中国人民大学：《博弈论》课程教学资源（讲义）第六章合作博弈（主讲：张倩伟）.pdf_大学文库

1 第六章合作博弈  一、合作博弈的概念及其表示  二、分配  三、占优方法（合作博弈的一类解概念）：核心、核仁  四、估值方法（合作博弈的一类解概念）： Shapley值一、合作博弈的概念及其表示合作博弈，与非合作博弈相对称，是一种参与者能够联合达成一个具有约束力且可强制执行的协议的博弈类型。合作博弈强调的是集体理性,强调效率、公正、公平。合作博弈最重要的两个概念是联盟和分配。每个参与者从联盟中分配的收益正好是各种联盟形式的最大总收益, 每个参与者从联盟中分配到的收益不小于单独经营所得收益。合作博弈的基本形式是联盟博弈,它隐含的假设是存在一个在参与者之间可以自由流动的交换媒介(如货币), 每个参与者的效用与它是线性相关的。这些博弈被称为 “ 单边支付 ” 博弈 , 或可转移效用 (Transferable Utility ,TU)博弈。合作博弈的结果必须是一个帕累托改进，合作双方的利益都有所增加，或者至少是一方的利益增加，而另一方的利益不受损害。合作博弈研究人们达成合作时如何分配合作得到的收益，即收益分配问题。合作博弈采取的是一种合作的方式，合作之所以能够增进双方的利益，就是因为合作博弈能够产生一种合作剩余。至于合作剩余在博弈各方之间如何分配，取决于博弈各方的力量对比和制度设计。因此，合作剩余的分配既是合作的结果，又是达成合作的条件。合作博弈的核心问题是参与人如何联盟以及如何重新分配联盟的支付。下面首先分析联盟的概念。与联盟相关联的特征函数，特征函数的性质决定了合作博弈的特征。一、合作博弈的概念及其表示定义6.1.1 在人博弈中，参与人集用表示，的任意子集称为一个联盟（coalition）。空集和全集也可以看成是一个联盟，当然单点集也是一个联盟。定义6.1.2 给定一个人博弈，是一个联盟，是指和的两组博弈中的最大效用，称为联盟的特征函数（characteristic function）。规定。根据定义，表示参与人与全体其他人博弈时的最大效用值，表示为。用表示参与人集为，特征函数为的合作博弈，其中是定义在上的实值映射。在很多情况下，一个联盟能获得的支付依赖于其他参与人所采取的行动。有时被解释为联盟独立于联盟的行动可保证的最大支付。 n N  {1,2,  , n} N S S S S S  N N {i} n v(S) v(S) v(S) NS {i|iN,iS} v()  0 v({i}) ( ) i v i (N, v) v v 2 N N  S 一、合作博弈的概念及其表示 S 合作博弈的分类主要是根据特征函数的性质。下面根据特征函数的性质介绍几类特殊的合作对策。  如果仅与中元素的个数有关，则称作对称博弈。  如果，则称作常和博弈。  如果，则称作简单博弈。例如，在投票博弈中，每个参与人的权重，如果，则称作凸博弈。 v(S) S (N,v) (N, v) (N,v) (N,v) v S v N S v N ( ) ( ) ( )    0   ( ) 1 S i v S S N       ( ),1 w w Q i n i i    0 ( ) 1 i i S i i S w Q v S w Q             v S v T v S T v S T ( ) ( ) ( ) ( )      一、合作博弈的概念及其表示  凸性表示联盟越大，新成员的贡献率就越大。因为设 {1, 2, } , K S 1 T=K {m+1}, ({1, 2, , }) ( {m+1}) {1,2, ,m+1} {1,2, ,m+1} - ({1, 2, , }) ( {m+1})- S S K S m N m N m K K m K K                         对于任意，有某一个成员为加入的新成员，记则由凸性可知（） + ({ }) 则有（） ({ }) 即新成员 m+1加入联盟后边际贡献不小于新成员与联盟的任何子联盟所组合产生的边际贡献，即新成员的边际贡献随联盟的增大而越来越大。一、合作博弈的概念及其表示

2  定义6.1.3如果特征函数满足：对于联盟和，，有则称特征函数具有超可加性。超可加性表示两个不相交的联盟分别行动，其分别单干的结果不如组成一个联盟的联合而共同行动，这是大联盟形成的动因。特征函数只有满足超加性，才有形成新联盟的必要性。否则，如果一个合作博弈的特征函数不满足超可加性，那么，其成员没有动机形成联盟，已经形成的联盟将面临解散的威胁。显然，凸博弈的特征函数一定满足超可加性。 v S v T v S T ( ) ( ) ( )    一、合作博弈的概念及其表示 v S1 S2 S 1  S 2   例6.1 设有一个3人合作对策，每个参与人各有两个纯策略A 和B。当三人不合作时，其支付见下表。假设采用最稳妥策略，即最坏情况下选择最好，求合作博弈的支付函数一、合作博弈的概念及其表示解：用表示一个联盟，表示联盟中参与人的个数。当＝0，自然，有。