75三角形内角和定理 第2课时三角形的外角 第一环节:情境引入 活动内容 在证明三角形内角和定理时,用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD, 这个角叫做什么角呢?下面我们就给这种角命名,并且来研究它的性质 活动目的: 引出三角形外角的概念,并对其进行研究,激发学生学习兴趣。 注意事项: 教师应在学生充分展示自己的意见之后,有意识地引导学生从三角形的外角 的角度进行思考 第二环节:探索新知 活动内容: ①三角形的外角定义:三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫做 三角形的外角,结合图形指明外角的特征有三: (1)项点在三角形的一个顶点上 (2)一条边是三角形的一边 (3)另一条边是三角形某条边的延长线 ②两个推论及其应用 由学生探讨三角形外角的性质 问题1:如图,△ABC中,∠A=70°,∠B=60°,∠ACD是△ABC的一个外角,能 由∠A、∠B求出∠ACD吗?如果能,∠ACD与∠A、∠B有什么关系? 问题2:任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢?
7.5 三角形内角和定理 第 2 课时 三角形的外角 第一环节：情境引入 活动内容： 在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC 的一边 BC 延长得到∠ACD， 这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质． 活动目的： 引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。 注意事项： 教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角 的角度进行思考。 第二环节：探索新知 活动内容： ① 三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做 三角形的外角， 结合图形指明外角的特征有三： (1)顶点在三角形的一个顶点上． (2)一条边是三角形的一边． (3)另一条边是三角形某条边的延长线． ② 两个推论及其应用 由学生探讨三角形外角的性质： 问题 1：如图，△ABC 中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD 是△ABC 的一个外角，能 由∠A、∠B 求出∠ACD 吗？如果能，∠ACD 与∠A、∠B 有什么关系？ 问题 2：任意一个△ABC 的一个外角∠ACD 与∠A、∠B 的大小会有什么关系呢？
由学生归纳得出: 推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 例1、已知:∠BAF,∠CBD,∠ACE是△ABC的三个外角 求证:∠BAF+∠CBD+∠ACE=360° 分析:把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证 证明:(略) 例2、已知:D是AB上一点E是AC上一点,BE、CD相交于F,∠A=62°,∠ ACD=35°,∠ABE=20°.求:(1)∠BDC度数:(2)∠BFD度数 解:(略) 活动目的 通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论,引导学生从内和外、 相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考 注意事项: 新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上,教师切勿 越俎代庖。 第三环节:课堂练习 活动内容 ①已知,如图,在三角形ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证:AD ∥BC 分析:要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE=∠B. 证明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和) ∠B=∠C(已知)
由学生归纳得出： 推论 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 例 1、已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE 是△ABC 的三个外角． 求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360° 分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证． 证明：(略)． 例 2、已知：D 是 AB 上一点,E 是 AC 上一点，BE、CD 相交于 F,∠A=62°，∠ ACD=35°，∠ABE=20°．求：(1)∠BDC 度数；(2)∠BFD 度数． 解：(略)． 活动目的： 通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、 相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考． 注意事项： 新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，教师切勿 越俎代庖。 第三环节：课堂练习 活动内容： ① 已知，如图，在三角形 ABC 中，AD 平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：AD ∥BC 分析：要证明 AD∥BC,只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE=∠B. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和） ∠B=∠C（已知）
<BI ∠EAC(等式的性质) AD平分∠EAC(已知) ∠DAE=∠EAC(角平分线的定义) ∴∠DAE=∠B(等量代换) ∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行) 想一想,还有没有其他的证明方法呢? 这个题还可以用“内错角相等,两直线平行”来证 证明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和) ∠B=∠C(已知) ∵∠C=∠EAC(等式的性质) ∵AD平分∠EAC(已知) ∵.∠DAC=∠EAC(角平分线的定义) ∴∠DAC=∠C(等量代换 ∵.AD∥BC(内错角相等,两直线平行) 还可以用“同旁内角互补,两直线平行”来证 证明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和) ∠B=∠C(已知) ∴∠C=∠EAC(等式的性质) ∵AD平分∠EAC(已知) ∴∠DAC=∠EAC ∴∠DAC=∠C(等量代换) ∵∠B+∠BAC+∠C=180 ∴∠B+∠BAC+∠DAC=180° 即:∠B+∠DAB=180° AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行)
∴∠B= 2 1 ∠EAC（等式的性质） ∵AD 平分∠EAC（已知） ∴∠DAE= 2 1 ∠EAC（角平分线的定义） ∴∠DAE=∠B（等量代换） ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行） 想一想，还有没有其他的证明方法呢？ 这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和） ∠B=∠C（已知） ∴∠C= 2 1 ∠EAC（等式的性质） ∵ AD 平分∠EAC（已知） ∴∠DAC= 2 1 ∠EAC（角平分线的定义） ∴∠DAC=∠C（等量代换） ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行） 还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和） ∠B=∠C（已知） ∴∠C= 2 1 ∠EAC（等式的性质） ∵AD 平分∠EAC（已知） ∴∠DAC= 2 1 ∠EAC ∴∠DAC=∠C（等量代换） ∵∠B+∠BAC+∠C=180° ∴∠B+∠BAC+∠DAC=180° 即：∠B+∠DAB=180° ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行） B A C D E
