58三元一次方程组 第一环节:创设情景,导入新课 内容: 问题1已知甲、乙、丙三数的和是23,甲数比乙数大1,甲数的两倍与乙数的和 比丙数大20,求这三个数 (这里有三个要求的量,直接设出三个未知数列方程组,顺理成章,直截了 当,容易理解) 教师提问:如果设这三数分别为x,y,z,用它们可以表示哪些等量关系 预测学生回答:x+y+z=23:x-y=1;2x+yz=20 教师提问:这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系? 预测学生回答:①未知数个数和方程都比二元一次方程组多一个:②未知数次数 都是一次 活动:翻开书本P129,朗读三元一次方程组的概念: 在这个方程组中,x+y+z=23和2x+yz=20都含有三个未知数,并且所含 未知数的项的次数都是1,这样的方程叫做三元一次方程( linear equation with three unknowns) 像这样共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程,叫做三元一次方 s4a (system of linear equations with three unknowns) 关注概念中的三个要点:①未知数的个数;②未知数的次数;③未知数同时满足 个等量关系, 三元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个三元一次方程组的解 目的:通过第1个活动,希望学生能找出等量关系,设出未知数建立方程,此环 节既是学习了二元一次方程组后对建立方程组基本方法的练习,也通过类比引出 本节课的要解决的问题—解三元一次方程组 教学要求与效果:通过创设问题情境,引入新课,使学生了解三元一次方程组的
*5.8 三元一次方程组 第一环节：创设情景，导入新课 内容： 问题 1.已知甲、乙、丙三数的和是 23，甲数比乙数大 1，甲数的两倍与乙数的和 比丙数大 20，求这三个数. (这里有三个要求的量，直接设出三个未知数列方程组，顺理成章，直截了 当，容易理解) 教师提问：如果设这三数分别为 x，y，z，用它们可以表示哪些等量关 系？ 预测学生回答： x y z + + = 23 ； x y- 1 = ； 2 20 x+y-z = 教师提问：这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？ 预测学生回答：①未知数个数和方程都比二元一次方程组多一个；②未知数次数 都是一次. 活动：翻开书本 P129，朗读三元一次方程组的概念： 在这个方程组中， x y z + + = 23 和 2 20 x+y-z = 都含有三个未知数，并且所含 未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫做三元一次方程（linear equation with three unknowns）. 像这样共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方 程组（system of linear equations with three unknowns） 关注概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足 三个等量关系, 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解. 目的：通过第 1 个活动，希望学生能找出等量关系，设出未知数建立方程，此环 节既是学习了二元一次方程组后对建立方程组基本方法的练习，也通过类比引出 本节课的要解决的问题——解三元一次方程组. 教学要求与效果：通过创设问题情境，引入新课，使学生了解三元一次方程组的
