中国人民大学：《博弈论》课程教学资源（讲义）第二章完全信息静态博弈.pdf_大学文库

1 第二章完全信息静态博弈一、博弈的标准式和纳什均衡二、混合策略和纳什均衡的存在性三、二人零和博弈四、应用举例一、博弈的标准式和纳什均衡 1、博弈的标准式表述 2、重复剔除严格劣战略 3、纳什均衡标准式的三要素 (1) 参与人(或称为博弈方） (2) 每个参与人可选择的战略集 (3) 收益：针对所有参与人可选择的战略组合，每一个参与人获得的收益 1、博弈的标准式表述举例：囚徒困境（用双变量矩阵来描述）双变量矩阵可由任意多的行和列组成，“双变量” 指的是在两个博弈方的博弈中，每一个单元格有两个数字，分别表示两个参与者的收益。 -5， -5 0， -8 -8， 0 -1， -1 坦白不坦白坦白不坦白囚徒2 囚徒 1 1、博弈的标准式表述横行代表囚徒1的收益，在两个数字中放在前面；列行代表囚徒2的收益，在两个数字中放在后面。 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1, 1 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1, 1 1，-1 -1, 1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1, 1 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 1，-1 1，-1 -1, 1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1, 1 1，-1 1，-1 3，-3 一、博弈的标准式表述举例：齐王田忌赛马齐王上中下上下中中上下中下上下上中下中上上中下上下中中上下中下上下上中下中上田忌注： ① 同时选择战略，不意味着行动必须是同时的； ②标准式不仅可用来描述静态博弈，也可以用来描述序贯行动的动态博弈，只不过在分析问题时，扩展式博弈更常用。 11:53:31 6 假设一个博弈有n个博弈方，博弈方i的策略集(又称策略空间) 为Si (i=1,2,…,n) ，用sij∈ Si表示博弈方i的第j个策略；若si∈Si (i=1,2,…,n),称s=(s1 ,s2 , … ,sn )为一个策略组合；若用s-i = (s1 ,s2 , … ,si-1, si+1, … ,sn ),则 s = (si ,s-i)。博弈的数学表述 1、博弈的标准式表述

2 11:53:31 7 用ui (s)=ui (s1 ,s2 , … ,sn ) (i=1,2,…,n)表示博弈方i 在策略组合s=(s1 ,s2 , … ,sn )的得益, ui是策略集 S1×S2×…×Sn上的多元函数。 定义：若一个N人博弈的策略空间为Si ,得益函数为： ui (s)=ui (s1 ,s2 , … ,sn )(i=1,2,…,n),则该博弈表示为： G={N,S1 ,S2 , … ,Sn；u1 ,u2 ,…,un } 。一、博弈的标准式表述 (1)、占优均衡如果一个博弈的某个策略组合中的所有策略都是各个博弈方各自的上策，那么这个策略组合肯定是所有博弈方都愿意选择的，必然是该博弈比较稳定的结果。我们称这样的策略组合为该博弈的一个“占优均衡” （Dominant-strategy Equilibrium）。  占优均衡是博弈分析中最基本的均衡概念之一，占优均衡分析是最基本的博弈分析方法。  囚徒的困境博弈中的（坦白，坦白）实际上就是一个占优均衡。 2、重复剔除严格劣战略 (2)、占优均衡分析的局限性  并非每个博弈方都有这种绝对偏好的上策，而且常常是所有博弈方都没有上策，因为博弈方的最优策略随其他博弈方的策略而变化正是博弈问题的根本特征，是博弈关系相互依存性的主要表现形式。  因此占优均衡不是普遍存在的。  例如赛马博弈就没有占优均衡，因为各个博弈方的任何策略都不是绝对最优的，每个博弈方都没有绝对偏好的上策。所以，占优均衡并不能解决所有的博弈问题，最多只是在分析少数博弈时有效。 