专题一求二次函数的解析式
专题一 求二次函数的解析式
类型之一:利用一般式y=ax2+bx+c(a≠0求二次函数的解析式 1·已知二次函数的图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点,则该函数的解 析式是(D) A·y=2x2+x+2B.y=x2+3x+2 C·y=x2-2x+3D.y=x2-3x+2
类型之一：利用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)求二次函数的解析式 1．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解 析式是( ) A．y＝2x 2＋x＋2 B．y＝x 2＋3x＋2 C．y＝x 2－2x＋3 D．y＝x 2－3x＋2 D
2·抛物线如图所示’根据图象可知,抛物线的解析式可能 是(D) A·y=x2-x-2 B·y x+2 C·y-22x+1 D x2+x+2
2．抛物线如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能 是( ) A．y＝x 2－x－2 B．y＝－ 1 2 x 2－ 1 2 x＋2 C．y＝－ 1 2 x 2－ 1 2 x＋1 D．y＝－x 2＋x＋2 D
3·抛物线y=ax2+bx+c(a0经过点(1,2)和(一1,-6)两点,则a+c 2 4·已知二次函数y=ax2+bx+c(a+0中自变量x和函数值y的部分对应值如 下表: 327 4 则该二次函数的解析式为y=x2+x-2
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(1，2)和(－1，－6)两点，则a＋c＝ ________ －2 ． 4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如 下表： 则该二次函数的解析式为__________________ y＝x 2＋x－2 ．
5·已知抛物线与x轴有两个交点(-1,0),(3,0),并且与y轴交点的纵坐 标为-6,则这个二次函数的解析式为y=2x2-4x-6 6·已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=4时,y=3;当x=-1时,y=-8 ;当x=2时,y=1求这个二次函数的解析式 16a+4b+c=3 解:根据题意’得a-b+c=-8”解得a=-5b=- 2 5 5 4a+3b+c=1 2,1721 555
5．已知抛物线与x轴有两个交点(－1，0)，(3，0)，并且与y轴交点的纵坐 标为－6，则这个二次函数的解析式为_________________． 6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝4时，y＝3；当x＝－1时，y＝－8 ；当x＝2时，y＝1.求这个二次函数的解析式． 解：根据题意，得 16a＋4b＋c＝3， a－b＋c＝－8， 4a＋3b＋c＝1， 解得 a＝－ 2 5 ，b＝ 17 5 ，c＝－ 21 5 . ∴y＝－ 2 5 x 2＋ 17 5 x－ 21 5 y＝2x2－4x－6
7·如图,二次函数y=ax2-4x+c的图象经过坐标原点,与x轴交于点 A(-4 (1)求二次函数的解析式 (2)在抛物线上存在点P,满足S△AO=8请直接写出点P的坐标
7．如图，二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过坐标原点，与x轴交于点 A(－4，0)． (1)求二次函数的解析式； (2)在抛物线上存在点P，满足S△AOP ＝8，请直接写出点P的坐标．
解:(1)由已知条件得 c=0, a=-1 a×(-4)2-4×(-4)+c=0.解得(=0所以,此二次高 数的解祈式为y=-x2-4x(2)∵点A的坐标为(-4,0),∴AO=4,设 点P到x轴的距离为h,则S△AOP=×4h=8解得h=4,⑦当点P在 x轴上方时,-x2-4x=4,解得x=-2所以,点P的坐标为(-2,4); ②当点P在x轴下方时,-x2-4x=-4,解得x1=-2+22,x2=-2 22,所以点P的坐标为(-2+22,-4)或(-2-22,-4),综上所 述,点P的坐标是(-2,4)或(-2+22,-4)或(-2-22,-4)
解：(1)由已知条件得 c＝0， a×（－4）2－4×（－4）＋c＝0， 解得 a＝－1， c＝0 所以，此二次函 数的解析式为 y＝－x 2－4x (2)∵点 A 的坐标为(－4，0)，∴AO＝4，设 点 P 到 x 轴的距离为 h，则 S△AOP＝ 1 2 ×4h＝8，解得 h＝4，①当点 P 在 x 轴上方时，－x 2－4x＝4，解得 x＝－2，所以，点 P 的坐标为(－2，4)； ②当点 P 在 x 轴下方时，－x 2－4x＝－4，解得 x1＝－2＋2 2，x2＝－2 －2 2，所以点 P 的坐标为(－2＋2 2，－4)或(－2－2 2，－4)，综上所 述，点 P 的坐标是(－2，4)或(－2＋2 2，－4)或(－2－2 2，－4)
8·如图所示,抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点 C(0,-3),设抛物线的顶点为D (1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标 (2)以B,C,D为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么?
8．如图所示，抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点 C(0，－3)，设抛物线的顶点为D. (1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标； (2)以B，C，D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
解:(1)设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.由抛物线与y轴交于点 C(0,-3),可知C=-3,即抛物线的解析式为y=ax2+bx-3把点A( b-3=0 1,0),B(3,0)代入,得 9a+3b-3=0. 解得a=1,b=-2,∴抛物线的 解祈式为y=x2-2x-3.∴顶点D的坐标为(1,-4)(2)以B,C,D为顶 点的三角形是直角三角形,理由如下:过点D分别作X轴'y轴的垂线 垂足分别为E,F.在R△BOC中,OB=3,0C=3,∴BC2=18.在Rt△ CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,CD2=2在Rt△BDE中, DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,∴.BD2=20.BC2+CD2=BD.故△ BCD为直角三角形
解：(1)设该抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋c.由抛物线与 y 轴交于点 C(0，－3)，可知 c＝－3，即抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx－3.把点 A(－ 1，0)，B(3，0)代入，得 a－b－3＝0， 9a＋3b－3＝0.解得 a＝1，b＝－2，∴抛物线的 解析式为 y＝x 2－2x－3.∴顶点 D 的坐标为(1，－4) (2)以 B，C，D 为顶 点的三角形是直角三角形．理由如下：过点 D 分别作 x 轴，y 轴的垂线， 垂足分别为 E，F.在 Rt△BOC 中，OB＝3，OC＝3，∴BC2＝18.在 Rt△ CDF 中，DF＝1，CF＝OF－OC＝4－3＝1，∴CD2＝2.在 Rt△BDE 中， DE＝4，BE＝OB－OE＝3－1＝2，∴BD2＝20.∴BC2＋CD2＝BD2 .故△ BCD 为直角三角形
类型之二:利用顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)求二次函数的解析式 9已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的解析式为(D) A·y=2(x+1)2+8 B·y=18x+1)2-8 C·y=(x-1)+8 D·y=2(x-1)2-8
类型之二：利用顶点式y＝a(x－h) 2＋k(a≠0)求二次函数的解析式 9．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( ) A．y＝2(x＋1)2＋8 B．y＝18(x＋1)2－8 C．y＝ 2 9 (x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8 D