概念及本节课要解决的问题,强调审题抓住的三个等量关系,从而表示成以上三 个方程,这个问题的解答必须同时满足这三个条件,因此,把这三个方程联立起 x+y+z=23 来,成为{2x+y2=20,引出三元一次方程组的概念 第二环节:类比学习,探究新知 内容:引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本指导思想—消元,以 及消元的基本方法(代入消元、加减消元),尝试对{2x+y=z=20 ②进 ③ 行消元,从而解决问题1 步骤(1)选取一种方法解此三元一次方程组,由学生独立思考解决,教师 注意指导学生规范表达 步骤(2)在学生独立选择方法解决的基础上,引导学生进行比较:在解三 元一次方程组时的消元与解二元一次方程组的消元有什么不同?解上面的方程 组时,你能先消去未知数y(或z),从而得到方程组的解吗? (先让学生独立思考,然后在学生充分思考的前提下,进行小组讨论,在此 基础上由学生代表回答,老师适时地引导与补充,力求通过学生观察、思考与讨 论后能得出以下的一些要点) 1三元一次方程组的消元可以类比二元一次方程组的消元进行; 2用代入消元法:由于方程组③式的特点,可将③式分别代入①②式,消去x, 从而转化为关于y,z的二元一次方程组的求解; 3用加减消元法:由于③式中没有含z,可以将①,②式联立相加,消掉z, 从而得到关于x,y的二元一次方程组的求解; 4总结求解三元一次方程组的整体思路——消元,实现三元→二元→一元的 转化在消元过程中,消“谁”都行,用那种消法(代入法、加减法)也可,但如果 选择合适,可提高计算的效率 目的:结合情境问题中列出的方程组,类比前面所学二元一次方程组的解法,得 到解三元一次方程组的整体思路消元,并找出相应的消元方法
概念及本节课要解决的问题，强调审题抓住的三个等量关系，从而表示成以上三 个方程，这个问题的解答必须同时满足这三个条件，因此，把这三个方程联立起 来，成为 23 2 + - 20 - 1 x y z x y z x y + + = = = ，引出三元一次方程组的概念. 第二环节：类比学习，探究新知 内容：引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本指导思想——消元，以 及消元的基本方法（代入消元、加减消元），尝试对 23 2 + - 20 - x y z x y z x y + + = = = ① ② １ ③ 进 行消元，从而解决问题 1. 步骤（1）选取一种方法解此三元一次方程组，由学生独立思考解决，教师 注意指导学生规范表达. 步骤（2）在学生独立选择方法解决的基础上，引导学生进行比较：在解三 元一次方程组时的消元与解二元一次方程组的消元有什么不同？解上面的方程 组时，你能先消去未知数 y（或 z），从而得到方程组的解吗？ （先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下，进行小组讨论，在此 基础上由学生代表回答，老师适时地引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨 论后能得出以下的一些要点） 1.三元一次方程组的消元可以类比二元一次方程组的消元进行； 2.用代入消元法：由于方程组③式的特点，可将③式分别代入①②式，消去 x， 从而转化为关于 y，z 的二元一次方程组的求解； 3.用加减消元法：由于③式中没有含 z，可以将①，②式联立相加，消掉 z， 从而得到关于 x， y 的二元一次方程组的求解； 4.总结求解三元一次方程组的整体思路——消元，实现三元→二元→一元的 转化.在消元过程中，消“谁”都行，用那种消法（代入法、加减法）也可，但如果 选择合适，可提高计算的效率. 目的：结合情境问题中列出的方程组，类比前面所学二元一次方程组的解法，得 到解三元一次方程组的整体思路——消元，并找出相应的消元方法
教学要求与效果: (1)教师板书用代入法消元的求解过程,强调解题的格式求解完后引导学生 总结三元一次方程组的求解思路:三元→二元→一元,关键在于消元 (2)引导学生类比一元二次方程组加减消元法对方程组进行消元 第三环节:理解巩固 内容:解方程(1){2xy+z=18 (2){2x+3y+2=17② 3: 8 目的:方程组(1)是在课本例1的基础上,改变系数所得,因为本题的意图是让 学生模仿老师的做法自行操作的第一题,所以尽量让各项系数简单一些,让学生 练习感觉愉悦一些方程组(2)的三个方程均含有三个未知数的三元一次方程组, 和学生一起探求出解决的整体思路然后让学生自行求解,使其进一步理解三元一 次方程组的求解方法,培养计算能力 教学要求与效果 (1)引导学生观察方程组(2)的特点,此方程组与前面不一样,三个方程都不 缺“谁”,消谁好,用什么方法消? (2)通过对(1)(2)的对比,引导学生总结出消元的具体做法是:①如果已有 某个未知数的表达式,直接用代入消元,否则常用加减消元②用加减消元时, 如果方程组中有至少一个方程只有两个未知数,缺哪个未知数就消哪个 (3)在前面例题和练习的基础上,对本课解过的三个方程组进行比较,谈谈解决 的方法总结求解三元一次方程组的整体思路——消元,实现三元→二元→一元的 转化在消元过程中,消“谁'都行,用那种消法(代入法、加减法)也可,但如果 选择合适,可提高计算的效率.