2、重复剔除严格劣战略 (3)、重复剔除严格劣战略  ①、思路和原理  反思占优均衡分析的思路，不难发现占优均衡分析釆用的决策思路是一种选择法的思路，是在所有可选择策略中选出最好一种。  剔除法与选择法在思路上正好相反，它是通过对可选策略的相互比较，把不可能采用的较差策略排除掉，从而筛选出较好的策略，或者至少缩小候选策略的范围。这种剔除法的思路导出了博弈分析中的重复剔除严格劣战略法（Iterated Elimination of Strictly Dominated Strategies）。 2、重复剔除严格劣战略  定义一般地，如果在一个博弈中，不管其他博弈方的策略如何变化，一个博弈方的某种策略给他带来的得益，总是比另一种策略给他带来的得益要小，那么我们称前一种策略为相对于后一种策略的一个“严格劣策略”。 2、重复剔除严格劣战略  ②举例为了说明重复剔除严格劣策略法与占优均衡分析的区别，我们用一个例子来说明。首先看下图中这个抽象掉现实问题内容的，两个博弈方分别有三种和两种策略的不对称博弈问题。博弈方 1 博弈方2 1, 0 1, 3 0, 1 0, 4 0, 2 2, 0 上下左中右博弈方 1 博弈方2 1, 0 1, 3 0, 4 0, 2 上下左中博弈方 1 博弈方2 上 1, 0 1, 3 左中博弈方2 上 1, 3 中 2、重复剔除严格劣战略

3 ③重复剔除严格劣策略法的缺陷  重复剔除严格劣策略也不能解决所有博弈的分析问题。因为在许多博弈问题中，上述相对意义上的严格劣策略往往不存在。如猜硬币、齐威王田忌赛马、石头，剪子，布等赌胜博弈，没有任何博弈方的任何策略是相对其他策略的严格劣策略。  此外，在策略数较多的博弈中，重复剔除严格劣策略法只能消去其中的部分策略，不能消去的策略组合并不惟一，因此仍然不能完全解决这些博弈问题。 2、重复剔除严格劣战略（4）、划线法 ①思想在具有策略和利益相互依存性的博弈问题中，各个博弈方的收益既取决于自己选择的策略，还与其他博弈方选择的策略有关，因此博弈方在决策时必须考虑其他博弈方的存在和策略选择。根据这种思想，科学的决策思路应该是：先找出自己针对其他博弈方每种策略的最佳对策，即自己的可选策略中与其他博弈方的策略配合，给自己带来最大收益的策略（这种相对最佳对策总是存在的，不过不一定惟一），然后在此基础上，通过对其他博弈方策略选择的判断，包括对其他博弈方对自已策略判断的判断等，预测博弈的可能结果和确定自己趵最优策略。 2、重复剔除严格劣战略 ②举例博弈方 1 博弈方2 1, 0 1, 3 0, 1 0, 4 0, 2 2, 0 上下左中右 2、重复剔除严格劣战略例1 -5， -5 0， -8 -8， 0 -1， -1 坦白不坦白坦白不坦白囚徒2 囚徒 1 划线法分析囚徒困境 2、重复剔除严格劣战略例2  划线法是一种非常简便的博弈分析方法，由于它以策略之间的相对优劣关系为基础，因此在分析用收益矩阵表示的博弈问题时具有普遍适用性。  当然，这并不意味着每个用收益矩阵表示的博弈都可以用划线法求出确定性的博弈结果。  事实上，许多博弈根本不存在确定性的结果，当然也就无法用划线法找出这种结果。我们通过一些例子来说明。 2、重复剔除严格劣战略 -1， 1 1， -1 1， -1 -1， 1 正面反面正面反面猜硬币方盖硬币方例3、猜硬币博弈 2、重复剔除严格劣战略

4 2， 1 0，0 0， 0 1， 3 时装足球时装足球丈夫妻子划线法分析夫妻之争 2、重复剔除严格劣战略例4、夫妻博弈  通过划线法找出的具有稳定性的策略组合，不管是否惟一，都有一个共同的特性，即其中每个博弈方的策略都是针对其他博弈方策略或策略组合的最佳对策。  在两人博弈的情况下，就是“给定你的策略,我的策略是我最好的策略；给定我的策略，你的策略也是你最好的策略”。事实上，具有这种性质的策略组合，正是非合作博弈理论中最重要的一个解概念，即博弈中的“纳什均衡”（Nash Equilibrium）。 3、纳什均衡 * i s 在博弈中，如果由各个博弈方的各一个策略组成的某个策略组合中，任一博弈方i的策略，都是对其余博弈方策略的组合的最佳对策，也即对任意都成立，则称为的一个纳什均衡。 ( , ) * * i n s s { , ; , } G S1 Sn u1 un ( , , , ,... ) ( , , , ,... ) * * 1 * 1 * 1 * * 1 * * 1 * i 1 i i i n i i ij i n u s s s s s u s s s s s        ij i s S ( , ) * * i n s s { , ; , } G S1 Sn u1 un ( , , ,... ) * * 1 * 1 * 1 i i n s s s s    也称之为纯策略纳什均衡（Pure-strategy Nash Equilibrium, PNE） 3、纳什均衡 ①、纳什均衡的定义 11:53:31 22 ②、纳什均衡的一致预测性 一致预测性是指这样一种性质：如果所有博弈方都预测一个特定的博弈结果会出现，那么所有的博弈方都不会利用该预测或者这种预测能力，选择与预测结果不一致的策略，即没有哪个博弈方有偏离这个预测结果的愿望，因此这个预测结果最终真会成为博弈的结果。即：如果所有博弈方都预测一个特定的纳什均衡会出现，那么，没有人有兴趣作不同的选择。 一致预测性是纳什均衡的本质属性。 一致预测性使纳什均衡是稳定的和自我强制的。 3、纳什均衡 ③、纳什均衡与重复剔除严格劣策略 3、纳什均衡  占优均衡和纳什均衡之间的关系是：占优均衡是包含在纳什均衡范围之内的，占优均衡肯定是纳什均衡，但纳什均衡不一定是占优均衡。  划线法与纳什均衡的关系更清楚，前两者正是在可以用得益矩阵表示的博弈中寻找纳什均衡的方法。  纳什均衡和重复剔除严格劣策略法之间的关系要复杂一些，关键是这两者之间是否存在相容性，也即重复剔除严格劣策略法是否会消去纳什均衡？对于纳什均衡和重复剔除严格劣策略法的关系，下面的两个定理给出了答案。 24 定理1：在n个博弈方的博弈G={S1 ,S2 , … ,Sn； u1 ,u2 ,…,un } 中，如果s * =(s1 * ,s2 * , … ,sn * )是G的一个纳什均衡，那么重复剔除严格劣策略法一定不会将它消去。 3、纳什均衡 定理2：在n 个博弈方的博弈G中，如果重复剔除严格劣策略法排除了除s * =(s1 * ,s2 * ,…,sn * )之外的所有策略组合，那么s *一定是该博弈惟一的纳什均衡

5 二、混合策略和纳什均衡的存在性  前面介绍的纳什均衡分析方法可以相当圆满地解决许多博弈问题。但如果博弈中不存在纳什均衡或者纳什均衡不惟一，如猜硬币、齐威王田忌赛马或夫妻之争博弈那样、那么前述纳什均衡分析就无法对博弈方的选择和博弈结果作明确的预测，无法给博弈方提供明确的建议。  因此到目前为止介绍的纳什均衡分析方法，还不能完全满足完全信息静态博弈分析的需要。  为此，本节将对不存在纳什均衡和存在多个纳什均衡的博弈作一些讨论，关键是要引进在分析这两类博弈时非常重要的“混合策略”和“混合策略纳什均衡” （Mixsd-strategy Nash Equilibrium, MNE）概念。二、混合策略和纳什均衡的存在性 1、严格竞争博弈和混合策略的引进 2、多重均衡博弈和混合策略 3、混合策略和严格下策反复消去法 4、混合策略反应函数 5、纳什均衡的存在性 6、多重纳什均衡博弈的分析 11:53:31 26 1、严格竞争博弈和混合策略的引进  我们首先对各博弈方的利益和偏好始终不一致的，在通常策略的基础上没有纳什均衡的博弈问题进行分析。这类博弈也可以称为“严格竞争博弈"。  前面介绍猜硬币博弈和齐威王田忌赛马博弈时曾经说过，如果这些傅弈只进行一次，那么我们无法明确预测博弈的结果，不管是哪个博弈方，也不管他们选择的是哪个策略，都不能保证得到较好的结果。  通过前面的分析我们进一步知道，之所以上述博弈没有可预测的明确结果，不能确定博弈方的策略，根本原因在于这些博弈中没有纳什均衡策略组合。  那么这是否意味着在这样的博弈中，各个博弈方选择任何策略都是一样的，因此可以随意选择呢？ 1、严格竞争博弈和混合策略的引进  这个问题的答案是否定的。事实上，在这些博弈中，博弈方的选择仍然是很有讲究的，策略选择的好坏对博弈方的利益仍然有很大的影响。  