54应用二元一次方程组——增收节支 教学目标 知识与技能 1.能运用列表分析法分析数量关系 2.能熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题 3.掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技能。 过程与方法 经历和体验列方程组解决实际问题的过程,体会方程是刻画现实世界的有效的数学模型,培 养学习数学应用能力。 情感态度与价值观 1.通过问题的解决进一步认识数学与现实世界的密切联系 2.通过对问题的解决,培养学生的必要的经济意识,增强他们节约成本、有效合理利用资 源的意识 教学重点 1.初步体会列方程组解决实际问题的步骤 2.学会用图表分析较复杂的数量关系问题 教学难点 将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型:会用图表分析数量关系。 教学准备: 教具:教材,课件,电脑(视频播放器) 学具:教材,练习本 教学过程 第一环节:创设情境,导入新课(5分钟,学生观看图片和实际问题,引发思考和提升解决 问题的兴趣。创设问题情景,引导学生思考,导入课题) 你想过吗? 提出问题:同学们你知道你的生活有哪些必要开支吗? 引发问题:经济生活在我们生活中多么重要!你想运用数学知识使你的生活更加合理优 化,生活的更加幸福惬意吗?那么你能帮帮解决下面的实际经济问题吗? 教学进程:教师演示幻灯片,学生回答问题 1.开商店 小明想开一家时尚G点专卖店,开店前他到其它专卖店调查价格.他看中了一套新款 春装,成本共500元,专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50%的利润定价,裤 子按40%的利润定价。由于新年将至,节日优惠,在实际出售时,为吸引顾客,两件 服装均按9折出售,这样专卖店共获利157元,小明觉得上衣款式好,销路会好些,想 问问上衣的成本价,但店员有事走开了,你能帮助他? 2.购物 新年来临爸爸想送Mike一个书包和随身听作为新年礼物.爸爸对Mike说:“我在 家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同,书包单价也相同,随身听和书包单 价之和是452元,且随身听的单价比书包单价的4倍少8元,你能说出随身听和书包单 价各是多少元,那么我就买给你做新年礼物”。 你能帮助他吗? (最优化决策) 最近商家促销有促销活动,人民商场所有商品打八折销售,家乐福全场购物满100
5.4 应用二元一次方程组——增收节支 教学目标 知识与技能 1． 能运用列表分析法分析数量关系； 2． 能熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题。 3． 掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技能。 过程与方法 经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效的数学模型，培 养学习数学应用能力。 情感态度与价值观 1． 通过问题的解决进一步认识数学与现实世界的密切联系。 2． 通过对问题的解决，培养学生的必要的经济意识，增强他们节约成本、有效合理利用资 源的意识。 教学重点 1．初步体会列方程组解决实际问题的步骤． 2．学会用图表分析较复杂的数量关系问题。 教学难点 将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；会用图表分析数量关系。 教学准备： 教具：教材，课件，电脑（视频播放器） 学具：教材，练习本 教学过程 第一环节：创设情境，导入新课（5 分钟，学生观看图片和实际问题，引发思考和提升解决 问题的兴趣。创设问题情景，引导学生思考，导入课题） 你想过吗？ 提出问题：同学们你知道你的生活有哪些必要开支吗？ 引发问题： 经济生活在我们生活中多么重要！你想运用数学知识使你的生活更加合理优 化，生活的更加幸福惬意吗？那么你能帮帮解决下面的实际经济问题吗？ 教学进程：教师演示幻灯片，学生回答问题 1．开商店 小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套新款 春装，成本共 500 元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按 50﹪的利润定价，裤 子按 40﹪的利润定价。由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件 服装均按 9 折出售，这样专卖店共获利 157 元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想 问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他？ 2．购物 新年来临爸爸想送Ｍike 一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Ｍike 说：“我在 家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单 价之和是 452 元，且随身听的单价比书包单价的 4 倍少 8 元，你能说出随身听和书包单 价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”。 你能帮助他吗？ （最优化决策） 最近商家促销有促销活动，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满 100
