5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式 教学目标一 1.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.(难点) 数学过程 情境导入 在某地,人们发现某种蟋蟀1分钟所叫次数与当地温度之间近似满足一次函数关系.下 面是蟋蟀所叫次数与温度变化情况对照表 蟋蟀所叫次数…849819… 温度(℃) (1)你能根据表中数据确定该一次函数的关系式吗? (2)如果蟋蟀1分钟叫了63次,那么该地当时的温度约为多少摄氏度? 、合作探究 探究点一:利用二元一次方程组确定一次函数的表达式 例卫已知直线1经过点A(0,3)及点B(3,0),12经过点M(1,2)及点N(-2,-3).求 l1、12的交点坐标 解析:先用待定系数法确定1、12的表达式,再列方程组求解 b=0,解/b1=3, 0+b1=3, 解:设直线l1的方程为y=kx+b1 1. 故有1:y=-x+3,即x+y=3.① 设直线12的方程为y=k2x+b2,则 b2=2, 解得 -2k2+b2=-3. 故有1x:y=3x+3,即5x-3y+1=0.② 由①②得方程组 故直线l1、12的交点坐标是(1,2) 方法总结:先用待定系数法求出两条直线的表达式,再把它们组成二元一次方程组求 解.也可以用图象法解题,但代数法要比图象法解题准确
5．7 用二元一次方程组确定一次函数表达式 1．能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式．(难点) 一、情境导入 在某地，人们发现某种蟋蟀 1 分钟所叫次数与当地温度之间近似满足一次函数关系．下 面是蟋蟀所叫次数与温度变化情况对照表： 蟋蟀所叫次数 … 84 98 119 … 温度(℃) … 15 17 20 … (1)你能根据表中数据确定该一次函数的关系式吗？ (2)如果蟋蟀 1 分钟叫了 63 次，那么该地当时的温度约为多少摄氏度？ 二、合作探究 探究点一：利用二元一次方程组确定一次函数的表达式 已知直线 l1 经过点 A(0，3)及点 B(3，0)，l2 经过点 M(1，2)及点 N(－2，－3)．求 l1、l2 的交点坐标． 解析：先用待定系数法确定 l1、l2 的表达式，再列方程组求解． 解：设直线 l1 的方程为 y＝k1x＋b1，则 k1·0＋b1＝3， 3k1＋b1＝0， 解得 b1＝3， k1＝－1. 故有 l1：y＝－x＋3，即 x＋y＝3.① 设直线 l2 的方程为 y＝k2x＋b2，则 k2＋b2＝2， －2k2＋b2＝－3. 解得 k2＝ 5 3 ， b2＝ 1 3 . 故有 l2：y＝ 5 3 x＋ 1 3 ，即 5x－3y＋1＝0.② 由①②得方程组 x＋y＝3， 5x－3y＝－1. 解得 x＝1， y＝2. 故直线 l1、l2 的交点坐标是(1，2)． 方法总结：先用待定系数法求出两条直线的表达式，再把它们组成二元一次方程组求 解．也可以用图象法解题，但代数法要比图象法解题准确．
探究点二:利用二元一次方程组与一次函数解决实际问题 例2A,B两地相距100千米,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行,假设 他们都保持匀速行驶,则他们各自与A地的距离s(千米)都是时间t(时)的一次函数,已知 1小时后乙距离A地80千米,2小时后甲距离A地30千米.问甲、乙两人出发后多长时间 相遇 解析:甲、乙两人相遇时,他们与A地距离相等,结合函数图象经过点坐标(0,0),(2 30),⑩,100),(1,80)分别运用待定系数法确定甲、乙的函数表达式.根据函数表达式, 构造方程组求解,可得出交点坐标,即是两人出发的相遇时间 解:根据题意画图,如图.设乙的函数表达式为s=kt+b.把t=0时,s=100;t=1 80代入s=kt+b,联立方程组解得010 所以s=-20t+100 设甲的函数表达式为s=mt 把t=2时,s=30代入s=mt,得m=15,所以s=15t. 15t 联立这两个函数表达式,得 解得 s=-20t+100, 300 因此甲、乙两人出发一小时后相遇 千米 时) 方法总结:利用二元一次方程(组)与一次函数图象的联系解决实际问题,如果确定交点 坐标,那么常用两个函数表达式构造方程组求解 探究点三:利用二元一次方程组和一次函数解决几何问题 例3在平面直角坐标系中,直线1经过点(2,3)和(-1,-3),直线12经过原点,且 与直线1交于点(-2,a) (1)试求a的值 (2)试问(-2,a)可看成是怎样的二元一次方程组的解? (3)设交点坐标为P,直线1与y轴交于点A,你能求出△APO的面积吗?试试看