齐威王田忌赛马博弈和猜硬币博弈时，我们已经简单讨论过这两个博弈中各个博弈方策略选择的基本原则。当时得出的结论是，在这两个博弈中，各博弈方必须保证自身策略选择的随机性，以防止其他博弈方猜到自己的策略，或利用自己对策略选择的偏好获利。  这里我们以猜硬帀博弈为例，进一步沿着这种思路分析此类博弈中博弈方的策略选择和博弈结果。 1、严格竞争博弈和混合策略的引进  （1）猜硬币博弈 11:53:31 29 -1， 1 1， -1 1， -1 -1， 1 正面反面猜硬币方盖硬币方正面反面（A）不存在前面定义的纳什均衡策略组合（B）关键是不能让对方猜到自己策略这类博弈很多，引出混合策略纳什均衡概念  （2）混合策略、混合策略博弈和混合策略纳什均衡 混合策略：在博弈中，博弈方i的策略空间为，则博弈方i以概率分布随机在其k个可选策略中选择的“策略”，称为一个“混合策略”，其中对j=1，···，k都成立，且 11:53:31 30 ( , ) pi  pi1 pik 0  pij  1 pi1    pik  1 G  { , ; , } 1 n 1 n S S u u Si { , } i1 ik s  s 1、严格竞争博弈和混合策略的引进

6 混合策略扩展博弈：当把博弈方在混合策略的策略空间（概率分布空间）的选择看作一个博弈时，就是原博弈的“混合策略扩展博弈”。 混合策略纳什均衡：包含混合策略的策略组合构成的纳什均衡称为“混合策略纳什均衡”。 11:53:31 31 1、严格竞争博弈和混合策略的引进 2， 3 5， 2 3， 1 1， 5 C D A B 博弈方2 博弈方 1  该博弈无纯策略纳什均衡，可用混合策略纳什均衡分析  首先，本博弈中两博弈方决策的第一个原则，同样也是不能让对方猜到自己的选择，因而必须在决策时利用随机性。  第二个原则是他们选择每种策略的概率一定要恰好使对方无机可乘，即让对方无法通过针对性地倾向某一策略而在博弈中占上风。 3 1  2  5 A B A B p p p p  2  5  3 1 C D C D p p p p 3 1  2  5 A B A B p p p p  2  5  3 1 C D C D p p p p 1、严格竞争博弈和混合策略的引进 (3)一个例子 2， 3 5， 2 3， 1 1， 5 C D A B 博弈方2 博弈方 1 混合策略纳什均衡结果                          1 1 2 5 3 1 3 1 2 5 C D A B C D C D A B A B p p p p p p p p p p p p            0.2 0.8 0.2 0.8 D C B A p p p p                              0.8 0.8 3 0.8 0.2 1 0.2 0.8 2 0.2 0.2 5 2.6 0.8 0.8 2 0.8 0.2 5 0.2 0.8 3 0.2 0.2 1 2.6 2 1 e e u u 1、严格竞争博弈和混合策略的引进 (4)齐威王田忌赛马 11:53:31 34 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 -1，1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3 上中下上下中中上下中下上上下中下中上上中下上下中中上下中下上下上中下中上田忌齐威王收益矩阵 1、严格竞争博弈和混合策略的引进 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 -1，1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3 上中下a 上中下b 上中下c 上中下d 上中下e 上中下f 上中下g 上中下h 上中下i 上中下j 上中下k 上中下l 田忌齐威王得益矩阵 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 -1，1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 