元返物券30元销售(不足100元不返券,购物券全场通用),爸爸只给Mike400元钱, 如果他只在一家购买看中的这两样物品,你能帮助他选择在哪一家购买吗?若两家都可 以选择,在哪一家购买更省钱? 第二环节:新课讲解(15分钟,通过回答知识回顾问题,教师启发学生做经验提升;通过 回答问题对学生能力进行及时评价,如果回答错误及时纠正。) 知识回顾:填一填 1.某工厂去年的总产值是x万元,今年的总产值比去年增加了20%,则今年的总 产值是 万元; 2.若该厂去年的总支出为y万元,今年的总支出比去年减少了10%,则今年的总支 出是 万元; 3.若该厂今年的利润为780万元,那么由1,2可得方程 (1+20%)x(1-109%)y(1+20%)x(1-10%)y=780 经验提升:解增降率问题常用的关系式为a(±x)=b (其中:a表示基数;x表示增降率;b表示目标数;增时为加,降时为减) 例题探索 例1CNI公司去年的利润(总产值一总支出)为200万元。今年总产值比去年增加了20%, 总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元。去年的总产值、总支出各是多少 万元? 分析:关键:找出等量关系 ∫去年的总产量-去年的总支出=200万元 今年的总产量-今年的总支出=780万元 今年的总产值=去年总产值×(1+20%)今年的总支出=去年的总支出×(1-10%) 相等关系中的数量关系真多,画个表格来表示它们吧! (题目中可分析今年,去年;总产值,总支出和利润,画个2×3的表格来分析看) 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 (1+20%)x (1-10%)y 780 得到两个等式: xy=200 (1+20%)x(1-10%)y=780。 解:设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则 今年的总产值=(1+20%)x万元 今年的总支出=(1-10%)y万元 由题意得: x-y=200 +2090)x-(1-10%)y=780.() 解得 x=2000, y=1800 答:去年的总收入为2000万元,总支出为1800万元
元返物券 30 元销售（不足 100 元不返券，购物券全场通用），爸爸只给Ｍike 400 元钱， 如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可 以选择，在哪一家购买更省钱？ 第二环节：新课讲解（15 分钟，通过回答知识回顾问题，教师启发学生做经验提升；通过 回答问题对学生能力进行及时评价，如果回答错误及时纠正。） 知识回顾：填一填 1. 某工厂去年的总产值是 x 万元, 今年的总产值比去年增加了 20%, 则今年的总 产值是__________万元; 2. 若该厂去年的总支出为 y 万元, 今年的总支出比去年减少了 10%, 则今年的总支 出是__________万元; 3. 若 该 厂 今 年 的 利 润 为 780 万 元 , 那 么 由 1, 2 可 得 方 程 ___________________________. (1+20%)x (1-10%)y (1+2 0%) x- (1-10%) y=780 经验提升：解增降率问题常用的关系式为 a(1±x)=b (其中:a 表示基数；x 表示增降率；b 表示目标数；增时为加，降时为减) 例题探索 例 1 ＣＮＩ公司去年的利润（总产值—总支出）为 200 万元。今年总产值比去年增加了 20%， 总支出比去年减少了 10%，今年的利润为 780 万元。去年的总产值、总支出各是多少 万元？ 分析：关键:找出等量关系. − = − = 今年的总产量 今年的总支出 万元 去年的总产量 去年的总支出 万元 780 200 今年的总产值=去年总产值×(1+20%） 今年的总支出=去年的总支出×(1—10%） 相等关系中的数量关系真多，画个表格来表示它们吧！ （题目中可分析今年，去年；总产值，总支出和利润，画个２×３的表格来分析看） 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 去 年[来源:学科网 ZXX K] x y[来源:学科网] 200 今 年 (1+20%) x (1-10%) y 780 得到两个等式： x—y =200 ， (1+20%) x—(1—10%) y =780。 解：设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，则 今年的总产值=（1+20%）x 万元， 今年的总支出=（1—10%）y 万元。 由题意得: 解得 答：去年的总收入为 2000 万元，总支出为 1800 万元。 + − − = − = (1 20%) (1 10%) 780 . (2) 200 , (1) x y x y = = 1800. 2000, y x
