7.1为什么要证明 教学目标一 1.了解推理的意义,知道要判断一个数学结论是否正确,必须进行推理;(重点) 2.会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确.(难点 数学过程 情境导入 人的视觉有时候受到周围环境和自身经验的影响,会引导我们做出错误的判断.只有通 过科学的方法推理论证,做出的判断才是正确的.如图,图中的四边形是正方形还是梯形? 你能肯定吗?怎样来验证你的结论呢?快来学习本节知识吧! 二、合作探究 探究点一:数学的结论必须经过严格的论证 1当n=1,2,3,4,5时,代数式n2-3n+7的值是质数吗?你能肯定:对于所有 的自然数,式子n2-3n+7的值都是质数吗? 解析:把1,2,3,4,5等自然数代入n2-3n+7中进行验证 解:当n=1,2,3,4,5时,n2-3n+7的值分别是5,5,7,11,17,全是质数.而 当n=6时,n-3n+7=62-18+7=25=52.所以对于所有自然数,式子n2-3n+7的值不都 是质数 方法总结:判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验、观察是不够的,必须给出严格 的证明或实验验证 探究点二:检验数学结论的常用方法 【类型一】实验验证 囹2先观察再验证 图① (1)图①中实线是直的还是弯曲的? 2)图②中两条线段a与b哪一条更长? 3)图③中的直线AB与直线CD平行吗?
7．1 为什么要证明 1．了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理；(重点) 2．会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确．(难点) 一、情境导入 人的视觉有时候受到周围环境和自身经验的影响，会引导我们做出错误的判断．只有通 过科学的方法推理论证，做出的判断才是正确的．如图，图中的四边形是正方形还是梯形？ 你能肯定吗？怎样来验证你的结论呢？快来学习本节知识吧！ 二、合作探究 探究点一：数学的结论必须经过严格的论证 当 n＝1，2，3，4，5 时，代数式 n 2－3n＋7 的值是质数吗？你能肯定：对于所有 的自然数，式子 n 2－3n＋7 的值都是质数吗？ 解析：把 1，2，3，4，5 等自然数代入 n 2－3n＋7 中进行验证． 解：当 n＝1，2，3，4，5 时，n 2－3n＋7 的值分别是 5，5，7，11，17，全是质数．而 当 n＝6 时，n 2－3n＋7＝6 2－18＋7＝25＝5 2 .所以对于所有自然数，式子 n 2－3n＋7 的值不都 是质数． 方法总结：判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须给出严格 的证明或实验验证． 探究点二：检验数学结论的常用方法 【类型一】 实验验证 先观察再验证． (1)图①中实线是直的还是弯曲的？ (2)图②中两条线段 a 与 b 哪一条更长？ (3)图③中的直线 AB 与直线 CD 平行吗？
解析:①②用直尺量;③用三角板平推 解:观察可能得出的结论是:(1)实线是弯曲的;(2)a更长一些;(3)AB与D不平行.而 我们用科学的方法验证后发现:(1)实线是直的;(2)a与b一样长;(3)AB平行于CD 方法总结:有时视觉受周围环境的影响,往往误导我们,让我们得出错误的结论,所以 仅靠经验、观察是不够的,只有通过科学的实验进行严格的推理,才能得出最准确的结论 【类型二】举出反例 例3当n为正整数时,代数式(n2-5n+5)2的值都等于1吗? 解析:对于代数式(n-5n+5),n的取值为正整数,要判断(n-5n+5)的值是否为1 可以先取值分别求出代数式的值 解:当n=1时,(n2-5n+5)2=12=1:当n=2时,(n2-5n+5)2=(-1)2=1:当n=3 时,(n2-5n+5)2=(-1)2=1:当n=4时,(m2-5n+5)2=12=1;当n=5时,(n2-5n+5)2 52=25≠1.所以当n为正整数时,(n2-5n+5)2不一定等于1 方法总结:验证特例是判断一个结论错误的最好方法 【类型三】推理证咀 例4如图,从点0出发作出四条射线OA、OB、OC、OD,已知OA⊥OC,OB⊥OD O (1)若∠BOC=30°,求∠AOB和∠COD的度数 (2)若∠BOC=54°,求∠AOB和∠COD的度数 (3)由(1)、(2)你发现了什么? (4)你能肯定上述的发现吗? 解析:图中∠AOB、∠CO均与∠BOC互余,根据角的和、差关系,可求得∠AOB与∠COD 的度数.通过计算发现∠AOB=∠COD,于是可以归纳∠AOB=∠COD 解:(1)∵OA⊥OC,OB⊥OD,∴∠AOC=∠BOD=90°.