3，-3 1，-1 1，-1 1，-1 -1，1 1，-1 1，-1 3，-3 上中下a 上中下b 上中下c 上中下d 上中下e 上中下f 上中下g 上中下h 上中下i 上中下j 上中下k 上中下l 田忌齐威王得益矩阵 a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 3 3 3 3 3 3                                         pa  pb  pc  pd  pe  pf 1 6      1 6 g h i j k l p p p p p p                      ( 3 1 1 1 1 1) 1 6 1 (3 1 1 1 1 1) 1 6 1 e e u u 田忌齐威王 该博弈中,齐威王和田忌都以1/6的相同概率随机选择各自的六个纯策略,构成本博弈唯一的纯策略纳什均衡。 在上述混合策略下,齐威王的得益为: 1/6(3+1+1+1+1-1)=1 田忌的得益为: 1/6(1-3-1-1-1-1)=-1 即经过多次进行这样的赛马,齐威王平均每次能赢田忌一千斤铜,这是因为齐威王三匹马的总体实力略胜田忌的三匹马的缘故。 11:53:31 36 1、严格竞争博弈和混合策略的引进

7  因为对博弈论的贡献而成为1994年经济学诺贝尔奖得主之一的塞尔腾（Selten）教授，1996年3月在上海的一次讲演中，举了一个小偷和守卫之间博弈的例子。  一小偷欲偷窃有一守卫看守的仓库，如果小偷偷窃时守卫在睡觉，则小偷就能得手，偷得价值为V的赃物；如果小偷偷窃时守卫没有睡觉，则小偷就会被抓住。设小偷被抓住后要坐牢，负效用为-P，守卫睡觉而未遭偷窃有S的正效用，因睡觉被窃要被解雇，其负效用为-D。而如果小偷不偷，则他既无得也无失，守卫不睡意味着出一份力挣一份钱，他也没有得失。  根据上述假设，小偷在该博弈中有“偷”和“不偷” 两种可选策略，守卫有“睡”和“不睡”两种可选策略，双方的得益矩阵如下图所示。 (5)小偷和守卫的博弈 1、严格竞争博弈和混合策略的引进小偷和守卫的博弈的混合策略纳什均衡 V，-D -P，0 0，S 0，0 睡不睡偷不偷守卫小偷 V，-D -P，0 0，S 0，0 睡不睡偷不偷守卫小偷 0 - D - D’ 守卫得益(睡) S Pt 小偷 1 偷的概率 0 - D - D’ 守卫得益(睡) S Pt 小偷 1 偷的概率 * Pt *' Pt 0 - P - P’ 小偷得益(偷) V Pg 守卫 1 睡的概略 0 - P - P’ 小偷得益(偷) V Pg 守卫 1 睡的概略 * Pg * Pg 在小偷和守卫的博弈中，小偷分别以概率Pt*和1-Pt*随机选择 “偷”与“不偷”，守卫分别以概率Pg*和1- Pg*随机选择“睡”与“不睡”时，双方都不能通过改变策略或概率改善自己的期望得益，因此构成混合策略纳什均衡，这也是该博弈惟一的纳什均衡。 (小偷偷的概率应使守卫睡与不睡的收益相同，即为0；守卫睡觉的概率应使小偷偷与不偷的收益相同，即期望收益为0)                        (1 ) ( ) 0 (1 ) 0 ( ) (1 ) 0 (1 ) 0 g g g g t t t t p V p P p p V，-D -P，0 p D p S p p 0，S 0，0 睡不睡偷不偷守卫小偷 V，-D -P，0 0，S 0，0 睡不睡偷不偷守卫小偷 pt g p 1pt g 1p          V P P p S D S p g t * * 激励的悖论: 1.加重对守卫的处罚(D)，短期中的效果是使守卫尽职，在长期中并不能使守卫更尽职，但会降低盗窃发生的概率； 2.加重对小偷的处罚(P)，短期内能抑制盗窃发生率，长期并不能降低盗窃发生率，但会使得守卫更多的偷懒睡觉。 