5.6二元一次方程与一次函数 教学目标一 1.理解二元一次方程(组)与一次函数的关系;(重点) 2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.(难点 数学过程 情境导入 x+y=2 1.方程组 有 解 2.方程组 有 个解 2x+2y=6 3.方程组{x=有_个解 2x-y=5 两条直线互相平行,有 个交点,两条直线重合,有 个交点:两条直线 相交,有 个交点 合作探究 探究点一:二元一次方程与一次函数的关系 圆国以方程x+3y=2的解为坐标的所有点都在一次函数y 的图象上 解析:因为以方程x+3y=2的所有的解为坐标的点组成的图象就是次函数的图象, 将方程x+3y=2用含x的代数式表示y,得y= 6x+3,故填-。 方法总结:y=kx+b(k≠0)既可以看做是一个二元一次方程,也可以看做是一个一次函 数的表达式;y-kx=b与y=kx+b虽然只是形式不同,但却只能表示二元一次方程,而不 能表示一次函数的表达式.因此对于—一个二元一次方程,只有把它写成用一个未知数表示另 一个未知数的形式时,才能看做是一个一次函数的表达式 探究点二:二元一次方程组与一次函数的关系 【类型一】利用交点的坐标确定二元一次方程组的解
5．6 二元一次方程与一次函数 1．理解二元一次方程(组)与一次函数的关系；(重点) 2．能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解．(难点) 一、情境导入 1．方程组 x＋y＝2， x＋y＝5 有________个解； 2．方程组 x＋y＝3， 2x＋2y＝6 有________个解； 3．方程组 3x－y＝7， 2x－y＝5 有________个解． 两条直线互相平行，有________个交点，两条直线重合，有________个交点；两条直线 相交，有________个交点． 二、合作探究 探究点一：二元一次方程与一次函数的关系 以方程1 2 x＋3y＝2 的解为坐标的所有点都在一次函数 y＝________的图象上． 解析：因为以方程1 2 x＋3y＝2 的所有的解为坐标的点组成的图象就是一次函数的图象， 将方程1 2 x＋3y＝2 用含 x 的代数式表示 y，得 y＝ 2－ 1 2 x 3 ＝－ 1 6 x＋ 2 3 .故填－1 6 x＋ 2 3 . 方法总结：y＝kx＋b(k≠0)既可以看做是一个二元一次方程，也可以看做是一个一次函 数的表达式；y－kx＝b 与 y＝kx＋b 虽然只是形式不同，但却只能表示二元一次方程，而不 能表示一次函数的表达式．因此对于一个二元一次方程，只有把它写成用一个未知数表示另 一个未知数的形式时，才能看做是一个一次函数的表达式． 探究点二：二元一次方程组与一次函数的关系 【类型一】 利用交点的坐标确定二元一次方程组的解
例2一次函数y=5-x与y=2x-1的图象的交点为(2,3),则方程组 的解 12x x+y=5 解析:方程组 〕解就是直线y=5-x与直线y=2x-1的交点坐标,又∴两 直线的交点坐标为(2,3),∴方程组 的解为 故填 方法总结:二元一次方程组是由含有两个未知数的两个一次方程组成的,而每个一次方 程的图象都是一条直线两条直线的交点坐标表示该方程组中两个方程的公共解,也就是这 个二元一次方程组的解 【类型二】利用二元一次方程组的解确定交点的坐标 例3己知方程组 的解是 确定一次函数y=4+2与y=3x-3 图象交点的坐标 解析:可以根据方程组的解,得出m的值,构造方程组计算交点坐标,也可以变化两个 函数解析式使其与方程组中的两个方程的形式相同,直接得出图象的交点坐标 解:将y=x+变为-3x+4y=6,9一m变为2x-3y=m,所以直线y33 交点的坐标即是原方程组的解中x,y的对应值,因此两个一次函数图象的交点 坐标即是(2,3) 方法总结:灵活运用方程组的解与一次函数图象交点坐标信息,通过方程与一次函数的 适当形式变化,达到不解方程组即可得出方程组的解或图象交点坐标的目的,即是“整体思 想”的灵活运用 【类型三】用图象法解二元一次方 例4用图象法解方程组 2x-3y= 解析:先将两个方程变形为y=kx+b(k≠0)的形式,再在同一直角坐标系中作出其图