教学进程:学生作相等关系、数量关系的分析,教师教学生画表格分析数量关系,并共同 解答 议一议:还可以设间接未知数吗?(根据学生情况和教学安排选用) 设今年的总产值为x万元,总支出为y元 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 去年 200 1+20% 1-10% 780 通过直接设未知数与间接设未知数的类比,让学生感受到列方程时,应选取思维难度和 计算难度较低的未知数设法 教学进程:学生设出未知数,教师帮助学生画表格来分析数量关系并引导学生类比直接设未 知数与间接设未知数的优劣。表示数量关系时,若有错误,及时纠正并着重讲解以免再次出 现错误 例2医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1 单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.若病人每餐需要35单位蛋 白质和40单位铁质,那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要? 分析:找出等量关系 每餐甲原料中含蛋白质量+每餐乙原料中含蛋白质量=35 每餐甲原料中含铁质量+每餐乙原料中含铁质量=40 每餐甲原料中含蛋白质量=0.5×每餐甲原料的质量 每餐乙原料中含蛋白质量=0.7×每餐乙原料的质量 每餐甲原料中含铁质量=1×每餐甲原料的质量, 每餐乙原料中含铁质量=0.4×每餐乙原料的质量, 由于相等关系中的数量关系复杂,所以可以选取用列表格的方法来表示各数量关系之间 的关系,有利于根据相等关系列方程 (题目中可分析蛋白质含量,铁的含量:甲、乙两种原料和病人配置的营养品,所以画 个2×3的表格来分析;学生通常对要分析那些数量关系不太明确,所以讲解时要 说明为什么会这样画表格 解:设每餐需要甲、乙两种原料各x,y克,则有下表: 甲原料x克 乙原料y克 所配制的营养品 其中含蛋白质量0.5x单位 0.7y单位 35单位 「其中含铁质量 单位 0.4y单位40单位 由上表可以得到的等式 0.5x+0.7y=35, x+04y=40 化简得: 5x+7y=350 10x+4y=400 (4) (1)×2得10x+14y=700 (5)-(4)得10y=300
教学进程：学生作相等关系、数量关系的分析，教师教学生画表格分析数量关系，并共同 解答。 议一议：还可以设间接未知数吗？（根据学生情况和教学安排选用） 设今年的总产值为 x 万元，总支出为 y 元 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 去 年 200 今 年 x y 780 通过直接设未知数与间接设未知数的类比，让学生感受到列方程时，应选取思维难度和 计算难度较低的未知数设法。 教学进程：学生设出未知数，教师帮助学生画表格来分析数量关系并引导学生类比直接设未 知数与间接设未知数的优劣。表示数量关系时，若有错误，及时纠正并着重讲解以免再次出 现错误。 例 2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品．每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质．若病人每餐需要 35 单位蛋 白质和 40 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？ 分析：找出等量关系. + = + = 40. 35, 每餐甲原料中含铁质量 每餐乙原料中含铁质量 每餐甲原料中含蛋白质量 每餐乙原料中含蛋白质量 每餐甲原料中含蛋白质量=0.5×每餐甲原料的质量， 每餐乙原料中含蛋白质量=0.7×每餐乙原料的质量， 每餐甲原料中含铁 质量=1×每餐甲原料的质量， 每餐乙原料中含铁质量=0.4×每餐乙原料的质量， 由于相等关系中的数量关系复杂，所以可以选取用列表格的方法来表示各数量关系之间 的关系，有利于根据相等关系列方程。 （题目中可分析蛋白质含量，铁的含量；甲、乙两种原料和病人配置的营养品，所以画 个２ × ３的表格来分析；学生通常对要分析那些数量关系不太 明确，所以讲解时要 说明为什么会这样画表格） 解：设每餐需要甲、乙两种原料各 x, y 克，则有下表： 甲原料 x 克 乙原料 y 克 所配制的营养品 其中含蛋白质量 0.5x 单位 0.7 y 单位 ３５单位 其中含铁质量 x 单位 0.4 y 单位 ４０单位 由上表可以得到的等式： 化简得： （1）×2 得 10x+14y=700 (5) (5)－(4)得 10y=300 y=30 + = + = 0.4 40 . (2) 0.5 0.7 35 , (1) x y x y + = + = 10 4 400 . (4) 5 7 350 , (3) x y x y 1+ 20% x 1−10% y