p (C)1 p (F)0  p (C)0 p (F)3 w w w w p (C)2 p (F)0  p (C)0 p (F)1 h h h h 妻子的混合策略丈夫的混合策略夫妻之争博弈的混合策略纳什均衡策略得益妻子（0.75，0.25） 0.67 丈夫（1/3，2/3） 0.75 2， 1 0， 0 0， 0 1， 3 时装足球时装足球丈夫妻子夫妻之争 2， 1 0， 0 0， 0 1， 3 时装足球时装足球丈夫妻子夫妻之争不难发现，这个结果明显不如夫妻双方能交流协商时，任何一方迁就另一方时双方的得益好，因为那时任何一方都至少得1。这是因为双方缺乏沟通时很可能出现最差结果而造成的。  夫妻之争的混合策略纳什均衡 2、多重均衡博弈和混合策略 3、混合策略和重复剔除严格劣策略法  在包括混合策略的情况下，关于重复剔除严格劣策略法的结论仍然是成立的。即：  ①任何博弈方都不会采用任何严格劣策略，不管它们是纯策略还是混合策略；  ②重复剔除严格劣策略法不会消去任何纳什均衡，包括纯策略纳什均衡和混合策略纳什均衡；  ③如果经过重复剔除后留下的策略组合是惟一的，那么一定是纳什均衡。  因此，在考虑混合策略的情况下，我们仍然可利用重复剔除严格劣策略法进行分析，而且实际上引进混合策略只有使重复剔除严格劣策略法的用处更大。一个数值例子  在这个博弈中，博弈方1有U、M和D三种可选策略，博弈方2有L和R两种可选策略。  不难发现在纯策略的意义上，该博弈中不存在任何严格下策。因此，如果我们只考虑纯策略，那么两个博弈方都没有任何严格下策，因而严格下策反复消去法就无从运用。 3， 1 0， 2 0， 2 3， 3 1， 3 1， 1 L R UM D 博弈方2 博弈方1 3， 1 0， 2 0， 2 3， 3 1， 3 1， 1 L R UM D 博弈方2 博弈方1 3、混合策略和重复剔除严格劣策略法

8  但是，如果我们允许博弈方1采取混合策略，情况就会有所不同。设博弈方1采取如下的混合策略：  以概率分布(0.5, 0.5, 0) 随机选择U、M、D，即各一半机会选U、M，不选D。  那么与这个混合策略相比，D一定是博弈方1的严格下策。Why?  当博弈方2釆用纯策略L时，博弈方1用上述混合策略的期望得益为： 2 3 2 1 2 1 1   3   0  0  1  e u  当博弈方2釆用纯策略R时，博弈方1用上述混合策略的期望得益为： 3， 1 0， 2 0， 2 3， 3 1， 3 1， 1 L R UM D 博弈方2 博弈方1 3， 1 0， 2 0， 2 3， 3 1， 3 1， 1 L R UM D 博弈方2 博弈方1 2 3 2 1 2 1 1   0   3  0  1  e u  即使博弈方2也采用混合策略(q, 1-q)，博弈方1釆用上述混合策略的期望得益还是: 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 1 u  q3 (1q)0 q0 (1q)3  e  也就是说，不管博弈方2采用哪种策略，包括所有可能的纯策略和所有混合策略(对应q的不同值)，博弈方1采用上述混合策略的期望得益始终为3/2，都大于采用D策略时能得到的确定性得益1。因此D策略相对于混合策略(0.5, 0.5, 0)是严格下策。 4、混合策略反应函数 在混合策略的范畴内,博弈方的决策内容为选择概率分布,反应函数就是一方对另一方的概率分布的反应,同样也是一定的概率分布。 11:53:31 44 夫妻之争博弈 11:53:31 45 2， 1 0， 0 0， 0 1， 3 时装足球丈夫时装足球妻子夫妻之争 r q 1 1/3 1 3/4 (r,1-r)：妻子的混合策略概率分布 (q,1-q)：丈夫的混合策略概率分布 ( ) 2 q  R r ( ) r  R1 q 4、混合策略反应函数 5、纳什均衡的存在性  纳什定理 纳什在他1950年的经典论文中，首先提出了他自己称为“均衡点”的纳什均衡概念，并且同时证明了在相当广泛的博弈类型中，混合策略意义上的纳什均衡是普遍存在的。这个经典成果可以表述为下述定理： 纳什定理（Nash 1950）：在一个有n个博弈方的博弈G = {S1，…Sn；u1，…un}中，如果n是有限的，且Si都是有限集（对n = 1,…,n），则该博弈至少存在一个纳什均衡，但可能包含混合策略。 