具体做法是:①如果已有某个未知数的表达式, 直接用代入消元,否则常用加减消元②用加减消元时,如果方程组中有至少一个 方程只有两个未知数,缺哪个未知数就消哪个③用加减消元时,如果方程组中三 个方程均含有三个未知数,通常要进行两次消元才能转化为二元一次方程组 第四环节:实际应用
教学要求与效果： （1）教师板书用代入法消元的求解过程，强调解题的格式.求解完后引导学生 总结三元一次方程组的求解思路：三元→二元→一元，关键在于消元； （2）引导学生类比一元二次方程组加减消元法对方程组进行消元. 第三环节：理解巩固 内容：解方程（1） 26 2 - + 18 - x y z x y z x y + + = = = ① ② １ ③ （2） 10 2 +3 + 17 3 +2 - x y z x y z x y z + + = = = ① ② 8 ③ 目的：方程组（1）是在课本例 1 的基础上，改变系数所得，因为本题的意图是让 学生模仿老师的做法自行操作的第一题，所以尽量让各项系数简单一些，让学生 练习感觉愉悦一些.方程组（2）的三个方程均含有三个未知数的三元一次方程组， 和学生一起探求出解决的整体思路.然后让学生自行求解，使其进一步理解三元一 次方程组的求解方法，培养计算能力. 教学要求与效果： （1）引导学生观察方程组（2）的特点，此方程组与 前面不一样，三个方程都不 缺“谁”，消谁好，用什么方法消？ （2）通过对（1）（2）的对比，引导学生总结出消元的具体做法是：①如果已有 某个未知数的表达式，直接用代入消元，否则常用加减消元.②用加减消元时 ， 如果方程组中 有至少一个方程只有两个未知数，缺哪个未知数就消哪个. （3）在前面例题和练习的基础上，对本课解过的三个方程组进行比较，谈谈解决 的方法.总结求解三元一次方程组的整体思路——消元，实现三元→二元→一元的 转化.在消元过程中，消“谁”都行，用那种消法（代入法、加减法）也可，但如果 选择合适，可提高计算的效率. 具体做法是：①如果已有某个未知数的表达式， 直接用代入消元，否则常用加减消元.②用加减消元时，如果方程组中有至少一个 方程只有两个未知数，缺哪个未知数就消哪个.③用加减消元时，如果方程组中三 个方程均含有三个未知数，通常要进行两次消元才能转化为二元一次方程组. 第四环节：实际应用
内容:某校初中三个年级共有651人,八年级的学生比九年级的学生人数多10%, 七年级的学生比八年级多5%,求三个年级各有多少学生? 解:由题意设七,八,九年级的学生人数分别为xy,z人,得方程: x+y+二=651 y=二 x=y(1+5%) ③ 由②可将z用y表示,由③可将x用y表示,代入①可得到关于y的一元一次方 程 x=231 解得:{y=20所以,七,八,九年级的学生人数分别为231,220200人 z=200 目的:运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容本环节回归用三元一次 方程组解决实际应用问题,体现了数学来源于生活,又服务于生活,意在培养学 生“用数学”的意识 教学要求与效果:放手让学生用己经获取的经验去解决新的问题,由学生自己完 成,让两个学生在黑板上规范的板书,教师巡视:发现学生的闪光点以及存在的 问题并适时的加以辅导,以期学生在解答的过程中领会“代入消元法”的真实含义 和“化归”的数学思想 第五环节:课堂小结 内容: (1)三元一次方程组的概念 (2)三元一次方程组的解法 三元 消元 二元 消元 注意选好要消的“元”,选好要消的“法:代入消元、加减消元 (3)谈谈求解多元一次方程组的思路,提炼化归的思想 目的:引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法,使这节课知识系统化, 感性认识上升为理性认识