∵∠BOC=30°,∴∠AOB=∠AOC ∠BOC=90° 60°,∠COD=∠BOD—∠BOC=90°-30°=60° (2)∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-54°=36°,∠COD=∠BOD-∠BOC=9 (3)由(1)、(2)可发现:∠AOB=∠COD (4)∵∠AOB+∠BOC=∠AOC=90°,∠BOC+∠COD=∠BOD=90°,∴∠AOB+∠BOC= ∠BOC+∠COD.∴∠AOB=∠COD 方法总结:检验数学结论具体经历的过程是∶观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推
解析：①②用直尺量；③用三角板平推． 解：观察可能得出的结论是：(1)实线是弯曲的；(2)a 更长一些；(3)AB 与 DC 不平行．而 我们用科学的方法验证后发现：(1)实线是直的；(2)a 与 b 一样长；(3)AB 平行于 CD. 方法总结：有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误的结论，所以 仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论． 【类型二】 举出反例 当 n 为正整数时，代数式(n2－5n＋5)2 的值都等于 1 吗？ 解析：对于代数式(n2－5n＋5)2，n 的取值为正整数，要判断(n2－5n＋5)2 的值是否为 1， 可以先取值分别求出代数式的值． 解：当 n＝1 时，(n2－5n＋5)2＝1 2＝1；当 n＝2 时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；当 n＝3 时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；当 n＝4 时，(n2－5n＋5)2＝1 2＝1；当 n＝5 时，(n2－5n＋5)2 ＝5 2＝25≠1.所以当 n 为正整数时，(n2－5n＋5)2 不一定等于 1. 方法总结：验证特例是判断一个结论错误的最好方法． 【类型三】 推理证明 如图，从点 O 出发作出四条射线 OA、OB、OC、OD，已知 OA⊥OC，OB⊥OD. (1)若∠BOC＝30°，求∠AOB 和∠COD 的度数； (2)若∠BOC＝54°，求∠AOB 和∠COD 的度数； (3)由(1)、(2)你发现了什么？ (4)你能肯定上述的发现吗？ 解析：图中∠AOB、∠COD 均与∠BOC 互余，根据角的和、差关系，可求得∠AOB 与∠COD 的度数．通过计算发现∠AOB＝∠COD，于是可以归纳∠AOB＝∠COD. 解：(1)∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOC＝∠BOD＝90°.∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝∠AOC －∠BOC＝90°－30°＝60°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°. (2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝ 36°. (3)由(1)、(2)可发现：∠AOB＝∠COD. (4)∵∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝90°，∴∠AOB＋∠BOC＝ ∠BOC＋∠COD.∴∠AOB＝∠COD. 方法总结：检验数学结论具体经历的过程是：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推
理→正确结论 三、板书设计 推理的意义:数学结论必须经过严格的论证 实验验证 为什么,要证明) 检验数学结论的常用方法举出反例 推理证明 数学反思 经历观察、验证、归纳等过程,使学生对由这些方法得到的结论产生怀疑,以此激发 学生的好奇心,从而认识证明的必要性,培养学生的推理意识,了解检验数学结论的常用方 法:实验验证、举出反例、推理论证等
理→正确结论． 三、板书设计 为什么,要证明) 推理的意义：数学结论必须经过严格的论证 检验数学结论的常用方法 实验验证 举出反例 推理证明 经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法得到的结论产生怀疑，以此激发 学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识，了解检验数学结论的常用方 法：实验验证、举出反例、推理论证等．