免费下载网址htt:jiaoxue5uys68.com 勾股定理 教学目标 1.了解勾股定理的证明,掌握勾股定理的内容,初步会用它进行有关的计算、作图和证明 2.通过勾股定理的应用,培养方程的思想和逻辑推理能力 3.对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究,对学生进行爱国主义教育 教学重点与难点 重点是勾股定理的应用;难点是勾股定理的证明及应用 教学过程设计 、激发兴趣引入课题 通过介绍我国数学家华罗庚的建议一一向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系,并说明勾股定 理是我国古代数学家于2000年前就发现了的,激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感,引入课题. 、勾股定理的探索,证明过程及命名 1.猜想结论 勾股定理叙述的内容是什么呢?请同学们也体验一下数学家发现新知识的乐趣 教师用计算机演示: (1)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对边分别为a,b和c,∠ACB=90°,使△ABC运动起来, 但始终保持∠ACB=90°,如拖动A点或B点改变a,b的长度来拖动AB边绕任一点旋转△ACB等 (2)在以上过程中,始终测算a2,b2,c2,各取以上典型运动的某一两个状态的测算值(约7 8个)列成表格,让学生观察三个数之间有何数量关系,得出猜想.(3)对比显示锐角三角形、钝角三角 形的三边的平方不存在这种关系,因此它是直角三角形所特有的性质.让学生用语言来叙述他的猜想,画 图及写出已知、求证 2.证明猜想 目前世界上可以査到的证明勾股定理的方法有几百种,连美国第20届总统加菲尔德于1881年也提供了 面积证法(见课本第109页图(4)),而我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很 多种证明方法,下面咱们采纳其中一种(教师制作教具演示,见如图3-151)来进行证明 3.勾股定理的命名 我国称这个结论为“勾股定理”,西方称它为“毕达哥拉斯定理”,为什么呢? 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 勾股定理 教学目标 1．了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关的计算、作图和证明． 2．通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力． 3．对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育． 教学重点与难点 重点是勾股定理的应用；难点是勾股定理的证明及应用． 教学过程设计 一、激发兴趣引入课题 通过介绍我国数学家华罗庚的建议——向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系，并说明勾股定 理是我国古代数学家于 2000 年前就发现了的，激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题． 二、勾股定理的探索，证明过程及命名 1．猜想结论． 勾股定理叙述的内容是什么呢？请同学们也体验一下数学家发现新知识的乐趣. 教师用计算机演示： （1）在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对边分别为 a，b 和 c， ∠ACB＝ 90°，使△ABC 运动起来， 但始终保持∠ACB＝90°，如拖动 A 点或 B 点改变 a ,b 的长度来拖动 AB 边绕任一点旋转△ACB 等． （2）在以上过程中，始终测算 a2，b2，c2，各取以上典型运动的某一两个状态的测算值（约 7～ 8 个）列成表格，让学生观察三个数之间有何数量关系，得出猜想．（3）对比显示锐角三角形、钝角三角 形的三边的平方不存在这种关系，因此它是直角三角形所特有的性质．让学生用语言来叙述他的猜想，画 图及写出已知、求证． 2．证明猜想． 目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种，连美国第 20 届总统加菲尔德于 1881 年也提供了一 面积证法（见课本第 109 页图（4）），而我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很 多种证明方法，下面咱们采纳其中一种（教师制作教具演示，见如图 3－151）来进行证明． 3．勾股定理的命名． 我国称这个结论为“勾股定理”，西方称它为“毕达哥拉斯定理”，为什么呢？
