6.4数据的离散程度 教学目标一 1.了解极差的意义,掌握极差的计算方法; 2.理解方差、标准差的意义,会用样本方差、标准差估计总体的方差、标准差.(重点 难点) 数学过程 、情境导入 从图中我们可以算出甲、乙两人射中的环数都是70环,但教练还是选择乙运动员参赛 乙两名射击运动员在 同条件下射靶10次,每 环数 次射靶的成绩如图所示 三四五六七八九十次数 问题1:从数学角度,你知道为什么教练员选乙运动员参赛吗? 问题2:你在现实生活中遇到过类似情况吗? 二、合作探究 探究点一:极差 囹]欢欢写了一组数据:9.5,9,8.5,8,7.5,这组数据的极差是() A.0.5B.8.5C.2.5D.2 解析:这组数据的最大值是9.5,最小值是7.5,因此这组数据的极差是:9.5-7.5= 2.故选 方法总结:要计算一组数据的极差,找出最大值与最小值是关键 探究点二:方差、标准差 【类型一】方差和标准差的计算 囹2求数据7,6,8,8,5,9,7,7,6,7的方差和标准差 解析:一组数据的方差计算有两个常用的简化公式:(1)s2=-[(x2+x2+…+x2)-nx2] (2)s2=[(x"2+x2+…+x")-nx'2],其中x'=x-a,x'=x2-a,…,x'=x-a,a是
6．4 数据的离散程度 1．了解极差的意义，掌握极差的计算方法； 2．理解方差、标准差的意义，会用样本方差、标准差估计总体的方差、标准差．(重点、 难点) 一、情境导入 从图中我们可以算出甲、乙两人射中的环数都是 70 环，但教练还是选择乙运动员参赛． 问题 1：从数学角度，你知道为什么教练员选乙运动员参赛吗？ 问题 2：你在现实生活中遇到过类似情况吗？ 二、合作探究 探究点一：极差 欢欢写了一组数据：9.5，9，8.5，8，7.5，这组数据的极差是( ) A．0.5 B．8.5 C．2.5 D．2 解析：这组数据的最大值是 9.5，最小值是 7.5，因此这组数据的极差是：9.5－7.5＝ 2.故选 D. 方法总结：要计算一组数据的极差，找出最大值与最小值是关键． 探究点二：方差、标准差 【类型一】 方差和标准差的计算 求数据 7，6，8，8，5，9，7，7，6，7 的方差和标准差． 解析：一组数据的方差计算有两个常用的简化公式：(1)s2＝ 1 n [(x2 1＋x 2 2＋…＋x 2 n)－nx 2 ]； (2)s2＝ 1 n [(x1′ 2＋x2′ 2＋…＋xn′ 2 )－nx′2 ]，其中 x1′＝x1－a，x2′＝x2－a，…，xn′＝xn－a，a 是
接近原数据平均数的一个常数,x′是x',x2',…,x的平均数 解:方法一:因为x=(7×4+6×2+8×2+5+9)=7,所以s2=[(7-7)2+(6-7) +(8-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2]=1 所以标准差s 5 方法二:同方法一,所以s=10 (72+62+82+82+5+92+72+72+62+72)-10×7 2,标准差s=y50 方法三:将各数据减7,得新数据:0,-1,1,1,-2,2,0,0,-1,0.而x′=0 所以s2=[02+(-1)2+12+12+(-2)2+22+02+02+(-1)2+02-10×0]=1.2.所以标准 差 方法总结:计算一组数据的方差和标准差的步骤:先计算该组数据的平均数(或需加减 的数值),然后按方差(或标准差)的计算公式计算 【类型二】方差和标准差的应用 团例3在一次女子排球比赛中,甲、乙两队参赛选手的年龄(单位:岁)如下 甲队 乙队:28,27,25,28,27,26,28,27,27,26. (1)两队参赛选手的平均年龄分别是多少? (2)利用标准差比较说明两队参赛选手年龄波动的情况. 解析:先求岀两队参赛选手年龄的平均值,再由标准差的定义求出s甲与s乙,最后比 较大小并作出判断 解:(1)x甲=10 (26+25+28+28+24+28+26+28+27+29)=26.9(岁), ×(28+27+25+28+27+26+28+27+27+26)=26.9(岁) (2)s甲=×[(26-26.9)2+(25-26.9)2+…+(29-26.9)2]=2.2 s=10×[(28-269)+(27-26.9)2+…+(26-26.9)31=0.89 所以s甲=V2.29≈1.51, 89≈0.94, 因为s甲>s乙, 所以甲队参赛选手年龄波动比乙队大 方法总结:求标准差时,应先求出方差,然后取其算术平方根标准差越大(小)其数据
接近原数据平均数的一个常数，x′是 x1′，x2′，…，xn′的平均数． 解：方法一：因为 x＝ 1 10(7×4＋6×2＋8×2＋5＋9)＝7，所以 s 2＝ 1 10[(7－7)2＋(6－7)2 ＋(8－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2 ]＝1.2. 所以标准差 s＝ 30 5 . 方法二：同方法一，所以 s 2＝ 1 10[(72＋6 2＋8 2＋8 2＋5 2＋9 2＋7 2＋7 2＋6 2＋7 2 )－10×72 ]＝ 1.2，标准差 s＝ 30 5 . 方法三：将各数据减 7，得新数据：0，－1，1，1，－2，2，0，0，－1，0.而 x′＝0， 所以 s 2＝ 1 10[02＋(－1)2＋1 2＋1 2＋(－2)2＋2 2＋0 2＋0 2＋(－1)2＋0 2－10×02 ]＝1.2.所以标准 差 s＝ 30 5 . 方法总结：计算一组数据的方差和标准差的步骤：先计算该组数据的平均数(或需加减 的数值)，然后按方差(或标准差)的计算公式计算． 【类型二】 方差和标准差的应用 在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄(单位：岁)如下： 甲队：26，25，28，28，24，28，26，28，27，29； 乙队：28，27，25，28，27，26，28，27，27，26. (1)两队参赛选手的平均年龄分别是多少？ (2)利用标准差比较说明两队参赛选手年龄波动的情况． 解析：先求出两队参赛选手年龄的平均值，再由标准差的定义求出 s 甲与 s 乙，最后比 较大小并作出判断． 解：(1)x 甲＝ 1 10×(26＋25＋28＋28＋24＋28＋26＋28＋27＋29)＝26.9(岁)， x 乙＝ 1 10×(28＋27＋25＋28＋27＋26＋28＋27＋27＋26)＝26.9(岁)． (2)s2 甲＝ 1 10×[(26－26.9)2＋(25－26.9)2＋…＋(29－26.9)2 ]＝2.29， s 2 乙＝ 1 10×[(28－26.9)2＋(27－26.9)2＋…＋(26－26.9)2 ]＝0.89. 所以 s 甲＝ 2.29≈1.51， s 乙＝ 0.89≈0.94， 因为 s 甲>s 乙， 所以甲队参赛选手年龄波动比乙队大． 方法总结：求标准差时，应先求出方差，然后取其算术平方根．标准差越大(小)其数据
波动越大(小) 【类型三】统计量的综合应用 例4甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛,将比赛成绩进行统计后,绘制成 图(a)、(b)所示的统计图 甲、乙两球队比赛成绩条形统计图 得分分) □甲队 □乙队 甲、乙两球队比赛成绩折线统计图 得分(分 三四五场次场) (1)在图(b)中画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况 (2)已知甲队五场比赛成绩的平均分x甲=90分,请你计算乙队五场比赛成绩的平均分 (3)就这五场比赛,分别计算两队成绩的方差 4)如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛,你认为选派哪支球队参赛更能 取得好成绩? 解析:第(4)题可根据第(1)(2)(3)题的结果,从平均分、折线的走势、获胜场数和方差 四个方面分别进行简要分析 解:(1)如图所示 甲、乙两球队比赛成绩折线统计图 (110+90+83+87+80)=90(分)
波动越大(小)． 【类型三】 统计量的综合应用 甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成 图(a)、(b)所示的统计图． (1)在图(b)中画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况． (2)已知甲队五场比赛成绩的平均分 x 甲＝90 分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分 x 乙． (3)就这五场比赛，分别计算两队成绩的方差． (4)如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，你认为选派哪支球队参赛更能 取得好成绩？ 解析：第(4)题可根据第(1)(2)(3)题的结果，从平均分、折线的走势、获胜场数和方差 四个方面分别进行简要分析． 解：(1)如图所示． (2)x 乙＝ 1 5 (110＋90＋83＋87＋80)＝90(分)．
(3)甲队成绩的方差s=3[80900+(86890+(95-90)+(91-90)0+98-90 =41.2:乙队成绩的方差s乙=[(110-90)2+(90-90)2+(83-90)2+(87-90)2+(80-90)2] =111.6. (4)从平均分看,两队的平均分相同,实力大体相当;从折线的走势看,甲队比赛成绩 呈上升趋势,而乙队比赛成绩呈下降趋势:从获胜场数看,甲队胜三场,乙队胜两场,甲队 成绩较妤:从方差看,甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小,甲队成绩较稳定.综上所述, 选派甲队参赛更能取得好成绩. 方法总结:本题是反映数据集中程度与离散程度的综合题.从图形中得到两队的成绩, 然后从平均数、方差的角度来考虑,在平均数相同的情况下,方差越小的越稳定 三、板书设计 极差:一组数据中最大数据与最小数据的差 方差:各个数据与平均数差的平方的平均数 数据的离散程度 [(x1-x)2+(x2 标准差:方差的算术平方根 公式:s=s2 教学反思 经历表示数据离散程度的几个量的探索过程,通过实例体会用样本估计总体的统计思想,培 养学生的数学应用能力.通过小组合作,培养学生的合作意识;通过解决实际问题,让学生 体会数学与生活的密切联系
(3)甲队成绩的方差 s 2 甲＝ 1 5 [(80－90)2＋(86－90)2＋(95－90)2＋(91－90)2＋(98－90)2 ] ＝41.2；乙队成绩的方差 s 2 乙＝ 1 5 [(110－90)2＋(90－90)2＋(83－90)2＋(87－90)2＋(80－90)2 ] ＝111.6. (4)从平均分看，两队的平均分相同，实力大体相当；从折线的走势看，甲队比赛成绩 呈上升趋势，而乙队比赛成绩呈下降趋势；从获胜场数看，甲队胜三场，乙队胜两场，甲队 成绩较好；从方差看，甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小，甲队成绩较稳定．综上所述， 选派甲队参赛更能取得好成绩． 方法总结：本题是反映数据集中程度与离散程度的综合题．从图形中得到两队的成绩， 然后从平均数、方差的角度来考虑，在平均数相同的情况下，方差越小的越稳定． 三、板书设计 数据的离散程度 极差：一组数据中最大数据与最小数据的差 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数 s 2＝ 1 n [（x1－x） 2＋（x2－x） 2＋…＋（xn－x） 2 ] 标准差：方差的算术平方根 公式：s＝ s 2 经历表示数据离散程度的几个量的探索过程，通过实例体会用样本估计总体的统计思想，培 养学生的数学应用能力．通过小组合作，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生 体会数学与生活的密切联系．