用更通俗的语言，这个定理就是说“每一个有限博弈都至少有一个混合策略纳什均衡”。 11:53:31 46 6、多重纳什均衡博弈的分析 （1）帕累托上策均衡 （2）风险上策均衡 （3）聚点均衡 （4）相关均衡 11:53:31 47  事实上，并不是所有多重纳什均衡博弈都会导致分析的困难。因为虽然有些博弈中存在多个纳什均衡，但很可能这些纳什均衡有明显的优劣差异，所有博弈方都偏好其中同一个纳什均銜。  换句话说，可能有这些纳什均衡中的某一个，给所有博弈方带来的利益，都大于其他所有纳什均衡会带来的利益。这时候博弈方的选择倾向性就会是一致的，各个博弈方不仅自己会选择该纳什均衡的策略，而且可以预料其他博弈方也会选择该纳什均衡的策略，因此不会有选择困难。事实上，本章前面的讨论中已经用了这样的思想。  上述多重纳什均銜选择所依据的，实际上就是帕累托效率意义上的优劣关系，因此用这种方法选择出来的纳什均衡，也称为“帕累托占优均衡”。（1）、帕累托占优均衡

9 11:53:31 49 （1）帕累托占优均衡（鹰鸽博弈）这个博弈中有两个纯策略纳什均衡，（战争，战争）和（和平，和平），显然后者帕累托优于前者，所以，（和平，和平）是本博弈的一个帕累托占优均衡。 -5， -5 -10， 8 8， -10 10， 10 战争和平国家2 战争和平国家 1 战争与和平（2）、风险占优均衡(Risk-dominant Equilibrium)  在存在帕累托效率意义上优劣关系的情况下，帕累托上策均衡作为均衡选择的基本法则是容易理解的。  不过帕累托上策均衡并不是有强制力的法则，这一点根据上面对战争与和平博弈的讨论我们就可以感觉到。  此外更重要的是：其他某种同样是合理的选择逻辑的作用会超过帕累托效率的选择逻辑，因此即使是完全理性的决策者也不一定会选帕累托上策均衡。 11:53:31 51 （2）风险占优均衡考虑、顾及其他博弈方可能发生错误等情况时，帕累托上策均衡并不一定是最优选择，需要考虑：风险占优均衡。下面就是两个例子。 9， 9 8， 0 0， 8 7， 7 L R 博弈方2 U D 博弈方 1 风险上策均衡（D，R） 5， 5 3， 0 0， 3 3， 3 鹿兔子猎人2 鹿兔子猎人 1 猎鹿博弈风险上策均衡（兔子，兔子）（3）、聚点均衡  在多重纳什均衡的博弈中，双方同时选择一个聚点构成的纳什均衡称为“聚点均衡” (Focal Points Equilibrium)。  聚点均衡首先是纳什均衡，是多重纳什均銜中比较容易被选择的纳什均衡。  这个点之所以成为“聚点”，是因为博弈各方的文化和经验使他们相信这个点是大家都容易想到的、习惯选择的点。聚点均衡利用博弈设定以外的信息和依据选择的均衡文化、习惯或者其他各种特征都可能是聚点均衡的依据  城市博弈（城市分组相同）、时间博弈（报出相同的时间）是聚点均衡的典型例子。  聚点均衡确实反映了人们在多重纳什均衡选择中的某些规律性，但因为它们涉及的方面众多，因此虽然对每个具体的博弈问题可能可以找出聚点，但对一般的博弈却很难总结普遍规律，只能具体问题具体分析。（4）、相关均衡  实际上，人们在现实中遇到选择困难时，特别是在长期中反复遇到相似的选择难题时，常会通过收集更多信息，形成特定的机制和规则，也就是某种形式的制度安排等主动寻找出路。  因此对于博弈中多重纳什均衡选择的难题，我们也应该考虑博弈方主动寻求方法，设计某种形式的均衡选择机制，以解决多重纳什均衡选择问题的可能性。  “相关均衡”(Correlated Equilibrium) 就是这样的一种均衡选择机制。相关均衡的基本思想可以通过下列 2×2静态博弈来说明。  (U, L)和(D, R)是两个纯策略纳什均衡；  一个混合策略纳什均衡[(0.5, 0.5)，(0.5, 0.5)]，即两博弈方都以0.5的概率在自己的两个纯策略中随机选择。  虽然该博弈的两个纯策略纳什均衡，都能使两博弈方得到6单位得益总和，但在这两个纳什均衡下双方的利益相差很大，因此很难在两博弈方之间形成自然的妥协。  如果采用混合策略纳什均衡，因为有1/4的可能性遇到最不理想的(U, R) ，而且双方的期望得益都只有2.5单位，显然也不理想。 5， 1 4， 4 0， 0 1， 5 L R 博弈方2 UD 博弈方1 相关均衡例子 5， 1 4， 4 0， 0 1， 5 L R 博弈方2 UD 博弈方1 相关均衡例子