当＝1，有3个，以为例。当，则。的策略集合，策略组合。与进行如下矩阵对策： S S S S S S S S   v( ) 0   S  2 S  2 N S   1,3 A B,  N S  ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) A A A B B A B B  N S  一、合作博弈的概念及其表示上述矩阵对策没有纯策略，的混合策略是，的混合策略是。的均衡值是。故。同理，可以求出。当＝2，有3个，以为例。当，则。的策略集合 , 策略组合。与进行如下矩阵对策： S 3 1 , 4 4       N S  1 3 , 0 , 0 , 4 4       S 1 4   1 ( 2 ) 4 v  v v ( 1 ) 1, ( 3 ) 1        S S S  1, 2 S 1,2 N S   3 ( , ),( , ),( , ),( , ) A A AB B A BB S 一、合作博弈的概念及其表示上述矩阵对策有纯策略，的均衡值是。故。同理，可以求出。当＝3，有1个，，最大的联盟.各策略组合对于的支付总和如下：至此特征函数的值已全部求出。 S 3 v( 1, 2 ) 3    v v ( 1, 3 ) 1, ( 2, 3 ) 1       S S S N  v N( ) max 2, 0, 4, 2, 2,1, 3, 2 4     一、合作博弈的概念及其表示对于合作博弈，特征函数满足超加性，自然有：根据上述不等式，特征函数分成两种类型：类型1：满足。即大联盟的效用是每个参与人的效用之和。这说明通过联盟并没有创造新的合作剩余，联盟没有价值，这种联盟也不可能维持。这种对策称为非实质性对策，没有研究价值。 ( , ), 1, 2, , N v N n     v v v v N v v n v v v n ( ) ( 1 ) ( 2, , ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3, , )                    1 ( ) n i v i        1 ( ) n i v i  v N( )  一、合作博弈的概念及其表示

3 类型2：满足。即大联盟的效用大于每个参与人的效用之和。这说明通过联盟创造了新的合作剩余，联盟有意义，这种联盟能否维持，取决于如何分配合作剩余，使每个参与人的支付都有改善。这种对策称为实质性对策，是本部分研究的范畴。 v v N( )   1 ( ) n i v i   一、合作博弈的概念及其表示二、分配所谓分配就是博弈的一个维向量集合，之所以是维向量，是由于每个参与人都要得到相应的分配。维的分配向量称为博弈的“解”，各种方法即各种解概念代表着分配的不同观点。定义6.2.1 对于合作博弈，对每个参与人，给予一个实值参数，形成维向量且其满足：则称是联盟的一个分配方案。 n n n n ( , ), 1, 2, , N v N n     i N  i x 1 ( , , ) n x x x     1 ( ), ( ) n i i i x v i x v N     x S 二、分配分配的定义中，是基于个人理性，合作中的收益不能小于非合作中的收益，反映了参与人的参与约束。如果，那么，参与人是不可能参加联盟的。是基于集体理性，每个参与人的分配之和不能超过集体剩余。另外若没有全部被分配，显然不是一个帕类托最优的分配方案，不会参与人所接受。 x v i i  ( )   x v(i) i  i 1 ( ) n i i x v N   v N( ) v N( ) x   1 ( ) , ( ) n i i i x v i x v N      二、分配分配显然不是一个，而是无限个，无限个分配形成一个分配集合。对于实质博弈，其分配总是有无限个。例如，对于实质博弈，由于存在无限个正向量，满足。显然如下的都是分配，其中。用表示一个博弈的所有分配方案组成的集合。 ( , ) N v    u v N( )   1 ( ) 0 n i v i    1 2 ( , , , ) n u u u u   1 2 , , n     u u u u  1 ( , , ) n x x x     ,1 i i x v i u i n     E(v) ( N ,v ) 在例6.1中存在一种分配方案： 1 2 3 x x x x  { , , }满足: 1 2 3 1 2 3 1 ({1}) 1, ({2}) , ({3}) 1, 4 4 x v x v x v x x x           二、分配定义6.2.2 设的两个分配和，是一个联盟。如果分配方案和满足（i），；（ii）。则称分配方案在上优超于，或称分配方案在上劣于，记为。如果分配方案在上优超于，则联盟会拒绝分配方案，方案得不到切实执行。因为从到，中的每个参与人的收益都得到改善，创造的剩余又足以满足他们在中的分配。 