c＝3， 解得 a＝－2， b＝1， c＝3， ，∴y＝－2x2＋x＋3 (2)设二次函数解析式为 y ＝a(x－1) 2－1，把(0，0)代入上式得 a＝1，∴y＝x 2－2x (3)设二次函数解析 式为 y＝a(x＋1)(x－3)，把(0，9)代入上式得 a＝－3，∴y＝－3x2＋6x＋9
8·已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为(1,-3),则b,c的值分别是 B A·-2,2B.-2,-2C.-2,1D.1,-2 9·如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1,且过点(-1,0),则 9a+3b+c的值是(A) A·0 B.1 C D.无法确定
8．已知抛物线y＝x 2＋bx＋c的顶点坐标为(1，－3)，则b，c的值分别是 ( ) A．－2，2 B．－2，－2 C．－2，1 D．1，－2 9．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，且过点(－1，0)，则 9a＋3b＋c的值是( ) A．0 B．1 C．－1 D．无法确定 B A
10·已知y=ax2+bx+c(ay2 B. yI=y2 C. y1 y2 D.无法确定 11·已知抛物线y=ax2+bx+c顶点是0,2),且过点(3,4),则抛 物线的解析式是y2x2+2 12·二次函数图象过点(3,0),(2,-3两点且以直线x=1为对称 轴,则它的解析式是y=x2-2x-3
10．已知y＝ax2＋bx＋c(ay2 B．y1 ＝y2 C．y1<y2 D．无法确定 A 11．已知抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 顶点是(0，2)，且过点(3，4)，则抛 物线的解析式是______________． 12．二次函数图象过点(3，0)，(2，－3)两点且以直线 x＝1 为对称 轴，则它的解析式是__________________． y＝ 2 9 x 2＋2 y＝x 2－2x－3