7.5三角形内角和定理 第1课时三角形内角和定理 教学目标一 1.理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程;(重点) 2.能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明.(难点) 教学过程 情境导入 星期天,小明和几位同学一起做作业时,其中一位同学不小心把三角板的两个角给压断 了.小明将两个角和剩余的一个角放在一起,发现这三个角之和是一个平角.我们知道一个 平角是180°,即这个三角形的三个内角之和为180°,那其他的三角形也是这样吗?如何 证明呢? 下面让我们一起进入本节的学习,一起探究如何证明三角形的内角和等于180° 、合作探究 探究点一:三角形内角和定理 例国在△ABC中,如果∠A=∠B=2∠C,求∠A、∠B、∠C分别等于多少度? 解析:这是一道利用三角形内角和求各角度的计算题,由已知得∠B=∠C=2∠A.因此 可以先求∠A,再求∠B、∠C. 解:∵∠A=∠B=∠C(已知),∴∠B=∠C=2∠A(等式的性质).∵∠A+∠B+∠C 180°(三角形的内角和等于180°),∴∠A+2∠A+2∠A=180°(等量代换).∴∠A= 36°,∠B=72° 方法总结:求三角形内角度数时,要充分利用各角之间的关系,用其中一个角表示另外 两个角,再借助三角形的内角和定理构建方程. 探究点二:三角形内角和定理的证明 2己知:如图,在△ABC中
7．5 三角形内角和定理 第 1 课时 三角形内角和定理 1．理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程；(重点) 2．能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明．(难点) 一、情境导入 星期天，小明和几位同学一起做作业时，其中一位同学不小心把三角板的两个角给压断 了．小明将两个角和剩余的一个角放在一起，发现这三个角之和是一个平角．我们知道一个 平角是 180°，即这个三角形的三个内角之和为 180°，那其他的三角形也是这样吗？如何 证明呢？ 下面让我们一起进入本节的学习，一起探究如何证明三角形的内角和等于 180°. 二、合作探究 探究点一：三角形内角和定理 在△ABC 中，如果∠A＝ 1 2 ∠B＝ 1 2 ∠C，求∠A、∠B、∠C 分别等于多少度？ 解析：这是一道利用三角形内角和求各角度的计算题，由已知得∠B＝∠C＝2∠A.因此 可以先求∠A，再求∠B、∠C. 解：∵∠A＝ 1 2 ∠B＝ 1 2 ∠C(已知)，∴∠B＝∠C＝2∠A(等式的性质)．∵∠A＋∠B＋∠C ＝180°(三角形的内角和等于 180°)，∴∠A＋2∠A＋2∠A＝180°(等量代换)．∴∠A＝ 36°，∠B＝72°，∠C＝72°. 方法总结：求三角形内角度数时，要充分利用各角之间的关系，用其中一个角表示另外 两个角，再借助三角形的内角和定理构建方程． 探究点二：三角形内角和定理的证明 已知：如图，在△ABC 中．
E 求证:∠A+∠B+∠C=180 解析:要证明三角形的内角和是180°,需要从涉及180°角的知识去考虑,涉及180°角 的知识有:①平角;②邻补角;③两直线平行下的同旁内角可从这三个方面分别考虑,添 加辅助线 证明:证法1:(如图①)过点A作PQ∥BC,则∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,内错 角相等).∵∠1+∠BAC+∠2=180°(平角的定义),∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代 证法2:(如图②)过点C作CE∥AB,则∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),∠B+∠BCE 180°(两直线平行,同旁内角互补).∵∠BCE=∠BCA+∠1,∴∠B+∠BCA+∠1=180 (等量代换),∴∠B+∠BAC+∠A=180°(等量代换) 证法3:(如图③)过BC边上的一点P作QP∥AC,RP∥AB,交AB于Q,交AC于R,则∠1 ∠B,∠2=∠C(两直线平行,同位角相等).∠A=∠BQP=∠QPR(两直线平行,同位角相 等,内错角相等).∵∠1+∠2+∠QPR=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠C=180°(等 量代换) 方法总结:三角形内角和定理的证明方法很多,但指导思想都是通过添加辅助线,利用 平行线的性质,把三角形三个内角集中起来 探究点三:三角形内角和定理的应用 例3如图,已知五边形 ABCDE.