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.con (1)介绍《周髀算经》中对勾股定理的记载: (2)介绍西方毕达哥拉斯于公元前582~493时期发现了勾股定理 (3)对比以上事实对学生进行爱国主义教育,激励他们奋发向上 三、勾股定理的应用 1.已知直角三角形任两边求第三边 例1在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对边分别为a,b,c (1)a=6,b=8求c及斜边上的高:(2)a=40,c=41,求b;(3)b=15 求 (4)a:b=3:4,c=15,求b 说明:对于(1),让学生总结基本图形(图3-153)中利用面积求斜边上高的基本方法;对 于(4),引导学生利用方程的思想来解决问题 教师板书(1),(4)的规范过程,让学生练习(2),(3) 例2求图3-152所示(单位m)矩形零件上两孔中心A和B的距离(精确到0.1m) 教师就如何根据图纸上尺寸寻找直角三角形ABC中的已知条件,出示投影 练习1投影显示:(1)在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC:BC:AB (2)如图3-153∠ACB=90°,∠A=30°,则BC:AC:AB= 若AB=8,则AC 又若CD⊥AB,则CD= (3)等边出△ABC的边长为a,则高AD S△ABC= 说明 (1)学会利用方程的思想来解决问题 (2)通过此题让学生总结并熟悉几个基本图形中的常用结论: ①等腰直角三角形三边比为1:1 ②含30°角的直角三角形三边之比为1::2: ③边长为a的等边三角形的高为a,面积为 (板书)例3如图3-154,AB=AC=20,BC=32,△DAC=90°.求BD的长 分析: 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com （1）介绍《周髀算经》中对勾股定理的记载； （2）介绍西方毕达哥拉斯于公元前 582～493 时期发现了勾股定理； （3）对比以上事实对学生进行爱国主义教育，激励他们奋发向上． 三、勾股定理的应用 1．已知直角三角形任两边求第三边． 例 1 在 Rt△ABC 中，∠C＝ 90°，∠A，∠B，∠C 所对边分别为 a，b，c． （1）a＝ 6，b＝8 求 c 及斜边上的高；（2）a＝40，c＝41,求 b；（3）b＝15 ，＝25 求 a； (4)a:b＝3:4,c＝15,求 b． 说明：对于（1），让学生总结基本图形（图 3－153）中利用面积求斜边上高的基本方法；对 于（4），引导学生利用方程的思想来解决问题． 教师板书（1），（4）的规范过程，让学生练习（2），（3）． 例 2 求图 3－152 所示（单位 mm）矩形零件上两孔中心 A 和 B 的距离（精确到 0．lmm）． 教师就如何根据图纸上尺寸寻找直角三角形 ABC 中的已知条件，出示投影． 练习 1 投影显示： （1）在等腰 Rt△ABC 中， ∠C＝90°， AC:BC:AB＝__________； （2）如图 3－ 153 ∠ACB ＝90°，∠A= 30°，则 BC:AC:AB＝___________；若 AB＝8,则 AC ＝__________ ___；又若 CD⊥AB，则 CD=______________. （3）等边出△ABC 的边长为 a，则高 AD＝__________， S △ABC＝______________ 说明： （1）学会利用方程的思想来解决问题． （2）通过此题让学生总结并熟悉几个基本图形中的常用结论： ①等腰直角三角形三边比为 1:1: ； ②含 30°角的直角三角形三边之比为 1: :2； ③边长为 a 的等边三角形的高为 a，面积为 （板书）例 3 如图 3－154， AB＝AC＝20， BC＝32，△DAC＝ 90°．求 BD 的长． 分析：
免费下载网址ht:jiaoxue5u.ys.168.com (1)分解基本图形,图中有等腰△ABC和Rt△ADC; (2)添辅助线一一等腰△ABC底边上的高AE,同时它也是Rt△ADC斜边上的高 (3)设BD为X.利用图3-153中的基本关系,通过列方程来解决.教师板书详细过程 解:作AE⊥BC于E.设BD为x,则DE=16-x,AE=AC2-EC.又AD2=DE2+AE2=DC2-AC2,将上式代入,得 DE +AC2-EC2=DC-AC, B 2AC=DC+EC-DEZ 2×202=(32-x)2+162-(16-x)2,解得x=7 2.利用勾股定理作图 例4作长为 的线段 说明:按课本第101页分析作图即可,强调构造直角三角形的方法以及自己规定单位长 3.利用勾股定理证明 例5如图3-155,△ABC中,CD⊥AB于D,AC>BC. 