E(v) x x x x y y y y y y y y S S S S S S S x x x i i x  y i  S x v(S ) i S  i   x y S v S( ) 二、分配在优超关系中，联盟的特征： 1.单人联盟不可能有优超关系。 2.全联盟上也不可能有优超关系。因此，如果在上有优超关系，则。 3.优超关系是集合上的序关系，这种序关系一般情况下不具有传递性和反身性。 4.对于相同的联盟，优超关系具有传递性，即，，则有。 5.对于不同的联盟，优超关系不具有传递性。 N S S S S 2 1    S n E(v) S x y  S y z  S x z  { } , ({ }), ({ }) i i i i 否则，x 则有与是分配方案矛  y y x v i y v i y    盾

4 三、占优方法：核心、核仁尽管可行分配集合中有无限个分配，但实际上，有许多分配是不会被执行的，或者不可能被参与人所接受的。很显然，联盟的每一个成员都不偏好于劣分配方案，因此，真实可行的分配方案应该剔除劣分配方案。定义6.3.1 在一个人合作博弈中，全体最优分配方案形成的集合称为博弈的核心(core)，记为。显然有。 E(v) n ( , ) N v C (v ) C v E v ( ) ( )  说明： 1.核心是中的一个闭凸集。 2.若，则将中的向量作为分配，既满足个人理性，又满足集体理性。 3.用核心作为博弈的解，其最大缺陷是可能是空集，也可能不唯一。 C(v) C(v) C(v) E v( ) C v( )   x x 三、占优方法：核心、核仁定理6.3.1 分配方案在核心中的充要条件是：（i）， (个体理性) ， (ii) （集体里性）。证明（充分性）如果，满足（i）、(ii)，则不可能被优超，即。反证法，设存在，使。根据优超的定义，有: 则有，矛盾。下证必要性（逆否命题）：如果，不满足（i）(ii)，则一定被优超，即。 ( , , ) 1 n x  x  x C(v) x v(S) i S  i   S  N ( ) 1 x v N n i  i   x E v  ( ) x x x C v  ( ) S S y x  i i x y  i  S ( ) i i S y v S    ( ) ( ) i i i S i S v S x y v S        x E v  ( ) x x x C v  ( ) 三、占优方法：核心、核仁寻找核心的方法对于，存在联盟，有，则定义，定义，使得在中平均分配，在中平均分配，从而得到一个新的分配如下：显然如此定义得向量是个分配，且有。 x E v  ( ) S S ( ) i i S x v S    ( ) 0 i i S  v S x        \ ( ) ( ) ( ) 0 i N S  v N v S v i         N S  1 ( , , ) n y y y     , ( ) , i i x i S S y v i i S n S                  1 ( , , ) n y y y   S y x  三、占优方法：核心、核仁例6.2 假想的联合国安全理事会投票，超过两票算通过。该博弈的特征函数为而对所有其他的，。应用定理6.3.1，有，对各个联盟有由，，，推得，，，而用，，又得到和，所以，核心是 v(1,2,3)  v(1,2,4)  v(1,2,5)  v(1,2,3,4)  v(1,2,3,5)  v(1,2,4,5)  v(1,2,3,4,5) 1 S v(S)  0 1 5 1   i i x x  0, i  1,2,3,4,5 i 1 x1  x2  x3  1 x1  x2  x4  1 x1  x2  x5  1 5 1   i i x x1  x2  x3  1 0 x4  x5  0 x1  x2  x3  1 0 x4  0 x5  x1  x2  x4  1 0 x 3  0 x 5  0 x3  1 x1  x 2  C v a a a ( ) ( ,1 , 0,0,0): 0 1       三、占优方法：核心、核仁例6.3 设3人合作博弈的特征函数如下：，，，，求其核心。解由核心定义，若，则它必满足解此不等式组，得 v v(i)  0 i  1,2 ,3 3 2 v({1,2})  12 7 v({1,3})  2 1 v({2,3})  v ({1,2 ,3})  1 C(v) ( , , ) ( ) 1 2 3 x  x x x C v                         0 , 1 , 2 , 3 1 1 2 3 2 1 2 3 12 7 1 3 3 2 1 2 x i x x x x x x x x x i                 1 0 0 0 1 2 3 3 1 3 12 5 2 2 1 1 x x x x x x 三、占优方法：核心、核仁