将y=30代入(3)得x28 答:每餐需甲原料28克,乙原料30克 第三环节:练习提高、合作学习;(5分钟,小组探究) 1.育才学校去年有学生3100名,今年比去年增加4.4%,其中寄宿学生增加了6%,走读 学生减少了2%问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名? 设去年有寄宿学生x名,走读学生y名,则可列出方程组为 分析:找出等量关系 去年寄宿学生+去年走读学生=3100名 今年寄宿学生十今年走读学生=3100×(1+4.4%) 题目中可分析去年,今年;寄宿学生,走读学生,学生总数.画个2×3的表格来分析 寄宿学生 去年 3100 今年 (1+6%)X (1-2%)y 3100 x+y=3100 +6%)x+(-29)y=3100×(1+44) 2.编题 有一个方程组: x+y=3100 1(+6%)x+(1-2%)y=3100×(1+44 你能根据这个方程组编一个实际背景的应用题吗? 活动规则: 四个同学一组编题,互评:然后推选出有创意,符合实际生活的例子进行全班交流 第四环节:问题解决;(10分钟,学生尝试独立解决问题,后全班交流) 解决问题 小明想开一家时尚G点专卖店,开店前他到其它专卖店调查价格.他看中了一套新款春 装,成本共500元,专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50%的利润定价,裤子按40 %的利润定价。由于新年将至,节日优惠,在实际出售时,为吸引顾客,两件服装均按9 折出售,这样专卖店共获利157元,小明觉得上衣款式好,销路会好些,想问问上衣的成本 价,但店员有事走开了,你能帮助他吗? 分析:找出等量关系 题目中可分析上衣,裤子:成本.实际售价和利润.画个2×3的表格来分析 上衣成本+裤子成本=500元 上衣利润+裤子利润=157元 解:设上衣的成本价为x元,裙子的成本价为y元 成本(元) 实际售价(元) 利润(元) 上衣 0.9×(1+50%)x 09×(1+50%)x-x 裤子 0.9×(1+40%)y 0.9×(1+40%)y-y 解:设上衣的成本价为x元,裙子的成本价为y元,则上衣利润09×(1+50%)x-x元
将 y=30 代入(3)得 x=28 答：每餐需甲原料 28 克，乙原料 30 克。 第三环节：练习提高、合作学习；（5 分钟，小组探究） 1．育才学校去年有学生３１００名，今年比去年增加 4.4％,其中寄宿学生增加了 6％,走读 学生减少了 2％.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名? 设去年有寄宿学生 x 名,走读学生 y 名,则可列出方程组为 。 分析：找出等量关系. 去年寄宿学生＋去年走读学生＝３１００名 今年寄宿学生＋今年走读学生＝３１００ ×（１＋４.４％） 题目中可分析去年，今年；寄宿学生，走读学生，学生总数．画个２ × ３的表格来分析 寄宿学生 走读学生 学生总数 去年[来源:学+科+网] x y ３１００ 今年 （１＋６％）x （１－２％）y ３１００ × （１＋４.４％） 解： + + − = + + = (1 6%) (1 2%) 3100 (1 4.4%). 3100, x y x y 2．编题 有一个方程组： + + − = + + = (1 6%) (1 2%) 3100 (1 4.4%). 3100, x y x y 你能根据这个方程组编一个实际背景的应用题吗？ 活动规则： 四个同学一组编题，互评；然后推选出有创意，符合实际生活的例子进行全班交流． 第四环节：问题解决；（10 分钟，学生尝试独立解决问题，后全班交流） 解决问题一 小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套新款春 装，成本共 500 元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按 50﹪的利润定价，裤子按 40 ﹪的利润定价。由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按 9 折出售，这样专卖店共获利 157 元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本 价，但店员有事走开了，你能帮助他吗？ 分析：找出等量关系. 题目中可分析上衣，裤子；成本．实际售价和利润．画个２ × ３的表格来分析 上衣成本＋裤子成本＝５００元 上衣利润＋裤子利润＝１５７元 解：设上衣的成本价为ｘ元，裙子的成本价为ｙ元： 成本（元） 实际售价（元） 利润（元） 上衣 x 裤子 y 解：设上衣的成本价为 x 元，裙子的成本价为 y 元，则上衣利润 元， 0.9(1+ 50%)x 0.9(1+ 40%) y 0.9(1+ 50%)x − x 0.9(1+ 40%) y − y 0.9(1+ 50%)x − x