求证:AC-BC2=AD2-BD2=AB(ADBD) 分析 (1)分解出直角三角形使用勾股定理 Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2:Rt△BCD中,BC2=CD2+BD2 (2)利用代数中的恒等变形技巧进行整理: (CD+BD) AD--BD (AD+BD) (AD-BD) =AB (AD-BD) 例6已知:如图3-156,Rt△ABC,∠ACB=90°,D为BC中点,DE⊥AB于E,求证:AC2=AE2-BE2. 分析:添加辅助线一——连结AD,构造出两个新直角三角形,选择与结论有关的勾股定理和表达式进行证 明 4.供选用例题 (1)如图3-157,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,BC=1.求△ABC的面积 提示:添加辅助线一—BA的中垂线D交BA于D,交AC于E,连结BE,构造出含30°角的直角三角形BCE, 同时利用勾股定理解决,或直接在∠ABC内作∠ABE=15°,交CA边于E 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com （1）分解基本图形，图中有等腰△ABC 和 Rt△ADC； （2）添辅助线——等腰△ABC 底边上的高 AE，同时它也是 Rt△AD C 斜边上的高； （3）设 BD 为 X．利用图 3－153 中的基本关系，通过列方程来解决．教师板书详细过程． 解: 作 AE⊥BC 于 E．设 BD 为 x,则 DE=16-x,AE2 =AC2 -EC2 .又 AD2 =DE2 +AE2 =DC2 -AC2，将上式代入，得 DE2 +AC2 -EC2 =DC2 -AC2，即 2AC2 = DC2 +EC2 -DE2． ∴2×202 =（32-x）2 +162 -(16-x)2 ,解得 x=7. 2．利用勾股定理作图． 例 4 作长为 的线段． 说明：按课本第 101 页分析作图即可，强调构造直角三角形的方法以及自己规定单位长． 3．利用勾股定理证明． 例 5 如图 3-155，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，AC>BC. 求证：AC2 -BC2 =AD2 -BD2 =AB（AD-BD）． 分析： （1） 分解出直角三角形使用勾股定理． Rt△ACD 中，AC2 =AD2 +CD2；Rt△BCD 中，BC2 =CD2 +BD2． （2）利用代数中的恒等变形技巧进行整理： AC2 -BC2 =（AD2 +CD2）-（CD2 +BD2） =A D 2 -BD2 ＝（AD+BD）（AD-BD） ＝AB（AD-BD）． 例 6 已知：如图 3-156，Rt△ABC,∠ACB=90°,D 为 BC 中点，DE⊥AB 于 E，求证：AC2=AE2-BE2． 分析：添加辅助线———连结 AD，构造出两个新直角三角形，选择与结论有关的勾股定理和表达式进行证 明． 4．供选用例题． （1） 如图 3-157，在 Rt△ABC 中 ,∠C=90°，∠A=15°，BC=1．求△ABC的面积． 提示：添加辅助线——BA 的中垂线 DE 交 BA 于 D，交 AC 于 E，连结 BE，构造出含 30°角的直角三角形 BCE， 同时利用勾股定理解决，或直接在∠ABC 内作∠ABE=15°，交 CA 边于 E．
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ (2)如图3-158,△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,BC=8.求AC边的长 分析:添加辅助线一一作CD⊥AB于D,构造含45°,30°角的直角三角形列方程解决问题 (3)如图3-159(a),在四边形ABCD中,∠B= ∠D=90°,∠C=60°,AD=1,BC=2,求AB,CD. 提示:添加辅助线——延长BA,CD交于E,构造30°角的Rt△EAD,Rt△EBC.利用它们的性质来解决问题 (见图3-159(b)).或将四边形ABCD分割成含30°的直角三解形及矩形来解决问题.(见图3-159(c)) 答案:AB=23-2,CD=4-3. (4)已知:3-160(a),矩形ABCD.(四个角是直角) ①P为矩形内一点,求证PA2+PC=PB2+PD ②探索P运动到AD边上(图3-160(b))、矩形ABCD外(图3-160(C))时,结论是否仍然成立 分析: (1)添加辅助线一一过P作EF⊥BC交AD干E,交BC于F.在四个直角三角形中分别 使用勾股定理 (2)可将三个题归纳成一个命题如下: 矩形所在平面上任一点到不相邻顶点的距离的平方和相等 四、师生共同回忆小结 1.勾股定理的内容及证明方法 2.