5 例6.4 考虑如下的合作博弈，，特征函数如下：解线形不等式组：。该不等式组无解，。上面三个例子说明了求解核心的方法。 1 2 1 3 2 3 1 2 3 0, 1,2,3 1 1 1 1 i x i x x x x x x x x x                    C v( )   ( , ), 1, 2, 3 N v N    v i ( ) 0    i  1,2,3 v S S ( ) 1, 2 3      三、占优方法：核心、核仁 1 2 3 1 2 3 3 2 1 x x x x x x            解得在合作博弈中，用核心代替分配具有明显得优点，即的稳定性。对于中的每一个分配，每个联盟都没有反对意见，都没有更好的分配，每个分配都可以得到执行。当然，用代替也有致命的缺陷，即可能是空集，而。定理6.3.2 对于人的联盟博弈，核心非空的充分必要条件是线性规划有解。， C v( ) C v( ) C v( ) C v( ) C v( ) E v( ) E v( )   n ( ) P ( ) P min ( ) 1 x v N n i  i   1 ( ) . ( ) i i S n i i x v S s t x v N            S  N 三、占优方法：核心、核仁定理的直观意义很明显，线性规划（P）若有解，则最优解一定属于；若，则中的每个向量都是可行解，自然线性规划（P）有最优解。对于原线性规划（P），写出它的对偶规划（DP）：， C(v) C v( )   C v( ) ( ) DP max ( ) ( ) S S N y v S v N    1 . 0 S S N S y s t y         S  N 三、占优方法：核心、核仁定理 6.3.3.博弈有的充分必要条件是：对于满足的向量，有。定义6.3.1 设是个0-1简单对策，若存在一个参与人，满足，则称作一个否决人。定理 6.3.4 简单对策中，充分必要条件是中存在一个否决人。 ( , ) N v ( , ) N v ( , ) N v C v( )   C v( )   1 . 0 S S N S y s t y          yS  ( ) ( ) S S N y v S v N    i v N i ( ) 0     N i 三、占优方法：核心、核仁证明设是中一个否决人，定义，1处于第的位置。根据定理6.3.2，是一个分配，且。下证必要性。用反证法。设，且不存在否决人，即。则。故有，从而。也即，矛盾。 i N ei 0,0, ,1,0, ,0    i 0, 0, ,1, 0, , 0 i e    ( ) i e C v  C v( )   v N i ( ) 1      x C v( ) x N x N i v N i i N ( ) 1, ( ) ( )=1,          1 ( ) ( ) ( ) 1 ,     i        x N x N i x i x i N 0, i x i N   ( ) 0 i i N v N x     三、占优方法：核心、核仁为评估对满意性，定义如下的被称作超出值的指标：的大小反映了对满意性。越大，对越不满意，因为中所有参与人的分配之和远没有达到其所创造的合作剩余；越小，对越满意，当为负值时，中所有参与人不但分配了其所创造的合作剩余，还分配了其他联盟所创造的价值。 S S S S S S x x x x ( , ) ( ) i i S e S x v S x     e S x ( , ) e S x ( , ) v S( ) e S x ( , ) e S x ( , ) v S( ) 三、占优方法：核心、核仁

6 对于同一个，共有个，可以表示为。故可以计算出个。联盟对的满意性取决于中的最大的，故可以对个由大到小排列，得到一个的向量：其中。联盟对的满意性取决于的大小，越小，联盟对越满意。 x x S 2 n , 1, 2, , 2n j S j   2 n ( , ), 1,2, ,2n j e S x j   x ( , ) j e S x 1,2, ,2n j   2 n ( , ) j e S x 2 n  1 2  2     ( ) ( ), ( ), , ( ) x x x x   n 1 2 2 ( ) ( , ), 1, 2, , 2 , ( ) ( ) ( ) n n j j     x e S x j x x x         ( ) x  ( ) x x 三、占优方法：核心、核仁对于两个不同的分配，分别计算出。如果是小，则联盟对的满意性大于联盟对的满意性，自然优于。当然这种向量大小的比较不同于数字的比较，是采用字典序的比较方法。字典序的比较方法如下：对于向量和存在一个下标，使得，则称字典序小于，用符号表示。有了上述的定义，就可以给出核仁的定义了。 