10  由于避免出现(U, R)结果符合双方的利益，因此双方有可能通过协商约定采用如“拋一硬币，出现正面博弈方1釆用U，博弈方2采用L；出现反面博弈方1采用D，博弈方2采用R”这样的选择规则。  按照这样的规则选择，那么两个纯策略纳什均衡(U, L)和(D, R) 各有1/2出现的可能，且可以保证排除采用混合策略可能出现的 (U, R)，双方的期望得益都是3，明显好于双方各自采用混合策略的期望得益，也解决了双方在两个纯策略纳什均衡选择方面的僵局。  同样的思想用到夫妻之争博弈中就是双方可能形成这样的约定： “如果天气好一起去看足球赛，天气不好则一起看时装表演"。 5， 1 4， 4 0， 0 1， 5 L R 博弈方2 UD 博弈方1 相关均衡例子 5， 1 4， 4 0， 0 1， 5 L R 博弈方2 UD 博弈方1 相关均衡例子  这种方法的关键是发出下列“相关信号”(Correlated Signals)的“相关装置” ：(1)该装置以相同的可能性（各1/3）发出A、B、C三种信号； (2) 博弈方1只能看到该信号是否A，博弈方2只能看到该信号是否C；(3)博弈方 1看到A采用U，否则采用D；博弈方2看到C采用R，否则采用L。  该机制有下列性质：  (1)保证U和R不会同时出现，即排除掉了(U, R) ；(2)保证(U, L)、 (D, L) 和(D, R)各以1/3的概率出现，从而两博弈方的期望得益达到3 +1/3；(3) 上述策略组合是一个纳什均衡；(4)上述相关装置并不影响双方各种策略组合下的得益，因此并不影响原来的均衡。即如果一个博弈方忽视信号，另一个博弈方也可以忽视信号，并不影响各博弈方原来可能实现的利益。 5， 1 4， 4 0， 0 1， 5 L R 博弈方2 U D 博弈方 1 相关均衡例子 5， 1 4， 4 0， 0 1， 5 L R 博弈方2 U D 博弈方 1 相关均衡例子  其实该博弈还可能实现更好的结果。该博弈有一个总得益更高的策略组合(D, L) ，由于它不是纳什均衡，因此除了混合策略纳什均衡中包含采用它的可能性以外，在一次性博弈中无法实现它。  如果我们将上述通过抛硬币排除(U, R)的方法加以发展，就可以设计出一种能够包含进这个策略组合，同时又能排除(U, R)的方法。三、二人零和博弈 1、二人有限零和博弈的描述 2、纯策略意义下的解 3、混合策略意义下的解 • 零和博弈：也称“严格竞争博弈”。博弈方之间利益始终对立 —猜硬币，田忌赛马，石头-剪刀-布 1、二人有限零和博弈的描述 • 二人有限零和博弈是指参加博弈的参与人只有两个，每个参与人都只有有限多个策略可供选择，而且在任何一个局势中，两个参与人的收益之和总是等于零。设两参与人分别为甲和乙，甲有 m个纯策略可供选择，乙有n个纯策略可供选择，则甲乙的策略集分别为    m , , , 1 2     n , , , 1 2  { , , , } { , , , } 2 1 2 1 1 2 n m S S           { , ; } G  S1 S2 A 当甲选定、乙选定后，就形成了一个策略组合（也称局势），对任一局势，记甲的赢得收益为，则甲的赢得收益矩阵为相应，乙的赢得为-A 通常，将二人有限零和博弈记成 ——矩阵对策 i  j ( , ) i  j ij a            m mn n a a a a A      1 11 1 1、二人有限零和博弈的描述 2、纯策略意义下的解（1）、最小最大原理  由冯·诺依曼提出  基本思想：作为局中人，对手将采取对他自己最有利的策略；相应的，对手会选择使你获得尽可能差的支付的策略。由于零和博弈的特点和性质，以上思想即为：任何使对手得到最好结果的策略，都会使你获得最差的结果。双方都具有这样的理性！

中国人民大学：《博弈论》课程教学资源（讲义）第二章 完全信息静态博弈

中国人民大学：《博弈论》课程教学资源（讲义）第二章完全信息静态博弈