探究点二：利用二元一次方程组与一次函数解决实际问题 A，B 两地相距 100 千米，甲、乙两人骑车同时分别从 A，B 两地相向而行，假设 他们都保持匀速行驶，则他们各自与 A 地的距离 s(千米)都是时间 t(时)的一次函数，已知 1 小时后乙距离 A 地 80 千米，2 小时后甲距离 A 地 30 千米．问甲、乙两人出发后多长时间 相遇． 解析：甲、乙两人相遇时，他们与 A 地距离相等，结合函数图象经过点坐标(0，0)，(2， 30)，(0，100)，(1，80)分别运用待定系数法确定甲、乙的函数表达式．根据函数表达式， 构造方程组求解，可得出交点坐标，即是两人出发的相遇时间． 解：根据题意画图，如图．设乙的函数表达式为 s＝kt＋b.把 t＝0 时，s＝100；t＝1 时，s＝80 代入 s＝kt＋b，联立方程组解得 b＝100， k＝－20. 所以 s＝－20t＋100. 设甲的函数表达式为 s＝mt. 把 t＝2 时，s＝30 代入 s＝mt，得 m＝15，所以 s＝15t. 联立这两个函数表达式，得 s＝15t， s＝－20t＋100， 解得 t＝ 20 7 ， s＝ 300 7 . 因此甲、乙两人出发20 7 小时后相遇． 方法总结：利用二元一次方程(组)与一次函数图象的联系解决实际问题，如果确定交点 坐标，那么常用两个函数表达式构造方程组求解． 探究点三：利用二元一次方程组和一次函数解决几何问题 在平面直角坐标系中，直线 l1 经过点(2，3)和(－1，－3)，直线 l2 经过原点，且 与直线 l1 交于点(－2，a)． (1)试求 a 的值； (2)试问(－2，a)可看成是怎样的二元一次方程组的解？ (3)设交点坐标为 P，直线 l1 与 y 轴交于点 A，你能求出△APO 的面积吗？试试看．
3 解析:(1)利用待定系数法先求出直线1的关系式,因为点(-2,a)为l1和1的交点, X=-2 所以把 代入直线1的关系式,可求出a (2)要想知道(-2,a)是怎样的二元一次方程组的解,已知(-2,a是直线l和直线l 的交点坐标,故需求出直线12的关系式 (3)在直角坐标系内画出直线1的图象,利用三角形面积计算公式,进一步求出△APO 面积 解:(1)设直线1对应的函数关系式为y=k1x+b 2k1+b=3 由题意,得 解得1 jk 故直线1对应的函数关系式为y=2x-1.又因 -—k1+b=-3 为点(-2,a)是直线l1和直线12的交点,所以把 代入y=2x-1,得a=2×(-2) (2)设直线12对应的函数关系式为y=k2x(因为直线12过原点).因为(-2,-5)是直线 1和直线12的交点,故把 代入y=k2x,解得k 故直线12对应的函数关系式为y=x 故(-2,-5)可看成是二元一次方程组 的解 2x-y=1 (3)在平面直角坐标系内画出直线11,12的图象如图,可知点A(0,一1),故S 1×2=1 方法总结:此题在待定系数法的应用上有所创新,并且把一次函数的图象和三角形面积 巧妙地结合起来,既考查了基本知识,又不局限于基本知识.三、板书设计
解析：(1)利用待定系数法先求出直线 l1 的关系式，因为点(－2，a)为 l1 和 l2 的交点， 所以把 x＝－2， y＝a 代入直线 l1 的关系式，可求出 a； (2)要想知道(－2，a)是怎样的二元一次方程组的解，已知(－2，a)是直线 l1 和直线 l2 的交点坐标，故需求出直线 l2 的关系式； (3)在直角坐标系内画出直线 l1 的图象，利用三角形面积计算公式，进一步求出△APO 面积． 解：(1)设直线 l1 对应的函数关系式为 y＝k1x＋b. 由题意，得 2k1＋b＝3， －k1＋b＝－3， 解得 k1＝2， b＝－1. 故直线 l1 对应的函数关系式为 y＝2x－1.又因 为点(－2，a)是直线 l1 和直线 l2 的交点，所以把 x＝－2， y＝a 代入 y＝2x－1，得 a＝2×(－2) －1＝－5. (2)设直线 l2 对应的函数关系式为 y＝k2x(因为直线 l2 过原点)．因为(－2，－5)是直线 l1 和直线 l2 的交点，故把 x＝－2， y＝－5 代入 y＝k2x，解得 k2＝ 5 2 . 故直线 l2 对应的函数关系式为 y＝ 5 2 x. 故(－2，－5)可看成是二元一次方程组 5x－2y＝0， 2x－y＝1 的解． (3)在平面直角坐标系内画出直线 l1，l2 的图象如图，可知点 A(0，－1)，故 S△APO＝ 1 2 × 1×2＝1. 方法总结：此题在待定系数法的应用上有所创新，并且把一次函数的图象和三角形面积 巧妙地结合起来，既考查了基本知识，又不局限于基本知识．三、板书设计
利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤: 板书设计 利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤: 1.用含字母的系数设出一次函数的表达式:y=kx+b(k≠0) 2.将已知条件代入上述表达式中得k,b的二元一次方程组 3.解这个二元一次方程组得k,b的值,进而得到一次函数的表达式 数学反思 通过教学,进一步理解方程与函数的联系,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互 转化.通过对本节课的探究,培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力
利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤： 三、板书设计 利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤： 1．用含字母的系数设出一次函数的表达式：y＝kx＋b(k≠0)； 2．将已知条件代入上述表达式中得 k，b 的二元一次方程组； 3．解这个二元一次方程组得 k，b 的值，进而得到一次函数的表达式． 通过教学，进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互 转化．通过对本节课的探究，培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力．