内容：某校初中三个年级共有 651 人，八年级的学生比九年级的学生人数多 10%， 七年级的学生比八年级多 5%，求三个年级各有多少学生？ 解：由题意设七，八，九年级的学生人数分别为 x,y,z 人，得方程： 651 (1+10%) ( + %) x y z y z x y + + = = = ① ② 1 5 ③ 由②可将 z 用 y 表示，由③可将 x 用 y 表示，代入①可得到关于 y 的一元一次方 程. 解得： 231 220 200 x y z = = = 所以，七，八，九年级的学生人数分别为 231,220,200 人. 目的：运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.本环节回归用三元一次 方程组解决实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学 生“用数学”的意识． 教学要求与效果：放手让学生用已经获取的经验去解决新的问题，由学生自己完 成，让两个学生在黑板上规范的板书，教师巡视：发现学生的闪光点以及存在的 问题并适时的加以辅导，以期学生在解答的过程中领会“代入消元法”的真实含义 和“化归”的数学思想. 第五环节：课堂小结 内容： （1）三元一次方程组的概念； （2）三元一次方程组的解法； 注意选好要消的“元”，选好要消的“法”：代入消元、加减消元； (3)谈谈求解多元一次方程组的思路，提炼化归的思想. 目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使这节课知识系统化， 感性认识上升为理性认识. 三元 一次方程组 二元 一次方程组 一元 一次方程 消元 消元
教学要求与效果:学生能够在课堂上畅所欲言,并通过自己的归纳总结,进一步 巩固了所学知识,教师视其情况,可以选择展示一些前面小节中用过问题情境和 实际问题对学生的总结从知识、方法和思想层面去总结和提高,让学生体会到数 学与生活的联系,激发学生的学习热情. 第六环节:布置作业; 内容: 1课本习题59 2.有同学说列三元一次方程组能解决的问题,一元一次方程也能解决,说一 下你的看法 目的:课后作业设计包括了两个层面:作业1是为了巩固基础知识而设计;作业 2是为了扩展学生的知识面;拓广知识,增加学生对数学问题本质的思考而设计, 通过此题可让学生进一步运用三元一次方程组解决问题 教学设计反思 1.本节课的内容属于选修学习的内容,主要突出对数学兴趣浓厚、学有余力的同 学进一步探究和拓展使用,在数学方法和思想方面需重点引导,通过引导, 使学生明白解多元方程组的一般方法和思想,理解巩固环节需多注意多种解 题方法的引导,并且比较各种解题方法之间的优劣,总结出解多元方程的基 本方法 2作为选修课,在内容上要让学生理解三元一次方程组概念的同时,要让学生理 解为什么要用三元一次方程组甚至多元方程组去求解实际问题的必要性,从 而掌握本堂课的基础知识.在教学的过程中,要让学生充分理解对复杂的实 际问题方程中元越多,等量关系的建立就越直接;充分理解代入消元法和加 减法解方程的优点和缺点,有关这一方面的题目要让学生充分讨论、交流、 合作,其理解才会深刻
教学要求与效果：学生能够在课堂上畅所欲言，并通过自己的归纳总结，进一步 巩固了所学知识，教师视其情况，可以选择展示一些前面小节中用过问题情境和 实际问题对学生的总结从知识、方法和思想层面去总结和提高，让学生体会到数 学与生活的联系，激发学生的学习热情． 第六环节：布置作业； 内容： 1.课本习题 5.9 2.有同学说列三元一次方程组能解决的问题，一元一次方程也能解决，说一 下你的看法. 目的：课后作业设计包括了两个层面：作业 1 是为了巩固基础知识而设计；作业 2 是为了扩展学生的知识面；拓广知识，增加学生对数学问题本质的思考而设计， 通过此题可让学生进一步运用三元一次方程组解决问题． 教学设计反思 1.本节课的内容属于选修学习的内容，主要突出对数学兴趣浓厚、学有余力的同 学进一步探究和拓展使用，在数学方法和思想方面需重点引导，通过引导， 使学生明白解多元方程组的一般方法和思想，理解巩固环节需多注意多种解 题方法的引导，并且比较各种解题方法之间的优劣，总结出解多元方程的基 本方法. 2.作为选修课，在内容上要让学生理解三元一次方程组概念的同时，要让学生理 解为什么要用三元一次方程组甚至多元方程组去求解实际问题的必要性，从 而掌握本堂课的基础知识．在教学的过程中，要让学生充分理解对复杂的实 际问题方程中元越多，等量关系的建立就越直接；充分理解代入消元法和加 减法解方程的优点和缺点，有关这一方面的题目要让学生充分讨论、交流、 合作，其理解才会深刻．