你知道五边形的内角和等于多少度吗?你能运用三角形 的内角和定理证明吗? 53 解析:我们可以通过先添加辅助线将五边形分割成几个三角形,再利用三角形的内角和 定理进行证明 解:五边形的内角和等于540°.证明如下:如图,连接AC,AD.由三角形内角和定理可 知∠1+∠2+∠B=180°,∠3+∠4+∠5=180°,∠6+∠7+∠E=180°,∴∠1+∠2 ∠B+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠E=540°.又∵∠1+∠5+∠7=∠BAE,∠2+∠3 ∠BCD,∠4+∠6=∠CDE,∴∠BAE+∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=540°∴五边形的内角和
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 解析：要证明三角形的内角和是 180°，需要从涉及 180°角的知识去考虑，涉及 180°角 的知识有：①平角；②邻补角；③两直线平行下的同旁内角．可从这三个方面分别考虑，添 加辅助线． 证明：证法 1：(如图①)过点 A 作 PQ∥BC，则∠1＝∠B，∠2＝∠C(两直线平行，内错 角相等)．∵∠1＋∠BAC＋∠2＝180°(平角的定义)，∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°(等量代 换)． 证法 2：(如图②)过点 C 作 CE∥AB，则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，∠B＋∠BCE ＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠BCE＝∠BCA＋∠1，∴∠B＋∠BCA＋∠1＝180° (等量代换)，∴∠B＋∠BAC＋∠A＝180°(等量代换)． 证法 3：(如图③)过 BC 边上的一点 P 作 QP∥AC，RP∥AB，交 AB 于 Q，交 AC 于 R，则∠1 ＝∠B，∠2＝∠C(两直线平行，同位角相等)．∠A＝∠BQP＝∠QPR(两直线平行，同位角相 等，内错角相等)．∵∠1＋∠2＋∠QPR＝180°(平角的定义)，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°(等 量代换)． 方法总结：三角形内角和定理的证明方法很多，但指导思想都是通过添加辅助线，利用 平行线的性质，把三角形三个内角集中起来． 探究点三：三角形内角和定理的应用 如图，已知五边形 ABCDE.你知道五边形的内角和等于多少度吗？你能运用三角形 的内角和定理证明吗？ 解析：我们可以通过先添加辅助线将五边形分割成几个三角形，再利用三角形的内角和 定理进行证明． 解：五边形的内角和等于 540°.证明如下：如图，连接 AC，AD.由三角形内角和定理可 知∠1＋∠2＋∠B＝180°，∠3＋∠4＋∠5＝180°，∠6＋∠7＋∠E＝180°，∴∠1＋∠2 ＋∠B＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠E＝540°.又∵∠1＋∠5＋∠7＝∠BAE，∠2＋∠3＝ ∠BCD，∠4＋∠6＝∠CDE，∴∠BAE＋∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°.∴五边形的内角和
等于540 方法总结:求多边形的内角和时,通常利用一个顶角与其他顶角的连线将其分割成几个 三角形,转化为三角形的内角和来解决 板书设计 定理:三角形的内角和等于180° 定理的证明:作平行线,将三个内 三角形内,角和定理) 角拼成一个平角 定理的应用 教学反思 通过自主探究与合作交流的学习方式,使学生形成一定的逻辑思维能力和推理能力:用 多种方法证明三角形内角和定理,培养学生一题多解的能力;对比过去撕纸等探索过程,体 会几何证明的严密性和数学的严谨性,培养学生的逻辑推理能力
等于 540°. 方法总结：求多边形的内角和时，通常利用一个顶角与其他顶角的连线将其分割成几个 三角形，转化为三角形的内角和来解决． 三、板书设计 三角形内,角和定理) 定理：三角形的内角和等于180° 定理的证明：作平行线，将三个内 角拼成一个平角 定理的应用 通过自主探究与合作交流的学习方式，使学生形成一定的逻辑思维能力和推理能力；用 多种方法证明三角形内角和定理，培养学生一题多解的能力；对比过去撕纸等探索过程，体 会几何证明的严密性和数学的严谨性，培养学生的逻辑推理能力．