x y 、   ( ) ) x y 、 (  ( ) x x y x y  1 2  2     ( ) ( ), ( ), , ( ) x x x x   n  1 2  2     ( ) ( ), ( ), , ( ) y y y y   n k ( ) ( ),1 1 j j   x y j k     ( ) ( ) k k   x y   ( ) x  ( ) y ( ) ( ) L   x y  三、占优方法：核心、核仁定义6.3.2 对于合作博弈，核仁是一些分配的集合，即，使得任取一个，都是字典序最小的，即定理6.3.5 对于合作博弈，其核仁，且只包含一个元素。定理6.3.6 对于合作博弈，如果核心，则有。证明用反证法。设存在一个分配。根据核心的性质，由可知：必存在一个联盟，满足，由此可知。设。是所有中最大的，故有 ( , ) N v ( , ) N v ( , ) N v N N N E v  ( )  x N   N x E v y E v y x x y       ( ) : ( ), , ( ) ( )  L    N   x C( v )   N C v  ( )  x N x C v   , ( )  x C v  ( ) S ( ) i i S x v S   ( , ) ( ) 0 i i S e S x v S x       1 2  2     ( ) ( ) , ( ) , , ( ) x x x x   n 1  ( ) x ( , ), 1, 2, , 2 n j e S x j   1 ( ) ( , ) ( ) 0 i i S  x e S x v S x        ( ) x 三、占优方法：核心、核仁由可知，存在分配。根据核心的性质，任取一个，有，由此可知满足，，；这与矛盾。定理得证。 C v( )   y C v  ( ) , 1, 2 , , 2 n j S j   ( , ) ( ) 0 j j j i i S e S y v S y       1 2  2     ( ) ( ), ( ), , ( ) y y y y   n ( ) 0, 1,2, ,2n j  y j    x N    1 2  2     ( ) ( ), ( ), , ( ) x x x x   n 1  ( ) 0 x  y C v  ( )  1 2  2     ( ) ( ), ( ), , ( ) y y y y   n 1  ( ) 0 y  ( ) ( ) L   x y  三、占优方法：核心、核仁例6.5 考虑如下的合作博弈，，特征函数如下：；；。求该博弈的核仁。解先求出该博弈的核心，再求核仁。根据核心的充分必要条件：解此不等式组，得到。 ( , ), 1, 2, 3 N v N    v v v ( 1 ) 4, ( 2 ) ( 3 ) 0          v v v ( 1, 2 ) 5, ( 1, 3 ) 7, ( 2, 3 ) 6          v( 1, 2,3 ) 10    1 2 3 x x x x C v   ( , , ) ( ) 1 1 2 1 3 2 3 1 2 3 4, 0 , 2, 3 5 7 6 1 0 i x x i x x x x x x x x x                     C v x x x ( ) (4, 6 , ) : 3 5       三、占优方法：核心、核仁三、占优方法：核心、核仁，故有。下面开始求。对于核心，求，。，有＝4－4＝0；，有＝0－＝；，有＝0－＝；，有＝5－＝；，有＝7－＝；，有＝6－＝0；，有＝10－10＝0；当，。上式在达到，故有＝。该结果验证了，。 C v( )   N C   N C v x x x ( ) (4, 6 , ) : 3 5       ( , ) ( ) i i S e S x v S x    x C v  ( ) S1  1 1 e S x ( , ) S2  2 2 e S x ( , ) (6 )  x x 6 S3  3 3 e S x ( , ) S4  1, 2 S5  1, 3 S6  2, 3 S7  1, 2,3 7 e S x ( , ) 6 e S x ( , ) 5 e S x ( , ) 4 e S x ( , ) ( ) x x 4 (6 )   x  x 5 4  x (6 )   x x 3 5  x   7 1 1 3 5 ( ) min max ( , ) min max 5,3 j j x  x e S x x x        N (4, 6 , ) : 4 (4, 2, 4 )    x x x     N   N  1  3 x x  4