一次函数 y＝5－x 与 y＝2x－1 的图象的交点为(2，3)，则方程组 x＋y＝5， 2x－y＝1 的解 为________． 解析：方程组 x＋y＝5， 2x－y＝1 的解就是直线 y＝5－x 与直线 y＝2x－1 的交点坐标，又∵两 直线的交点坐标为(2，3)，∴方程组 x＋y＝5， 2x－y＝1 的解为 x＝2， y＝3. 故填 x＝2， y＝3. 方法总结：二元一次方程组是由含有两个未知数的两个一次方程组成的，而每个一次方 程的图象都是一条直线．两条直线的交点坐标表示该方程组中两个方程的公共解，也就是这 个二元一次方程组的解． 【类型二】 利用二元一次方程组的解确定交点的坐标 已知方程组 －3x＋4y＝6， 2x－3y＝m 的解是 x＝2， y＝3， 确定一次函数 y＝ 3 4 x＋ 3 2 与 y＝ 2 3 x－ 1 3 m 图象交点的坐标． 解析：可以根据方程组的解，得出 m 的值，构造方程组计算交点坐标，也可以变化两个 函数解析式使其与方程组中的两个方程的形式相同，直接得出图象的交点坐标． 解：将 y＝ 3 4 x＋ 3 2 变为－3x＋4y＝6，y＝ 2 3 x－ 1 3 m 变为 2x－3y＝m，所以直线 y＝ 3 4 x＋ 3 2 与 y＝ 2 3 x－ 1 3 m 交点的坐标即是原方程组的解中 x，y 的对应值，因此两个一次函数图象的交点 坐标即是(2，3)． 方法总结：灵活运用方程组的解与一次函数图象交点坐标信息，通过方程与一次函数的 适当形式变化，达到不解方程组即可得出方程组的解或图象交点坐标的目的，即是“整体思 想”的灵活运用． 【类型三】 用图象法解二元一次方程组 用图象法解方程组 3x－y＝4，① 2x－3y＝－2.② 解析：先将两个方程变形为 y＝kx＋b(k≠0)的形式，再在同一直角坐标系中作出其图
象,交点的坐标即为方程的解 3x-4 解:由①得y=3x-4. 由②得y=2x+2 在同一直角坐标系中分别作出一次函数y=3x-4和y=3x+3的图象·如右图,由图可 知,它们的图象的交点坐标为(2,2) 所以方程组 的解是 2x-3y=-2 方法总结:用画图象的方法可以直观地获得问题的结果,但不是很准确 三、板书设计 1.二元一次方程组的解是对应的两条直线的交点坐标 2.用图象法解二元一次方程组的步骤 (1)变形:把两个方程化为一次函数的形式 2)作图:在同一坐标系中作出两个函数的图象 (3)观察图象,找出交点的坐标; (4)写出方程组的解 教学厦思 通过引导学生自主学习探索,进一步揭示了二元一次方程和函数图象之间的对应关系, 很自然的得到二元一次方程组的解与两条直线的交点之间的对应关系.进一步培养了学生数 形结合的意识,充分提高学生数形结合的能力,使学生在自主探索中学会不同数学知识间可 以互相转化的数学思想和方法
象，交点的坐标即为方程的解． 解：由①得 y＝3x－4. 由②得 y＝ 2 3 x＋ 2 3 . 在同一直角坐标系中分别作出一次函数 y＝3x－4 和 y＝ 2 3 x＋ 2 3 的图象．如右图，由图可 知，它们的图象的交点坐标为(2，2)． 所以方程组 3x－y＝4， 2x－3y＝－2 的解是 x＝2， y＝2. 方法总结：用画图象的方法可以直观地获得问题的结果，但不是很准确． 三、板书设计 1．二元一次方程组的解是对应的两条直线的交点坐标； 2．用图象法解二元一次方程组的步骤： (1)变形：把两个方程化为一次函数的形式； (2)作图：在同一坐标系中作出两个函数的图象； (3)观察图象，找出交点的坐标； (4)写出方程组的解． 通过引导学生自主学习探索，进一步揭示了二元一次方程和函数图象之间的对应关系， 很自然的得到二元一次方程组的解与两条直线的交点之间的对应关系．进一步培养了学生数 形结合的意识，充分提高学生数形结合的能力，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可 以互相转化的数学思想和方法．