②已知:如图,在三角形ABC中,∠1是它的一个外角,E为 边AC上一点,延长BC到D,连接DE.求证:∠1>∠2. 证明:∵∠1是△ABC的一个外角(已知) ∴∠1>∠ACB(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻A 的内角) ∵∠ACB是△CDE的一个外角(已知) ∴∠ACB>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 ∴∠1>∠2(不等式的性质) ③如图,求证:(1)∠BDC>∠A (2)∠BDC=∠B+∠C+∠A D 如果点D在线段BC的另一侧,结论会怎样? [分析]通过学生的探索活动,使学生进一步了解辅助线的作法及重要性, 理解掌握三角形的内角和定理及推论. 证法一:(1)连接AD,并延长AD,如图,则∠1是△ABD的一个外角,∠ 2是△ACD的一个外角 ∠2>∠4(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∴∠1+∠2>∠3+∠4(不等式的性质) 即:∠BDC>∠BAC (2)连结AD,并延长AD,如图 则∠1是△ABD的一个外角,∠2是△ACD的一个外角
② 已知：如图，在三角形 ABC 中，∠1 是它的一个外角，E 为 边 AC 上一点，延长 BC 到 D，连接 DE．求证：∠1>∠2． 证明：∵∠1 是△ABC 的一个外角（已知） ∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻 的内角） ∵∠ACB 是△CDE 的一个外角（已知） ∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠1>∠2（不等式的性质） ③.如图，求证：（1）∠BDC>∠A. （2）∠BDC=∠B+∠C+∠A. 如果点 D 在线段 BC 的另一侧，结论会怎样？ ［分析］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性， 理解掌握三角形的内角和定理及推论. 证法一：（1）连接 AD，并延长 AD，如图，则∠1 是△ABD 的一个外角，∠ 2 是△ACD 的一个外角. ∴∠1>∠3. ∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质） 即：∠BDC>∠BAC. （2）连结 AD，并延长 AD，如图. 则∠1 是△ABD 的一个外角，∠2 是△ACD 的一个外角. A B C D E 1 F 2
∴∠1=∠3+∠B ∠2=∠4+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C(等式的性质)即:∠BDC=∠B+∠C+∠BAC 证法二:(1)延长BD交AC于E(或延长CD交AB于E),如图 则∠BDC是△CDE的一个外角 ∠BDC>∠DEC.(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∠DEC是△ABE的一个外角(已作) ∴∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∠BDC>∠A(不等式的性质) (2)延长BD交AC于E,则∠BDC是△DCE的一个外角 ∵.∠BDC=∠C+∠DEC(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的 和) ∵∠DEC是△ABE的一个外角 ∴∠DEC=∠A+∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC(等量代换) 活动目的 让学生接触各种类型的几何证明题,提高逻辑推理能力,培养学生的证明思 路,特别是不等关系的证明题,因为学生接触较少,因此更需要加强练习 注意事项 学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生,因此有必要在证明第2小 题中,要引导学生找到一个过渡角∠ACB,由∠1>∠ACB,∠ACB>∠2,再由 不等关系的传递性得出∠1>∠2。 第四环节:课堂反思与小结 活动内容:
∴∠1=∠3+∠B ∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC 证法二：（1）延长 BD 交 AC 于 E（或延长 CD 交 AB 于 E），如图. 则∠BDC 是△CDE 的一个外角. ∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∵∠DEC 是△ABE 的一个外角（已作） ∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠BDC>∠A（不等式的性质） （2）延长 BD 交 AC于 E，则∠BDC 是△DCE 的一个外角. ∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的 和） ∵∠DEC 是△ABE 的一个外角 ∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换） 活动目的： 让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思 路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习． 注意事项： 学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明第 2 小 题中，要引导学生找到一个过渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由 不等关系的传递性得出∠1>∠2。 第四环节：课堂反思与小结 活动内容：
由学生自行归纳本节课所学知识: 推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 活动目的: 复习巩固所学知识,理清思路,培养学生的归纳概括能力. 注意事项: 学生对于三角形外角的两个推论以及它们的应用有一定的了解。 课后练习:课本第244页的随堂练习第1题,习题67题第1,2,3题 思考题:课本245页第4题(给学有余力的同学做) 教学反思 教学中,帮助学生找三角形的外角是难点,特别是当一个角是某个三角形的 内角,同时又是另一个三角形的外角时,困难就更大,解决这个难点的关键是讲 清定义,分析图形,变换位置,理清思路 本节课的教学设计力图具有以下几个特色 (1)充分挖掘学生的潜能,展示学生的思维过程,体现“学生是学习 的主人”这一主题 (2)从特殊到一般,从不完全归纳到合情推理,展示了一个完整的思 维过程; (3)在整个教学中尽可能的避免教学的单调性,因此编排了一题多解 的训练,为发散性思维创设情境,调动学生学习的极大热情
由学生自行归纳本节课所学知识： 推论 1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 活动目的： 复习巩固所学知识，理清思路，培养学生的归纳概括能力． 注意事项： 学生对于三角形外角的两个推论以及它们的应用有一定的了解。 课后练习：课本第 244 页的随堂练习第 1 题，习题 6.7 题第 1，2，3 题。 思考题：课本 245 页第 4 题（给学有余力的同学做） 教学反思 教学中，帮助学生找三角形的外角是难点，特别是当一个角是某个三角形的 内角，同时又是另一个三角形的外角时，困难就更大，解决这个难点的关键是讲 清定义，分析图形，变换位置，理清思路。 本节课的教学设计力图具有以下几个特色： （1） 充分挖掘学生的潜能，展示学生的思维过程，体现“学生是学习 的主人”这一主题； （2） 从特殊到一般，从不完全归纳到合情推理，展示了一个完整的思 维过程； （3） 在整个教学中尽可能的避免教学的单调性，因此编排了一题多解 的训练，为发散性思维创设情境，调动学生学习的极大热情