7 三、占优方法：核心、核仁，故有。下面开始求。对于核心，求，。，有＝4－4＝0；，有＝0－＝；，有＝0－＝；，有＝5－＝；，有＝7－＝；，有＝6－＝0；，有＝10－10＝0；当，。上式在达到，故有＝。该结果验证了，。 C v( )   N C   N C v x x x ( ) (4, 6 , ) : 3 5       ( , ) ( ) i i S e S x v S x    x C v  ( ) S1  1 1 e S x ( , ) S2  2 2 e S x ( , ) (6 )  x x 6 S3  3 3 e S x ( , ) S4  1, 2 S5  1, 3 S6  2, 3 S7  1, 2,3 7 e S x ( , ) 6 e S x ( , ) 5 e S x ( , ) 4 e S x ( , ) ( ) x x 4 (6 )   x  x 5 4  x (6 )   x x 3 5  x   7 1 1 3 5 ( ) min max ( , ) min max 5,3 j j x  x e S x x x        N (4, 6 , ) : 4 (4, 2, 4 )    x x x     N   N  1  3 x 四、估值方法：Shapley值分配是合作博弈最重要的概念，但遗憾的是在一个博弈中，分配有无限个，且许多根本就得不到执行。利用优超的概念，对分配进行了分类，形成了核心的概念，但遗憾的是，许多博弈中核心可能是空集。为此，引入了超出这一指标，寻求最大超出最小化的分配，即核仁。核仁这一解的优势体现在核仁总存在，且是唯一的，这一解的缺陷就是计算太复杂，因为共有个。本部分引入了一个很直观的解的概念，即Shapley值。参与人按照Shapley值进行分配。 2 n 定理6.4.1 对每个博弈，存在唯一的Shapley 值，其中下面对这一计算公式给出非数学化的解释： 1，，就是按照参与人的平均贡献来安排的分配设计。 2，在一个博弈中，每个人的所得应该与其贡献成正比。对于联盟，其合作剩余。如加入，则新联盟的合作剩余是。因此的贡献是。 ( , ) N v     ( ) ( ), ( ), , ( ) v v v v   1 2  n      / !( 1)! ( ) ( ( ) ( )) ! i S N i S n S v v S i v S n             ( ) ( ), ( ), , ( ) v v v v   1 2  n  ( ) i i x v  S v S( ) i S v S i ( )   i v S i v S ( ) ( )     四、估值方法：Shapley值 3，在博弈中，不包含的有个，对每个都有一个贡献值，因此，Shapley值的计算公式中有项。 4，即使对于一个固定的，与中参与人的排列顺序无关，与中参与人的顺序无关。因此Shapley值系数中存在以及。这主要是为了计算对联盟贡献的平均值。 ( , ) N v i S S S 1 2 n v S i v S ( ) ( )      v S i v S ( ) ( )     S N S i    S n S !( 1)!   n! v S i v S ( ) ( )     四、估值方法：Shapley值 i S 5，对于也可以作出这样解释：加入，其贡献是。加入的概率是多少？如果个局中人参加依次博弈，当加入该博弈时，其前面已有一些参与人，加入后，后继的参与人集合。和中参与人的顺序与无关。加入的概率是，的数学期望（或者平均值）就是Shapley值。 6，Shapley值不一定是个分配，即理性约束可能不满足。 !( 1)! ! S n S n   i i i i S S S S v S i v S ( ) ( )     i n N S i     S N S i    v S i v S ( ) ( )     !( 1)! ! S n S n   v S i v S ( ) ( )     i ( ) v v i    四、估值方法：Shapley值例6..6 假设联合国安理会进行投票，部分国家可以形成联盟。该博弈的特征函数为：而对所有其他，。为了求，对所有包含参与人1的联盟按Shapley值求和。与无差异的联盟有、、、、、和，对于其他的，＝1。所以有类似地，。于是，，。这样，参与人1、2比参与人3、4、5重要得多。 v(1,2,3)  v(1,2,4)  v(1,2,5)  v(1,2,3,4)  v(1,2,3,5)  v(1,2,4,5)  v(1,2,3,4,5) 1 S S( 2)  v(S)  0 ( ) 1  v v S( 1 )   v S( ) S S {1, 2, 3} {1,2, 4} {1, 2, 5} {1, 2,3,4} {1, 2,3,5} {1, 2, 4, 5} {1, 2,3, 4,5} v S i v S ( ) ( )     20 9 (1 0) 5! 4!0! (1 0) 5! 3!1! (1 0) 3 5! 2!2! 1 (v)  3           30 1 (1 0) 5! 2!2! ( )  3 v     ( ) ( ) 0.45 1 v   2 v   3 (v)   4 (v)   5 (v)  0.0333 四、估值方法：Shapley值

中国人民大学：《博弈论》课程教学资源（讲义）第六章 合作博弈（主讲：张倩伟）

中国人民大学：《博弈论》课程教学资源（讲义）第六章合作博弈（主讲：张倩伟）