裤子利润为0.9(1+40%)yy元,依题意得 x+y=500, 0.9×(1+50%)xx+0.9×(1+409%)yy=157。 整理得 x+y=500 35x+26≠=15700 ②一①×26,得9x=2700, ∴X=300 把其代入①,得y=500-300=200 x300, y=200 答:上衣成本300元,裙子成本200元。 解决问题 新年来临爸爸想送Mike一个书包和随身听作为新年礼物.爸爸对Mike说:“我在家乐 福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同,书包单价也相同,随身听和书包单价之和是 452元,且随身听的单价比书包单价的4倍少8元,你能说出随身听和书包单价各是多少元, 那么我就买给你做新年礼物”。 你能帮助他吗? (1)解:设书包单价为x元,则随身听单价为y元,根据题意可列出方程: x+y=452 4x-8=y. 解之得: x=92 y=360 答:书包单价92元,随身听单价360元。 最优化决策: 聪明的Mike想了想回答正确后便同爸爸去买礼物,恰好赶上商家促销,人民商场所有 商品打八折销售,家乐福全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券,购物 券 全场通用),但他只带了400元钱,如果他只在一家购买看中的这两样物品,你能帮助他 选择在哪一家购买吗?若两家都可以选择,在哪一家购买更省钱? 提示:书包单价92元,随身听单价360元。 2)在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金452×=361.6(元) 361.6361.6,所以在人民商场购买更省钱 第五环节:学习反思;(5分钟,学生思考回答,不足的地方教师补充和强调。) 你的收获是什么? 1.通过本节的学习活动,你会用列表分析数据吗?
裤子利润为 0.9(1+40%)y-y 元，依题意得 x+y=500， 0.9×(1+50%)x-x+0.9×(1+40%)y-y=１５７。 整理得: x+y=500 ， ……① 35x+26y=１５７00. …… ② ②－① ×26,得 9x=２700, ∴x =３００. 把其代入①，得 y=500－３００=２００ x=３００， y=２００. 答：上衣成本３００元，裙子成本２００元。 解决问题二 新年来临爸爸想送 Mike 一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对 Mike 说：“我在家乐 福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是 452 元，且随身听的单价比书包单价的 4 倍少 8 元，你能说出随身听和书包单价各是多少元， 那么我就买给你做新年礼物”。 你能帮助他吗？ （1）解：设书包单价为 x 元，则随身听单价为 y 元,根据题意可列出方程： − = + = 4 8 . 452, x y x y 解之得： = = 360. 92, y x 答：书包单价 92 元，随身听单价 360 元。 最优化决策： 聪明的 Mike 想了想回答正确后便同爸爸去买礼物，恰好赶上商家促销，人民商场所有 商品打八折销售，家乐福全场购物满 100 元返购物券 30 元销售（不足 100 元不返券，购物 券全场通用），但他只带了 400 元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他 选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 提示：书包单价 92 元，随身听单价 360 元。 2）在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金 452× 10 8 =361.6（元） ∵ 361.6<400 ∴可以选择在人民商场购买。 在家乐福可先花现金 360 元购买随身听，再利用得到的 90 元返券，加上 2 元现金购买 书包，共花现金 360+2=362（元）。 因为 362＜400，所以也可以选择在家乐福购买。 因为 362＞361.6,所以在人民商场购买更省钱。 第五环节：学习反思；（5 分钟，学生思考回答，不足的地方教师补充和强调。） 你的收获是什么？ 1． 通过本节的学习活动，你会用列表分析数据吗？
2.你能用列方程组的方法解决实际问题吗? 3.你体会到方程思想在生活中的存在吗? 小结: 1.在很多实际问题中,都存在着一些等量关系,因此我们往往可以借助列方程或方程组的 方法来处理这些问题 2.这种处理问题的过程可以进一步概括为 分析 求解 问题□>方程(组)匚解答 抽象 检验 3.要注意的是,处理实际问题的方法是多种多样的,图表分析是一种直观简洁的方法,应 根据具体问题灵活选用 教学反思
2． 你能用列方程组的方法解决实际问题吗？ 3．你体会到方程思想在生活中的存在吗？ 小结： １．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的 方法来处理这些问题． ２．这种处理问题的过程可以进一步概括为： 分析 求解 问题 方程（组） 解答 抽象 检验 ３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应 根据具体问题灵活选用． 教学反思