第4课时黄金分割 、目标导航 1.黄金分割定义点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果ACAB=BCAC,那么称线段AB被点 C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比 AC√5 AB 20.618 基础过关 1.若点P是AB的黄金分割点,则线段AP、PB、AB满足关系式 2.黄金矩形的宽与长的比大约为 (精确到0.001) 3.电视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点 处最自然得体,若舞台AB长为20m,试计算主持人应走 到离A点至少 m处?,如果他向B点再走 m,也处在比较得体的位置.(结果精确到0.1m) B 三、能力提升 4.有以下命题:①如果线段d是线段a,b,c的第四比例项,则有b=d:②如果点C是线段AB 的中点,那么AC是AB、BC的比例中项:③如果点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,那 么AC是AB与BC的比例中项:④如果点C是线段AB的黄金分割点,AC>BC,且AB=2,则AC= 1.其中正确的判断有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.已知点M将线段AB黄金分割(A>BM,则下列各式中不正确的是() A. AM: BIEAB: AM D. A60. 618AB 6.已知C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则ACBC=() A.(√5-1):2B.(√5+1):2C.(3-√5):2D.(3+√):2
第 4 课时 黄金分割 一、目标导航 1．黄金分割定义:点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 AC:AB=BC:AC，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割．点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比． 2． 0.618 2 5 1 − = AB AC ． 二、基础过关 1．若点 P 是 AB 的黄金分割点，则线段 AP、PB、AB 满足关系式 ． 2．黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到 0．001）． 3．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点 处最自然得体，若舞台 AB 长为 20m，试计算主持人应走 到离 A 点至少 m 处？，如果他向 B 点再走 m，也处在比较得体的位置．（结果精确到 0．1m） 三、能力提升 4．有以下命题：①如果线段 d 是线段 a， b，c 的第四比例项，则有 d c b a = ；②如果点 C 是线段 AB 的中点，那么 AC 是 AB、BC 的比例中项；③如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC>BC，那 么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项；④如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC>BC，且 AB=2，则 AC= 5 －1．其中正确的判断有（ ） A． 1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5．已知点 M 将线段 AB 黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( ) A．AM∶BM=AB∶AM B．AM= 2 5 −1 AB C．BM= 2 5 −1 AB D．AM≈0．618AB 6．已知 C 是线段 AB 的黄金分割点(AC＞BC）， 则 AC∶BC = ( ) A． ( 5 －1)∶2 B． （ 5 +1）∶2 C．（3－ 5 ）∶2 D．（3+ 5 ）∶2
7.在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P,Q.则PQ=( A B.3-√5 8.已知线段MN=1,在MN上有一点A,如果AN= 求证:点A是MN的黄金分割点 四、聚沙成塔 9.如图,以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连结PD,在BA的延长线上取 点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上 (1)求AM、DM的长 (2)求证:AMF=ADDM (3)根据(2)的结论你能找出图中的黄金分割点吗? AB√5-1 10.如果一个矩形ABD(AB<BO中 ≈0.618,那么这个矩形称为黄金矩形,黄金矩形 给人以美感.在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF,得到一个小矩形ABFE(如图),请问矩形ABFE是 否是黄金矩形?请说明你的结论的正确性 参考答案 AP2=BP·AB或PB2=APAB;2.0618:3.76,4.8:4.C:5.C:6.B;7.C;
7．在长度为１的线段上找到两个黄金分割点Ｐ，Ｑ．则ＰＱ＝（ ） A ． 2 5 −1 B ．3 − 5 C． 5 − 2 D ． 2 3 − 5 8．已知线段 MN = 1，在 MN 上有一点 A，如果 AN = 2 3 − 5 ．求证：点 A 是 MN 的黄金分割点． 四、聚沙成塔 9．如图，以长为 2 的线段 AB 为边作正方形 ABCD，取 AB 的中点 P，连结 PD，在 BA 的延长线上取 点 F，使 PF=PD，以 AF 为边作正方形 AMEF，点 M 在 AD 上． （1）求 AM、DM 的长． （2）求证：AM2=AD·DM． （3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？ 10．如果一个矩形 ABCD(AB＜BC)中， 2 5 −1 = BC AB ≈0．618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形 给人以美感．在黄金矩形 ABCD 内作正方形 CDEF，得到一个小矩形 ABFE(如图)，请问矩形 ABFE 是 否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性． 参考答案 1． AP 2 =BP·AB 或 PB 2 =AP·AB；2．0.618；3．7.6，4.8；4．C；5．C；6．B；7．C；
8证得AM2=ANMN即可;9.(1)AM√5-1;DM=3-√5;(2)略;(3)点M是线段AD的黄金分割点 10.通过计算可得 AE√5-1 所以矩形ABFE是黄金矩
8 证得 AM 2 =AN·MN 即可；9．⑴AM= 5 －1；DM=3－ 5 ；⑵略；⑶点 M 是线段 AD 的黄金分割点； 10．通过计算可得 2 5 −1 = AB AE ，所以矩形 ABFE 是黄金矩形．