勾股定理的作用:它能把三角形的形的特征(一角为90°)转化为数量关系,即三边满足a2+b2=c2 3.利用勾股定理进行有关计算和证明时,要注意利用方程的思想求直角三角形有关线段 长:利用添加辅助线的方法构造直角三角形使用勾股定理. 五、作业 1.课本第106页第2~8题. 2.阅读课本第109页的读一读:勾股定理的证明 课堂教学设计说明 本教学设计需2课时完成 1.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系,是直角三角形的一个重要性质.本教学设计利用计 算机(几何画板软件动态显示)的优越条件,提供足够充分的典型材料一一形状大小、位置发生变化的各 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com （2） 如图 3-158，△ABC 中，∠A=45°，∠B=30°，BC=8．求 AC 边的长． 分析：添加辅助线——作 CD⊥AB 于 D，构造含 45°，30°角的直角三角形列方程解决问题． （3）如图 3-159（a），在四边形 ABCD 中，∠B= ∠D=90°，∠C=60°，AD=1，BC=2，求 AB，CD． 提示：添加辅助线——延长 BA，CD 交于 E，构造 30°角的 Rt△EAD,Rt△EBC.利用它们的性质来解决问题 （见图 3-159（b））.或将四边形 ABCD 分割成含 30°的直角三解形及矩形来解决问题．（见图 3-159（c）） 答案：AB=23-2，CD=4-3． （4）已知：3-160（a）,矩形 ABCD．（四个角是直角） ①Ｐ为矩形内一点，求证 PA２＋ PC2＝ PB2＋ PD2 ②探索 P 运动到 AD 边上（图 3－160（b））、矩形 ABCD 外(图 3－160（C）)时，结论是否仍然成立． 分析： （1）添加辅助线——过 P 作 EF⊥BC 交 AD 干 E，交 BC 于 F．在四个直角三角形中分别 使用勾股定理． （2）可将三个题归纳成一个 命题如下： 矩形所在平面上任一点到不相邻顶点的距离的平方和相等． 四、师生共同回忆小结 1．勾股定理的内容及证明方法． 2．勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角为 90°）转化为数量关系，即三边满足 a 2 +b2 =c 2 . 3．利用勾股定理进行有关计算和证明时，要注意利用方程的思想求直角三角形有关线段 长；利用添加辅助线的方法构造直角三角形使用勾股定理． 五、作业 1．课本第 106 页第 2～8 题． 2．阅读课本第 109 页的读一读：勾股定理的证明． 课堂教学设计说明 本教学设计需 2 课时完成． 1．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的一个重要性质．本教学设计利用计 算机（几何画板软件动态显示）的优越条件，提供足够充分的典型材料——形状大小、位置发生变化的各
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.con 种直角三角形,让学生观察分析,归纳概括,探索出直角三角形三边之间的关系式,并通过与锐角、钝角 三角形的对比,强调直角三角形的这个特有性质,体现了启发学生独立分析问题、发现问题、总结规律的 教学方法 各学校根据自己的教学条件还可以采纳以下类比联想的探索方式来引入新课 (1)复习三角形三边的关系,总结出规律:较小两边的和大于第三边 (2)引导学生类比联想:较小两边的平方和与第三边的平方有何大小关系呢? (3)举出三个事例(见图3-161(a)(b)(c) 对比发现锐角、钝角三角形中两较小边的平方和分别大于或小于第三边的平方,直角三角形中较小两边的 平方和等于第三边的平方 (4)用教具演示图3-151,验证对直角三角形所做的猜想 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址 jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 种直角三角形，让学生观察分析，归纳概括，探索出直角三角形三边之间的关系式，并通过与锐角、钝角 三角形的对比，强调直角三角形的这个特有性质，体现了启发学生独立分析问题、发现问题、总结规律的 教学方法． 2．各学校根据自己的教学条件还可以采纳以下类比联想的探索方式来引入新课． （1）复习三角形三边的关系，总结出规律：较小两边的和大于第三边． （2）引导学生类比联想：较小两边的平方和与第三边的平方有何大小关系呢？ （3）举出三个事例（见图 3－161（a）（b）（ c））． 对比发现锐角、钝角三角形中两较小边的平方和分别大于或小于第三边的平方，直角三角形中较小两边的 平方和等于第三边的平方． （4）用教具演示图 3－151，验证对直角三角形所做的猜想